LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande)
|
|
- Corrado Ricci
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande) Allo scopo di interpolare un istogramma di un carattere statistico X con una funzione continua (di densità), si può far ricorso nell analisi statistica alla distribuzione normale o distribuzione di Gauss come modello teorico di riferimento. Ciò, in particolare, quando il numero delle classi dell istogramma è elevato e l ampiezza di ogni classe piccola. Ad esempio, la figura che segue si riferisce alla distribuzione empirica della statura di 700 maschi di età -18 anni; l istogramma può essere interpolato con una curva normale con media μ = 17.8 cm e varianza σ = 56.7 cm (deviazione standard σ = 7.53 cm): Statura di 700 maschi di età -18 anni Densità statura In realtà, la variabilità di alcuni caratteri biologici (peso, statura, pressione arteriosa, glicemia, temperatura corporea, ) dipende dall apporto di molteplici fattori genetici e ambientali e le loro distribuzioni sono tanto più vicine alla distribuzione normale quanto più grande è il numero di fattori che entrano in gioco. La densità di un carattere X distribuito normalmente è individuata dalla funzione: 1 (x μ) σ f ( x) = e π σ ed è caratterizzata dai due parametri di media μ e varianza σ. La figura seguente rappresenta la curva di una distribuzione normale con μ =5 e sull asse orizzontale sono evidenziati i valori di μ + σ =.5, μ = 5 e μ + σ = 7.5 : σ = 6.3 e La curva normale risulta: 1
2 simmetrica rispetto alla retta parallela all asse verticale e passante per la media, ovvero, presi due punti qualsiasi sull asse orizzontale equidistanti dalla mediana (=media), uno a sinistra e l altro a destra, la funzione di densità assume per essi lo stesso valore; asintotica rispetto all asse delle ascisse, cioè per valori sempre più distanti dalla media l ordinata della curva tende a zero; crescente nell intervallo (, μ ) e decrescente nell intervallo ( μ,+ ); la crescita è meno veloce fino a μ σ (punto di flesso) e più rapida da tale valore a μ ; si ha un massimo in μ e poi l andamento è decrescente con ritmo più veloce dal massimo a μ + σ (punto di flesso). Un significato importante assume l area al di sotto della curva tra i valori X=x 1 e X=x : Area tra x 1 e x = Frequenza % dei valori di X compresi tra x 1 e x = P(x 1 <X x ) L area totale al di sotto della curva è uguale a 1 e si può osservare che: P(X>x 1 ) = 1 P(X x 1 ) e P(x 1 <X x ) = P(X x ) P(X x 1 ). La media è il parametro di posizione, nel senso che, al variare del suo valore, la curva non cambia nella forma ma subisce una traslazione rispetto all asse orizzontale; nella figura sono rappresentate tre distribuzioni di pesi aventi la stessa varianza ma media diversa: La varianza è il parametro di scala: al suo variare cambia la forma della curva di distribuzione. In particolare, per bassi valori di σ, l area sotto la curva è concentrata intorno alla media, mentre per alti valori di σ, la curva è schiacciata rispetto all asse orizzontale; nella figura sono riportate tre distribuzioni di pesi aventi ugual media, ma varianze diverse:
3 Evidentemente esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse tra loro, ottenute al variare dei due parametri. Tutte queste distribuzioni diverse possono essere ricondotte ad un unica distribuzione standard: la distribuzione normale standard, avente media μ = 0 e varianza σ =1. All uopo va considerata la trasformazione (standardizzazione): Z = X μ, σ e Z è la variabile normale standardizzata e ha densità f ( z) = e π Graficamente: 1 z. Per il calcolo delle aree al di sotto della curva normale standardizzata si può far ricorso ad un programma informatico (ad esempio all ambiente R) o a tavole della distribuzione normale standardizzata (come quella riportata in Appendice). In merito alle aree, un risultato importante è schematizzato nella figura che segue: 3
