Teoria di stringa perturbativa Francesco Dalla Piazza

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1 Teoria di stringa perturbativa Francesco Dalla Piazza

2 Programma 1. Introduzione e idee della meccanica quantistica 2. Introduzione alla teoria di stringa 3. Costruzione della misura in teoria di stringa

3 Equazione di Newton Che descrive i fenomeni meccanici, acustici e termici Fisica classica A fine ottocento l interpretazione dei fenomeni fisici del mondo macroscopico era fondata su: F = ma Equazioni di Maxwell E = ρ ε 0 E + B t =0 B =0 E B µ 0 ε 0 t = µ 0j Che descrivono i fenomeni elettrici, magnetici e ottici Netta distinzione tra natura ondulatoria e corpuscolare della materia

4 Crisi della fisica classica Spettro del corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Modelli atomici

5 Spettro del corpo nero I corpi solidi e liquidi a qualsiasi temperatura emettono una radiazione a spettro continuo. Energia della radiazione emessa dal corpo per unità di tempo e di superficie entro un cono di angolo solido d in una direzione che forma un angolo con la normale alla superficie e in un intervallo di frequenza (v,v+dv): e(ν,t) cos θdωdν Potere emissivo Se sul corpo incide una radiazione essa verrà in parte riflessa e in parte assorbita Quando un corpo assorbe tutta la radiazione incidente qualunqe sia la frequenza e la temperatura T allora il corpo si dice CORPO NERO a(,t): potere assorbente

6 Per una cavità (Kirchoff, 1859): Spettro del corpo nero E quindi per un corpo nero: legge dello spostamento: e(ν,t) a(ν,t) = c 4π u(ν,t) La grandezza che si osserva è l energia irradiata dal foro della cavità per unità di superficie, tempo e intervallo di frequenza: E(ν,T)=2π 0 e(ν,t)= c 4π u(ν,t) π 2 0 Primi risultati quantitativi: legge di Stefan Boltzman: dθ sin θ cos θ c 4π u(ν,t)= c 4 u(ν,t) dνe(ν,t)=σt 4, σ =5, W/(m 2 K 4 ) λ max T = cost. = 2898 µm K Conseguenza della legge di Wien (di carattere qualitativo): E(ν,T)= ν2 hν ktf( 4c2 kt )

7 Spettro del corpo nero Impostazione statistica classica Il campo elettromagnetico all interno di una cavità equivale ad un sistema di oscillatori armonici disaccoppiati e con frequenze uguali alle frequenze proprie della cavità. Tale sistema può essere equiparato ad un gas ideale in equilibrio ad una temperatura T. Probabilità che l oscillatore abbia energia compresa tra W e W+dW (statistica classica): 0 e W kt dw e W kt dw Dal teorema di equipartizione dell energia della statistica classica si ottiene la formula di Rayleigh-Jeans: E(ν,T)= 2π c 2 ktν2 Ipotesi di Planck Gli scambi di energia tra radiazione e materia possono avvenire per ogni determinata frequenza solo per multipli interi di una quantità finita. Ammettendo solo valori discreti W n =n la probabilità che l oscillatore abbia energia W n : e W kt n=0 e W kt Da cui, ponendo =h : E(ν,T)= 2π c 2 ν2 hν e hν kt 1

8 Spettro del corpo nero 1. Nel limite classico (h 0) il risultato di Planck si riduce a quello ottenuto con la statistica classica: lim h 0 2πν 2 c 2 e hv kt hν 1 = 2π c 2 ktν2 2. L espressione classica concorda con i dati sperimentali per grandi valori di! 3. La formula di Rayleigh-Jeans non è teoricamente corretta in quanto: 0 E(ν,T)dν = 4. Per opportuni valori di h e k si ottiene perfetto accordo con i dati sperimentali. La costante k concorda con la costante dei gas k B =1, e-23 JK -1 e il valore oggi accettato per la costante di Planck è h=6, e-34 Js. 5. Gli scambi di ENERGIA tra radiazione e materia si manifestano come una successione di eventi elementari, in cui la quantità di energia scambiata è =h. T

