Rappresentazione di dati: numerazione binaria. Appunti per la cl. 3 Di A cura del prof. Ing. Mario Catalano

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1 Rappresentazione di dati: numerazione binaria Appunti per la cl. 3 Di A cura del prof. Ing. Mario Catalano

2 Rappresentazione binaria Tutta l informazione interna ad un computer è codificata con sequenze di due soli simboli : 0 e 1 è facile realizzare dispositivi elettronici che discriminano fra due stati, molto meno se gli stati sono tanti L unità elementare di informazione si chiama bit da binary digit Byte : sequenza di 8 bit 2

3 Sistema decimale posizionale (1) Un numero (es. 5) può essere rappresentato in molti modi : cinque, five, 5, V, XXXXX.. Rappresentazioni diverse hanno proprietà diverse Es. moltiplicare due numeri in notazione romana è molto più difficile che moltiplicare due numeri in notazione decimale. Noi siamo abituati a lavorare con numeri rappresentati in notazione posizionale in base 10 3

4 Sistema decimale posizionale (2) La rappresentazione di un numero intero in base 10 è una sequenza di cifre scelte fra Il valore di una rappresentazione è dato da a. N 10 N + a. N-1 10 N-1.+ a a a a a a b= 10 è la base 10 i è il peso della cifra a i nel valore del numero Sistema decimale posizionale 4

5 Sistema decimale posizionale (3) 253 = 2 x x x 1 = 2 x x x ,47 = 2 x x x x 0.01 = 2 x x x (1/10) + 7 x (1/100) = 2 x x x x 10-2 Sistema posizionale Sistema decimale 5

6 Notazione posizionale in base 2 (1) La rappresentazione di un numero intero in base 2 è una sequenza di cifre scelte fra 0 1 : es: 10, 110, 1 Il valore di una rappresentazione è dato da a N. 2 N + a N-1. 2 N-1.+ a a a a a a b= 2 è la base 2 i è il peso della cifra a i nel valore del numero Sistema binario posizionale 7

7 Notazione posizionale in base 2 (2) Esempi : 10 = 1* *2 0 = = 1* * * 2 0 = = 6 1 = 1 *2 0 = 1 10 si legge 1 0 e non dieci!!! 8

8 Conversione di interi Base 10 Base 2 Successione di divisioni per 2 : termina quando il resto è 0 Resti determinati in ordine inverso es.: Quozienti Resti =

9 Conversione di interi Base 2 Base 10 Somma pesata delle cifre binarie: es.: = 1 x x x x 2 0 = =

10 Numeri binari interi: esempi

11 Numeri binari interi: esempi(2) 2 0 = = = = = = 1024 (1 k) 2 3 = = = = = = = (64 k) 2 7 = milioni... 12

12 Esempio : convertire il numero decimale

13 Binario Decimale La somma dei prodotti della cifra binario moltiplicata per la base (2) elevata la posizione (1* 2 ) + (0 * 2 ) + (0 * 2 ) = 1* = 4 14

14 Addizione in binario L addizione in binario segue le stesse regole dell addizione tra numeri decimali: i due numeri sono incolonnati uno sopra l altro; si effettua la somma delle cifre di pari peso. 15

15 Addizione (10) 111 = ( 7) (17) 16

16 Addizione: esempio carry o riporto

17 Sottrazione in binario Anche la sottrazione in binario segue le stesse regole della sottrazione tra numeri decimali: i due numeri sono incolonnati uno sopra l altro; si effettua la sottrazione delle cifre di pari peso. 18

18 Sottrazione =

19 Sottrazione: esempio 1 carry o riporto

20 Esercizi (34) 10 + (77) = (84) 10 - (37) =

21 Moltiplicazione 1 per 1 = 1 0 per 1 = * 101=

22 divisione RISULTATO 100 RESTO 1 23

23 Sistema esadecimale Base 16 Simboli : 0 9+le sei lettere maiuscole A,B,C,D,E,F Assume importanza perché la base 16 è una potenza di 2, base del sistema di numerazione binario. 16 =