4 Esempio 1. Una popolazione di maschi si distribuisce normalmente secondo la statura (X) con media μ = 173 cm e deviazione standard σ = cm. Determinare la frequenza relativa degli individui: 1. con statura maggiore di 00 cm;. con statura compresa tra 175 e 190 cm; 3. con statura minore di 156 cm. Per rispondere alle domande poste è necessario procedere alla standardizzazione dell altezza e utilizzare la tavola riportata in Appendice. 1. standardizzando x = 00 cm: z = =.08, si ha: P(X>00) = P(Z>.08) = 1 P(Z.08) = (ricercando all interno della tavola nell incrocio tra la riga del.0 e la colonna di 0.08) = = = 1.9% % di individui;. standardizzando 175 e 190 cm: z 1 = = 0.15 e z = = 1. 31, si ha: P(175<X 199)=P(0.15<Z 1.31)=P(Z 1.31) P(Z 0.15)= (valori interni alla tavola nell incrocio tra la riga di 1.3 e 0.01 e nell incrocio tra la riga di 0.1 e 0.05) = % di maschi; 4
5 3. standardizzando 156 cm: z = = 1.31, risulta: P(X 156)=P(Z 1.31)= (per la simmetria della curva) = P(Z >1.31) = 1 P(Z 1.31) = (valore interno alla tavola nell incrocio tra la riga 1.3 e la colonna 0.01) = % di individui. Sempre in riferimento all esempio considerato, ci si può chiedere: 4. qual è la statura massima del 10% degli individui più bassi; 5. qual è la statura minima del 5% degli individui più alti. Per rispondere alle due domande è necessario partire dai valori interni alla tavola (che sono valori di frequenze relative/probabilità). 4. Va determinato, anzitutto, il valore z 1 della variabile Z per il quale risulta P(Z z 1 )=10%=0.1. Per la simmetria della curva (vedi grafico) risulta che: P(Z z 1 ) = P(Z>z )=1 P(Z z ).Osservando all interno della tabella di Appendice, il valore z di Z al quale corrisponde una probabilità di 0.90 (data da 1 0.1) è pari a 1.8 (riga di 1. e colonna di 0.08). Pertanto, sempre per la simmetria, si ha: z 1 = 1.8 e, per la standardizzazione, il valore x 1 della variabile X corrispondente a z 1 è dato da (x 1 173)/= 1.8 x 1 = 156 cm. Tale valore è proprio la massima altezza del 10% degli individui più bassi. 5. In questo caso il valore z 1 di z è tale che P(Z>z 1 ) = 5% = 0.05 e va determinato in modo che risulti 1 P(Z z 1 ) = Dall interno della tavola si evince che il valore di Z al quale corrisponde una probabilità del 95% è pari a z 1 = (media dei valori di Z corrispondenti al probabilità di e ). Il valore x 1 dell altezza di ottiene da: (x 1 173)/= x 1 = 194 cm, che rappresenta proprio la statura minima del 5% degli individui più alti nella popolazione presa in esame. Esempio. In una data popolazione è noto che l HDL-colesterolo si distribuisce normalmente con media μ = 57 mg/100ml e deviazione standard σ = 5 mg/100ml. Determinare la percentuale di soggetti della popolazione con a) HDL maggiore di 60 mg/100ml, b) HDL compreso tra 40 e 45 mg/100ml, c) HDL minore di 58 mg/100ml, d) HDL tra 55 e 58 mg/100ml. (risultati: a) 7.43%, b) 0.79%, c) 57.93%, d) 3.47%). 5
6 APPENDICE 6
Esercitazione: La distribuzione NORMALE
Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle
DettagliLezione VI: Distribuzione normale. La distribuzione normale (curva di Gauss). Prof. Enzo Ballone. Lezione 6a- Ia distribuzione normale
Lezione VI: Distribuzione normale Cattedra di Biostatistica Dipartimento di Scienze Biomediche, Università degli Studi G. d Annunzio di Chieti Pescara Prof. Enzo Ballone Lezione 6a- Ia distribuzione normale
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE
LA DISTRIBUZIONE NORMALE Italo Nofroni Statistica medica - Facoltà di Medicina Sapienza - Roma La più nota ed importante distribuzione di probabilità è, senza alcun dubbio, la Distribuzione normale, anche
DettagliScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner Università di Cassino Corso di Statistica Esercitazione
DettagliDISTRIBUZIONE NORMALE (1)
DISTRIBUZIONE NORMALE (1) Nella popolazione generale molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da un punto di vista matematico, chiamata distribuzione normale
DettagliISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:
ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 n k 6 5 n=0 =. 9.4-.6 5 4.6-3.8 3 Numero di misure nell intervallo 0 0 4 6 8 0 4 6 8 30 ISTOGRAMMI
DettagliFENOMENI CASUALI. fenomeni casuali
PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI
DettagliLa SCALA di Probabilità varia tra 0.00 e 1.00.