9 Effetto fotoelettrico Una superficie metallica investita da una radiazione di frequenza sufficientemente elevata emette elettroni. Empiricamente emersero alcune leggi: 1. Il numero di elettroni è proporzionale all intensità della radiazione. 2. Per ogni metallo c è una frequenza di soglia 0 sotto la quale non c è emissione. 3. L energia cinetica massima degli elettroni emessi è proporzionale a - 0 ed è indipendente dall intensità della radiazione. 4. L emissione degli elettroni è istantanea. Queste osservazioni sono INCOMPATIBILI con la teoria e.m. classica!!! Se l energia si ripartisce in maniera uniforme su tutta la superficie illuminata come mai il fenomeno si verifica istantaneamente anche per intensità estremamente basse?

10 Effetto fotoelettrico (Einstein 1905) Einstein spiega il fenomeno sulla base dell ipotesi di Planck: L energia non è quantizzata solo al momento dello scambio, ma viaggia anche nello spazio in granuli di energia =h QUANTI di radiazione. Processo d urto tra FOTONE e ELETTRONE che riceve tutta assieme l energia h e l elettrone può essere estratto solo se h > 0. Quindi 0 = 0 /h e se > 0 l energia cinetica dell elettrone è: E=h - 0 =h( - 0 ). Variando l intensità I della radiazione cambia il numero di fotoni e non la loro Energia. Einstein attribuisce ai fotoni anche una quantità di moto p=h /c=h/. Mediante questa interpretazione Einstein spiega perfettamente le osservazioni!!!

11 Effetto Compton Diffusione di raggi X ( = 0,0709 nm) su un campione di grafite e la successiva misura dello spettro dei raggi diffusi. I raggi X si irradiano in tutte le direzioni. Ad un angolo " i raggi hanno lunghezza d onda lievemente minore di. È presente anche radiazione di lunghezza d onda. - è indipendente dal campione e - =0,024 (1-cos ") Posso interpretare questo effetto come un processo d urto FOTONE - ELETTRONE Imponendo la conservazione dell energia e della quantità di moto: - =h/(2#mm e c) (1-cos ") con h/(2#m e c)=0,0024

12 Un esperimento con pallottole Feynman, Lectures on Physics vol. 3 RISULTATO Se apro solo F 1 ottengo la curva P 1 Se apro solo F 2 ottengo la curva P 2 La probabilità totale è P 12 =P 1 +P 2 Non osservo INTERFERENZA Mitragliatore spara pallottole con una certa distribuzione angolare abbastanza grande. Pallottole indistruttibili Nel rilevatore c è sempre una pallottola intera La dimensione non dipende dalla frequenza Qual è la probabilità che una pallottola arrivi nella posizione x passando attraverso i fori?

13 Un esperimento con onde Feynman, Lectures on Physics vol. 3 Il detector misura I A 2 E I può assumere qualunque valore I non è a blocchi D 1 -D 2 = m Interferenza costruttiva D 1 -D 2 = (2m+1)/2 Interferenza distruttiva I 12 I 1 +I 2 L altezza dell onda si può esprimere come Re(h j e i t ) e I j h j 2 2 fori (h 1 +h 2 ) e i t I 12 h 1 +h 2 2 = h h h 1 h 2 cos INTERFERENZA

14 Un esperimento con elettroni Rivelatore: clic tutti uguali, non c è differenza di grandezza. Diminuendo la temp. del filo diminuisce il numero di clic, non la loro intensità. Usando 2 rivelatori: o clicca l uno o clicca l altro, mai contemporaneamente. Feynman, Lectures on Physics vol. 3 Ciò che arriva è in GRANULI tutti UGUALI! Qual è la probabilità che un elettrone arrivi sulla parete al variare della distanza x dal centro? P 12 P 1 +P 2

15 Interferenza delle onde elettroniche Prop. A: ciascun elettrone attraversa F 1 OPPURE F 2. Ammesso A tutti gli elettroni nel rivelatore possono essere divisi in 2 gruppi: quelli passati da F 1 e quelli passati da F 2. La curva finale deve essere la somma degli effetti di F 1 e F 2. Ripeto l esperimento chiudendo alternativamente i fori curve P 1 e P 2. P 12 P 1 +P 2!!!!! La prop. A sembra falsa! Posso descrivere il risultato con due numeri complessi $ 1 e $ 2 tali che $ i 2 =P i e come per le onde $ 1 + $ 2 2 =P 12. Gli elettroni arrivano in GRANULI, ma presentano INTERFERENZA!