24 Da esadecimale a decimale numero esadecimale 2BC *(16) + 11 *(16) + 12*(16) + 1*(16) 1 0 2* *256+12*16+1*1 =

25 Decimale in esadecimale : 16 = resto : 16 = resto 12 C 43 : 16 = resto 11 B 2 26

26 Esempio: trasformazione del numero esadecimale 3 AF2 in numero decimale: Trasformazione del numero decimale in numero esadecimale: Quozienti resti A 3 E EA

27 Nelle operazione di conversione dei numeri da un sistema all altro, è conveniente ricordare le seguenti tabelle: Binario Esadecimale Binario Ottale A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F 28

28 Da binario a esadecimale Si raggruppano le cifre del numero binario a gruppi di quattro a partire da destra e si trasformano le cifre di ciascun gruppo nel corrispondente numero esadecimale secondo la tabella di conversione Es.: il numero binario Si può scrivere come F 7 Quindi: = 2F

29 Da esadecimale a binario Si fa corrispondere a ciascuna delle cifre esadecimale che compongono il numero un gruppo di quattro bit secondo la tabella di conversione. Es.: dato il numero esadecimale C3B C 3 B C3B Quindi:

30 La rappresentazione dei numeri all interno di un computer (1) Usa la notazione binaria Ogni numero viene rappresentato con un numero finito di cifre binarie (bit) Numeri di tipo diverso hanno rappresentazioni diverse es. interi positivi, interi (pos. e neg.), razionali, reali, complessi 31

31 La rappresentazione dei numeri all interno di un computer (2) Alcuni termini utili: byte : una sequenza di 8 bit word (parola) : 2 o 4 byte (dipende dalla macchina) unità minima che può essere fisicamente letta o scritta nella memoria Tipicamente gli interi positivi si rappresentano usando 2 o 4 byte Notazione MLS (Most Significant Bit) LSB (Least Significant Bit) 32

32 La rappresentazione dei numeri all interno di un computer (3) Interi positivi e negativi : ci sono diverse convenzioni di rappresentazione modulo e segno in cui il primo bit viene riservato al segno (1 negativo, 0 positivo) e gli altri 31 al modulo Complemento a due Complemento a uno (la trascuriamo) rimane comunque il problema dell overflow 33

33 Rappresentazione modulo e segno Dati N bit, il bit più significativo indica il segno, ed i restanti N-1 bit indicano il valore assoluto del numero in binario puro. S Modulo Il segno è codificato nel seguente modo: 0 : segno + 1 : segno - 34

34 La rappresentazione dei numeri in modulo e segno Numeri relativi Modulo e segno (es con 3 bit) - codifica semplice - operazioni aritmetiche più complesse 0 segno+ 1 segno - es.: e = -2 = Errato! Occorre differenziare tra i bit del numero e quelli di segno Bisogna codificare in modo diverso le operazioni 35 aritmetiche.

35 Rappresentazione dei numeri in complemento a 2 Complemento a due (es con 4 bit) es: +5 = ?? Partendo da +5 = 0101 si invertono gli 1 con gli 0 : 1010 Si aggiunge 1: = 1011 = -5-1 x x x x 2 0 = = -5 Il primo bit non rappresenta solo il segno! Non occorre più pertanto differenziare i bit. 36

36 Rappresentazione in complemento a 2: esempio -5 con quattro bit il bit di segno è 1 Conversione: 5 10 = Inversione: Somma di 1: = 1011 Verifica: = 0 = (1)

37 Rappresentazione dello 0 Il numero 0 può avere, in modulo e segno, le seguenti due rappresentazioni: Intervallo di valori rappresentabili: - 2 (N-1) (N-1) -1 38

38 Conversione da complemento a 2 in decimale con segno se prima cifra 0 numero positivo conversione solita (es ) se prima cifra 1 numero negativo inversione dei bit (tranne il primo) conversione da binario a decimale somma di 1 39

39 Conversione da complemento a 2 in decimale con segno: esempio 1101 tolgo il bit di segno 101 Inversione 010 Conversione in decimale = 2 10 Somma = 3 Segno -3 40

40 Esempio di conversione da decimale a complemento a 2 Rappresentare in complemento a 2 su 6 bit i seguenti numeri: + 3, è positivo: la rappresentazione è uguale a quella in modulo e segno: (000011); - 6 è negativo: il numero corrispondente positivo (+6) vale ; complemento bit a bit e ottengo ; sommo 1 ed ottengo