CHE COS E LA PROBABILITA La probabilità è la MISURA dell incertezza di un evento, cioè come noi classifichiamo gli eventi rispetto alla loro incertezza. La SCALA di Probabilità varia tra 0.00 e 1.00. 0.00
DettagliVariabile casuale Normale
Variabile casuale Normale La var. casuale Normale (o Gaussiana) è considerata la più importante distribuzione Statistica per le innumerevoli Applicazioni e per le rilevanti proprietà di cui gode L'importanza
DettagliA1. La curva normale (o di Gauss)
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 202/203 lezione n. 8 dell aprile 203 - di Massimo Cristallo - A. La curva normale (o di Gauss) La curva
DettagliProbabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva
Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.
DettagliCapitolo 6. La distribuzione normale
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università
DettagliV.C. RETTANGOLARE o UNIFORME
V.C. RETTANGOLARE o UNIFORME La v.c. continua RETTANGOLARE o UNIFORME descrive il modello probabilistico dell equiprobabilità. [ a b] X, con densità di probabilità associata: P( x) 1 b a con P(x) costante.
DettagliCapitolo 6 La distribuzione normale
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università
DettagliLa Distribuzione Normale (Curva di Gauss)
1 DISTRIBUZIONE NORMALE o DISTRIBUZIONE DI GAUSS 1. E la più importante distribuzione continua e trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici. 2. Fu proposta da Gauss (1809) nell'ambito
DettagliEsercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano
Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare a) La probabilità che escano esattamente
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE ESERCITAZIONE
LA DISTRIBUZIONE NORMALE ESERCITAZIONE Esercizio 1 Se si suppone che, nella popolazione degli adulti, il livello di acido urico (mg/100 ml) segua una distribuzione gaussiana con media e d.s. rispettivamente
DettagliVariabili aleatorie gaussiane
Variabili aleatorie gaussiane La distribuzione normale (riconoscibile dalla curva a forma di campana) è la più usata tra tutte le distribuzioni, perché molte distribuzioni che ricorrono naturalmente sono
DettagliVariabile Casuale Normale
Variabile Casuale Normale Variabile Casuale Normale o Gaussiana E una variabile casuale continua che assume tutti i numeri reali, è definita dalla seguente funzione di densità: 1 f( x) = e σ 2 π ( x µ
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Nell associare ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale (o aleatoria, o stocastica). Ogni variabile casuale ha una corrispondente
DettagliStatistica. Alfonso Iodice D Enza
Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unina.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 27 Outline 1 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 () Statistica 2 / 27 Outline 1 2 3 () Statistica 2 /
DettagliDistribuzione Normale
Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - 9.Statistica - CTF Matematica - Seconda Parte Codice Compito: - Numero d Ordine D. 1 Un veicolo marcia per 50 km alla velocita v, e per altri 50 km alla velocita
Dettagli1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:
CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o
DettagliTeoria e tecniche dei test. Concetti di base
Teoria e tecniche dei test Lezione 2 2013/14 ALCUNE NOZIONI STATITICHE DI BASE Concetti di base Campione e popolazione (1) La popolazione è l insieme di individui o oggetti che si vogliono studiare. Questi
Dettaglile scale di misura scala nominale scala ordinale DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione si basano su tre elementi:
DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione! Paola Magnano paola.magnano@unikore.it si basano su tre elementi: le scale di misura sistema empirico: un insieme di entità non numeriche (es. insieme di persone; insieme
DettagliEsercizi Svolti. 2. Costruire la distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa
Esercizi Svolti Esercizio 1 Per una certa linea urbana di autobus sono state effettuate una serie di rilevazioni sui tempi di attesa ad una determinata fermata; la corrispondente distribuzione di frequenza