16 Osserviamo gli elettroni Aggiungiamo una sorgente di luce dietro lo schermo a metà trai fori. Costruisco una tabella: Un clic un lampo La prop. A sembra vera!!! F 1 F 2 x x P 12 totale? fingo di non aver visto i lampi e sommo P 12 =P 1 +P 2 P 12 Non c è interferenza!!! x x x Quando osservo gli elettroni ottengo una diversa distribuzione! Forse la luce è troppo forte? diminuisco l intensità P 1 P 2 P 1 =P 1 e P 2 =P 2 i lampi rimangono identici, ma alcuni clic non sono preceduti da alcun lampo

17 Aggiungo una colonna P 1 F 1 F 2? x x x x x disturbo meno P 2 P 12 =P 1 +P 2 NON INTERFERENZA P=P 12 tipo onda INTERFERENZA Se descrivo la luce in maniera corpuscolare (fotoni), diminuendo l intensità diminuisce il numero di fotoni emessi qualche elettrone non viene colpito! Fotone p=h/ quindi perturbo meno se aumento, non se diminuisco I, Nulla cambia finché F 1 F 2 Lampo rossiccio e cicciotto che non permette più di distinguere se l elettrone è passato in F 1 o in F 2. P 12 =P 12 CON INTERFERENZA

18 Principio di indeterminazione P. ind. Heisenberg: è impossibile costruire un apparecchio in grado di determinare se gli elettroni sono passati da F 1 o F 2 e che non perturbi gli elettroni in modo da preservare la figura di interferenza. Le leggi della natura sono coerenti se esiste un INTRINSECA limitazione alle nostre possibilità sperimentali. E la prop. A? x p h Se si ha un apparecchio che permette di vedere in quale foro è passato l elettrone, allora posso dire se è passato in F 1 o F 2. Se NON si prova a determinarlo, allora non si può dire dove è passato.

19 E se osservo le fenditure? p 1 = hν c sin θ 1 hν c p 2 = hν c sin θ 2 hν c x a/2 d x + a/2 d Condizione necessaria per rilevare da quale fenditura è passato l elettrone: p < p 1 p 2 hv c θ 1 θ 2 ha λd Le frange di interferenza possono essere osservate se la posizione dello schermo è misurata con una precisione x minore della separazione tra le frange di interferenza: x p < λd a ha λd = h x < λd a Se queste condiziono sono verificate entrambe: Violando il principio di indeterminazione!!!

20 Riassunto e principi della MQ 1. La P di un evento è data dal modulo quadro di un numero complesso $, detto ampiezza di probabilità: ψ : ampiezza di probabilità P : probabilità P = ψ 2 2. Quando un evento può avvenire secondo varie alternative si sommano le ampiezze di probabilità interferenza: ψ = ψ 1 + ψ 2 P = ψ 2 = ψ 1 + ψ 2 2 Se si effettua un esperimento in grado di determinare se si verifica l una o l altra possibilità, la probabilità totale è la somma delle probabilità e non delle ampiezze di probabilità no interferenza. P = P 1 + P 2 = ψ ψ Quando una particella percorre un particolare cammino, l ampiezza associata si può scrivere come il prodotto dell ampiezza relativa ad una parte di esso per l ampiezza riguardante il resto del cammino.

21 Riassunto e principi della MQ Queste idee sono alla base della formulazione di Feynman della meccanica quantistica attraverso l integrale di cammino. Nell esperimento con elettroni immaginiamo di aggiungere molti schermi con molte fenditure ciascuno ψ = i=1,2 α=a,b,c e così via ψ Si ψ iα ψ αx Sfruttando questa idea si può ottenere l ampiezza perché una particella in uno stato iniziale i possa trovarsi in nello stato finale f dopo un tempo t la cui dinamica è governata dalla Hamiltoniana classica H=p 2 /2m+V(q) e la cui corrispondente lagrangiana è L=L(q,q ): t f t L(q, q)dt i ψ = N Dqe i

22 Grazie!