41 Addizione in complemento a due Con 3 bit avremo: Esempi di addizione: (+2) = (-5) (-3) (+7) = (-5) (+2) Nel secondo esempio, l overflow è ignorato 42

42 Limiti delle rappresentazioni Fissato un numero N di bit disponibili, i limiti delle rappresentazioni finora trattate sono: Binario puro 0.. +(2 N -1); Complemento a 2 -(2 N-1 ) 0 +(2 N-1-1); 43

43 Limiti delle rappresentazioni Fissato un numero di 5 bit disponibili avremo: Binario puro ; Modulo e segno ; Complemento a ; 44

44 La rappresentazione dei numeri razionali Razionali numero finito di cifre periodiche dopo la virgola (ad esempio 3.12 oppure rappresentazione solitamente su 4/8 byte rappresentazione in virgola fissa : riservo X bit per la parte frazionaria es : con 3 bit per la parte intera e 2 per quella frazionaria , Parte intera Parte frazionaria 45

45 Come si converte in base 10 una rappresentazione in virgola fissa es : = 1* * * * * 2-2 = = = 1* * * * * *2-4 = dove 2-1 = 1/2 = 0.5, 2-2 = 1/2 2 = 0.25 e in generale 2 -n = 1/2 n 46

46 REALE--> BINARIO cosa significa una parte decimale binaria:

47 per trovare la rappresentazione binaria di un decimale lo moltiplichiamo per 2 ed osserviamo se 1 appare nella parte intera: rappresentazione binaria di = = = = = = dipende da quanti bit abbiamo 48

48 esempio

49 Problemi della rappresentazione in virgola fissa overflow underflow quando si scende al di sotto del minimo numero rappresentabile es. vediamo in base 10, con 2 cifre riservate alla parte frazionaria 0.01 / 2 = non rappresentabile usando solo due cifre 50

50 Problemi della rappresentazione in virgola fissa (cont.) spreco di bit per memorizzare molti 0 quando lavoro con numeri molto piccoli o molto grandi es. vediamo in base 10, con 5 cifre per la parte intera e 2 cifre riservate alla parte frazionaria oppure i bit vengono usati più efficientemente con la notazione esponenziale o floating point (virgola mobile) 51

51 Conversione di numeri con la virgola: da binario a decimale La conversione di questi numeri in base 10 è immediata. Basta fare l analogia con i numeri in base 10. ad esempio, nel numero 112,18 la cifra 1 dopo la virgola ha peso 10-1, la cifra 8 ha peso 1/100 cioè In maniera analoga ,01101 = 0* * * *2 4 +1* * * * * * * * *2-5 = /4 + 1/8 + 1/32 = =

52 Conversione di numeri con la virgola: da decimale a binario = 0* * * *2 4 +1* * * *2 0 +0*2-1 +1* * * *2-5 = ,01101 quindi N = 43 e 0,M =

53 Rappresentazione in virgola mobile idea : quando lavoro con numeri molto piccoli uso tutti i bit disponibili per rappresentare le cifre dopo la virgola e quando lavoro con numeri molto grandi le uso tutte per rappresentare le cifre in posizioni elevate questo permette di rappresentare numeri piccoli con intervalli minori fra loro rispetto ai numeri grandi questo riduce gli errori nel calcolo a parità di bit utilizzati 54

54 Rappresentazione in virgola mobile La notazione in virgola mobile è basata sulla rappresentazione dei numeri in notazione scientifica. Nella notazione scientifica un numero N viene espresso nella seguente forma: N = ± mantissa * base esponente 55

55 Esempio Il numero decimale si può scrivere (almeno) nelle seguenti notazioni scientifiche: * * 10 3 Il binario si può scrivere (almeno) come: * * *

56 Standard IEEE 754 Per evitare ambiguità di rappresentazione di uno stesso numero si usa una forma normalizzata (standard IEEE 754) su 32 bit suddivisi nel seguente modo: S Esponente Mantissa (modulo) Singola precisione (SP) 8 bit 23 bit Doppia precisione (DP) 11 bit 52 bit 57