DettagliDistribuzioni di probabilità
Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione
DettagliΣ (x i - x) 2 = Σ x i 2 - (Σ x i ) 2 / n Σ (y i - y) 2 = Σ y i 2 - (Σ y i ) 2 / n. 13. Regressione lineare parametrica
13. Regressione lineare parametrica Esistono numerose occasioni nelle quali quello che interessa è ricostruire la relazione di funzione che lega due variabili, la variabile y (variabile dipendente, in
DettagliES.2.3. è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita
ES.2.3 1 Distribuzione normale La funzione N(x; µ, σ 2 = 1 e 1 2( x µ σ 2 2πσ 2 si chiama densità di probabilità normale (o semplicemente curva normale con parametri µ e σ 2. La funzione è simmetrica rispetto
DettagliLe tappe sono essenzialmente 2
Statistica3 28/09/2015 Che cosa interessa realmente al biologo quando ad esempio determina la glicemia in un gruppo di 6 animali? La glicemia di questi 6 animali La glicemia degli animali sani Le tappe
DettagliUniversità degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali
Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si
DettagliStatistica. Lezione 4
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela
DettagliSIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI
www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione
DettagliMISURE DI SINTESI 54
MISURE DI SINTESI 54 MISURE DESCRITTIVE DI SINTESI 1. MISURE DI TENDENZA CENTRALE 2. MISURE DI VARIABILITÀ 30 0 µ Le due distribuzioni hanno uguale tendenza centrale, ma diversa variabilità. 30 0 Le due
DettagliLA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS
p. / LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS È una delle più importanti distribuzioni di variabili casuali continue p. / LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS È una delle più importanti distribuzioni di variabili
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA (variabili quantitative)
STATISTICA DESCRITTIVA (variabili quantitative) PRIMO ESEMPIO: Concentrazione di un elemento chimico in una roccia. File di lavoro di STATVIEW Cliccando sul tasto del pane control si ottiene il cosiddetto
DettagliApprossimazione normale alla distribuzione binomiale
Approssimazione normale alla distribuzione binomiale P b (X r) costoso P b (X r) P(X r) per N grande Teorema: Se la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri N e p, allora, per N
DettagliStrumenti di indagine per la valutazione psicologica
Strumenti di indagine per la valutazione psicologica.3 - La distribuzione normale Tempi di reazione Registrati i tempi di reazione (in millisecondi) a uno stimolo (n = 30). Classe Freq Freq relative Densità
DettagliVariabili aleatorie continue
Variabili aleatorie continue Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare
DettagliIstituzioni di Statistica e Statistica Economica
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 1 A. I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono
DettagliIndicatori di Posizione e di Variabilità. Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Statistica Medica
Indicatori di Posizione e di Variabilità Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Statistica Medica Indici Sintetici Consentono il passaggio da una pluralità
Dettagli1/55. Statistica descrittiva
1/55 Statistica descrittiva Organizzare e rappresentare i dati I dati vanno raccolti, analizzati ed elaborati con le tecniche appropriate (organizzazione dei dati). I dati vanno poi interpretati e valutati
DettagliDistribuzioni e inferenza statistica
Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione
Dettagli3) In una distribuzione di frequenza si può ottenere più di una moda Vero Falso
CLM C Verifica in itinere statistica medica 13-01-2014 1) Indicate a quale categoria (Qualitativa, qualitativa ordinabile, quantitativa discreta, quantitativa continua) appartengono le seguenti variabili:
DettagliPROBABILITÀ SCHEDA N. 7 LA VARIABILE ALEATORIA NORMALE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte wwwdimaunige/pls_statistica Responsabili scientifici MP Rogantin e E Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ SCHEDA
DettagliN.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento.
