Lecture 4. Text: Motori Aeronautici Mar. 6, Mauro Valorani Univeristà La Sapienza. Equazioni del moto dei fluidi

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Berto Caputo
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1 Lecture 4 Equazioni del Text: Motori Aeronautici Mar. 6, 2015 Equazioni del Mauro alorani Univeristà La Sapienza 4.39

2 Agenda Equazioni del

3 Modelli Macroscopico a Equazioni del Ipotesi: volume costante nel tempo e nello spazio; temperatura del fluido costante nel tempo e nello spazio; sistema scambia massa con l ambiente tramite due condotti con sezioni trasversali di ingresso S 1 e uscita S 2 ; campo di flusso quasi-1d su S 1 ed S 2 ; sistema scambia lavoro W con l ambiente attraverso superfici mobili S w,m che modificano la forma del volume di fluido ; W > 0 se fatto dal sistema sull ambiente; W > 0 se ricevuto dall ambiente; sistema scambia calore Q con l ambiente: Q > 0 se ceduto dall ambiente al sistema; Q < 0 se ceduto dal sistema all ambiente. 4.41

4 Equazioni del Figure:. 4.42

5 Regole di derivazione di grandezze mediate Equazioni del Le regole di derivazione delle grandezze mediate utlizzate nei bilanci macroscopici sono: ( ) 1 T Media temporale su intervallo di tempo T : f x = f ( x; t ) dt T 0 Media spaziale su area S: < f > (t) = 1 f ( x; t ) ds S S Media spaziale e temporale: < f >= 1 T f ( x; t ) dsdt T S 0 S Si definisca infine l operatore ( ) come ( ) := ( ) 2 ( ) 1 che rappresenta la differenza fra il valore di una generica variabile valutato all uscita del sistema meno quello valutato all ingresso del sistema 4.43

6 Conservazione della massa Bilancio Equazioni del La massa totale del sistema si può calcolare con l integrale di volume: m tot = ρd (1) La variazione nel tempo della massa totale in funzione dei flussi entranti e uscenti nel e dal sistema si scrive: d dt (m tot ) = [ṁ] (2) in cui la portata di massa ṁ che attraversa la superficie di area S i vale: ( ṁ i = ρ ) nds i ρ < Ṽ > S i (3) S Se il problema è stazionario si ricava che: ṁ 1 = ṁ 2 (4) 4.44

7 Conservazione della quantità di Bilancio Equazioni del La quantità di totale del sistema si può calcolare con l integrale di volume: Ptot = ρ d (5) La variazione nel tempo della quantità di totale in funzione dei flussi entranti e uscenti nel e dal sistema attraverso S 1 ed S 2 e delle forze di superficie e gravitazionali si scrive: in cui: d dt ( ) [ Ptot = (ρ < Ṽ 2 > +p) ] S + m tot g F S = ±S n (6) F = Fvisc + F press = Sw τ nds + Sw p nds Se il problema è stazionario, allora si può calcolare la forza che il fluido esercita sulle pareti che circondano il sistema: F = [(ρ < Ṽ 2 > +p) ] S + m tot g (7) La funzione ρ < Ṽ 2 > +p è denominata spinta della corrente (stream thrust). Questa relazione permette di trovare risposte a problemi pratici molto importanti quali ad esempio il calcolo della reazione del fluido su una paletta di pompa o turbina, o sul gomito di una tubazione. 4.45

8 Bilancio Equazioni del Si definisce l energia totale del sistema come: ( E mec,tot = ρ φ + ) 2 d = φ tot + K tot (8) 2 La forma macroscopica del bilancio di energia si scrive: [( d 1 < (Emec,tot ) = Ṽ 3 > dt 2 < Ṽ > + ˆφ + ˆp ) ] ṁ Ẇ Ėv Ėc (9) ρ energia cinetica totale: K tot := ρ 2 2 d energia potenziale gravitazionale totale: φ tot := ρφd potenza convertita (reversibile) in energia interna (solo se 0): Ė c := ( p ) d potenza dissipata (irreversibile) per attriti : Ė v := ( τ : ) d > 0 lavoro delle forze di pressione e d attrito compiuto sulle superfici mobili S w,mnell unità di tempo Ẇ := ( ) p n + τ n ds Sw,m 4.46

9 Bilancio La legge che esprime la conservazione dell energia in un sistema isotermo vale: in cui: d [ 1 (Ktot + φtot + Atot ) = dt 2 energia libera di Helmoltz: < Ṽ ] 3 > < Ṽ > + ˆφ + ĝ ṁ Ẇ Ėv (10) A = U TS e il suo valore specifico a = u Ts entalpia libera di Gibbs: G = H TS e il suo valore specifico g = h Ts e l energia libera del sistema vale A tot := ρad Equazioni del Questa forma è molto simile a quella del bilancio di energia, ma il termine Ėc e p/ρ non sono più presenti; questi termini sono sostituiti da A tot e g. L equazione di bilancio dell energia è una conseguenza del bilancio di quantità di, mentre il bilancio dell energia espressa in termini di A e g è ottenuto attraverso il primo e secondo principio della termodinamica. 4.47

10 Caso stazionario Equazioni del Caso stazionario: il lavoro specifico per unità di massa scambiato dal sistema con l esterno (tramite organi con pareti mobili) vale: Ẇ ṁ [ ] [ ] 1 = 2 < Ṽ 2 > + ˆφ + ĝ Ėv 1 [ ] ṁ = 2 < Ṽ 2 > ˆφ Il differenziale totale di g si scrive dg = dh Tds sdt = dp ρ sdt e, nel caso isotermo, dg = dp ρ Caso gas ideale: la variazione totale di entalpia libera tra stato (1) e (2) vale: 2 2 dp [ĝ] = dĝ = 1 1 ρ = RT log ˆp 2 ˆp 1 Se perdite e lavoro scambiato con l esterno sono nulli (Ėv = Ẇ = 0), vale il teorema di Bernoulli per flussi compressibili e sistemi macroscopici isotermi: [ĝ] Ėv ṁ (11) [ 1 2 < Ṽ 2 > ] + [ ˆφ] + RT log ˆp 2 ˆp 1 = 0 (12) 4.48

11 Bilanci macroscopici per sistemi non isotermi Il bilancio dell energia per un sistema non isotermo si scrive: de tot dt = [( u + p ρ Caso stazionario con < Ṽ 3 > < Ṽ >3 : da cui la relazione: d dt ( ) = 0 ) ] < Ṽ >3 < Ṽ > + φ ṁ + Q Ẇ (13) ṁ 1 = ṁ 2 = ṁ [ h + 1 ] 2 < Ṽ >2 +φ = Q ṁ Ẇ ṁ La variazione di entalpia per un gas ideale per cui valgono le relazioni: (14) Equazioni del dh = c pdt p = ρrt c p c v = R si scrive: T 2 T 2 [h] = (c v + R)dT = c pdt = T 1 T 1 T 2 R M T 1 γ γ 1 dt 4.49

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