57 Standard IEEE 754 Precisione singola su 32 bit 1 bit di segno 8 di esponente (da -126 a +127) 23 di mantissa Si possono rappresentare valori fino a 2 elevato a (-150) Precisione doppia su 64 bit 1 bit di segno 11 di esponente (da a +1023) 52 di mantissa Si possono rappresentare valori fino a 2 elevato a (-1075) 58

58 Standard IEEE 754 S Esponente Mantissa (modulo) E sempre normalizzata nella forma 1.XXXXX; l 1 viene sottinteso E rappresentato come numero senza segno su 8 bit in eccesso 127, cioè i valori da -126 a 127 sono messi in corrispondenza con i valori da 1 a 254, per non dover gestire Il segno dell esponente. 0 = positivo 1 = negativo 59

59 Standard IEEE 754 La rappresentazione floating point IEEE 754 e quindi nella forma: Numero(binario) = ± 1.XXXX * 2 (YYYY) 0/1 Esponente Mantissa (modulo) 60

60 Intervallo di rappresentazione Mantissa MIN = 1 Mantissa MAX < 2 Esponente MIN = -126 Esponente MAX = +127 Valori rappresentabili: zero; [2 (-126) 2 (+127) ]; equivalente a [10 (-38) 10 (+38) ]; [-2 (+127) -2 (-126 ) ]; equivalente a [-10 (+38) -10 (-38) ]; 61

61 Ulteriore sistema di codifica dei numeri BCD (Binary-Coded Decimal) Si codificano in binario (4 bit) le singole cifre decimali. es.: nessun errore di conversione precisione dei calcoli decimali spreco di cifre usato nelle calcolatrici tascabili 62

62 Rappresentazione di un insieme finito di oggetti Vogliamo rappresentare i giorni della settimana : {Lu, Ma, Me, Gio, Ve, Sa, Do} usando sequenze 0 e 1 Questo significa costruire un codice, cioè una tabella di corrispondenza che ad ogni giorno associa una opportuna sequenza In principio possiamo scegliere in modo del tutto arbitrario. 63

63 Rappresentazione di un insieme finito di oggetti (2) Per rappresentare 7 oggetti diversi servono almeno 3 bit (minima potenza di due che supera 7 è 8= 2 3 ) quindi : 000 Lunedì 110 Domenica 001 Martedì 111 non ammesso 010 Mercoledì 011 Giovedì 100 Venerdì 101 Sabato 64

64 Rappresentazione di caratteri e stringhe Tipologia di caratteri: alfabeto e interpunzioni: A, B,.., Z, a, b,.., z, ;, :,,.. cifre e simboli matematici: 0, 1,..., 9, +, -, >,.. caratteri speciali:, $, %,... caratteri di controllo: CR, DEL,... Le stringhe sono sequenze di caratteri terminate in modo particolare. I caratteri sono un insieme finito di oggetti e seguono la strategia vista per i giorni della settimana 65

65 Rappresentazione di caratteri e stringhe (2) ASCII (American Standard Code for Information Interchange): Codice a 7 bit (standard) ASCII esteso a 8 bit (non standard) es.: A ( UNICODE: su 16 bit (65536 diverse configurazioni): più recente, permette di rappresentare anche alfabeti diversi e simboli per la scrittura di lingua orientali. 66

66 Rappresentazione di caratteri e stringhe (3) ASCII a 7 bit I 7 bit sono suddivisi logicamente in 7 campi rispettivamente di 3 e 4 bit. I primi tre bit rappresentano categorie di caratteri, mentre gli ultimi quattro servono a rispettare l ordinamento dei caratteri all interno di ogni categoria. 67

67 Rappresentazione di caratteri e stringhe (4) 1 bit 2 bit 3 bit Caratteri rappresentati simboli di punteggiatura, simboli speciali e di operazione simbolo di = numerali maiuscole (A - O) maiuscole (P - Z) minuscole (a - o) minuscole (p - z) 68

68 Rappresentazione di caratteri e stringhe (5) 4, 5, 6, 7 bit Nei numerali sono costituiti dalla codifica in binario su 4 bit delle cifre decimali (codice BCD). Per i caratteri dell alfabeto la codifica è tale da rispettare l ordinamento alfabetico Esempi b (2ª lettera) : B:

69 FINE 70