N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle abelle riportate alla fine del documento. Esercizio 1 La concentrazione media di sostanze inquinanti osservata nelle acque di un fiume
DettagliLABORATORIO DI PROBABILITA E STATISTICA
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI VERONA LABORATORIO DI PROBABILITA E STATISTICA Docente: Bruno Gobbi Corso di laurea in Informatica e Bioinformatica 6 VARIABILI ALEATORIE CONTINUE z LA VARIABILE NORMALE Esempio
DettagliLEZIONI DI STATISTICA MEDICA
LEZIONI DI STATISTICA MEDICA A.A. 2010/2011 Lezione n.3 - Indici di posizione 1 Per i caratteri qualitativi, la tabella e le rappresentazioni grafiche esauriscono quasi completamente gli aspetti descrittivi.
DettagliIl campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza
Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento
DettagliUniversità di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 15/10/2007 Dott. Alfonso Piscitelli. Esercizio 1
Università di Cassino Corso di Statistica 1 Esercitazione del 15/10/2007 Dott. Alfonso Piscitelli Esercizio 1 Il seguente data set riporta la rilevazione di alcuni caratteri su un collettivo di 20 soggetti.
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliStatistica Un Esempio
Statistica Un Esempio Un indagine sul peso, su un campione di n = 100 studenti, ha prodotto il seguente risultato. I pesi p sono espressi in Kg e sono stati raggruppati in cinque classi di peso. classe
DettagliDistribuzioni campionarie
1 Inferenza Statistica Descrittiva Distribuzioni campionarie Statistica Inferenziale: affronta problemi di decisione in condizioni di incertezza basandosi sia su informazioni a priori sia sui dati campionari
DettagliINDICATORI DI TENDENZA CENTRALE
INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE Consentono di sintetizzare un insieme di misure tramite un unico valore rappresentativo indice che riassume o descrive i dati e dipende dalla
DettagliStatistica descrittiva
Statistica descrittiva Caso di 1 variabile: i dati si presentano in una tabella: Nome soggetto Alabama Dato 11.6.. Per riassumere i dati si costruisce una distribuzione delle frequenze. 1 Si determina
DettagliCAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE
CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE 1. Probabilità nel continuo Fino ad ora abbiamo considerato casi in cui l insieme degli eventi elementari è finito. Vediamo, mediante due semplici esempi, come si
DettagliEsercitazione 8 maggio 2014
Esercitazione 8 maggio 2014 Esercizio 2 dal tema d esame del 13.01.2014 (parte II). L età media di n gruppo di 10 studenti che hanno appena conseguito la laurea triennale è di 22 anni. a) Costruire un
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione
DettagliIntervallo di confidenza
Intervallo di confidenza Prof. Giuseppe Verlato, Prof. Roberto de Marco Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche Stima
DettagliIntervalli di confidenza
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliUlteriori Conoscenze di Informatica e Statistica
ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17
DettagliLEZIONI DI STATISTICA MEDICA
LEZIONI DI STATISTICA MEDICA A.A. 2010/2011 - Distribuzione binomiale - Distribuzione Normale Sezione di Epidemiologia & Statistica Medica Università degli Studi di Verona DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulla DISTRIBUZIONE NORMALE
STATISTICA: esercizi svolti sulla DISTRIBUZIONE NORMALE 1 2 Tavole della normale standard. Φ(x) = x 1 2π e t2 2 dt z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09 0.0 0.0 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279
DettagliINDICATORI DI TENDENZA CENTRALE
INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE Consentono di sintetizzare un insieme di misure tramite un unico valore rappresentativo è indice che riassume o descrive i dati e dipende
DettagliProgrammazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva
Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di
DettagliStatistica. Campione
1 STATISTICA DESCRITTIVA Temi considerati 1) 2) Distribuzioni statistiche 3) Rappresentazioni grafiche 4) Misure di tendenza centrale 5) Medie ferme o basali 6) Medie lasche o di posizione 7) Dispersione
DettagliMISURE DI DISPERSIONE
MISURE DI DISPERSIONE 78 MISURE DI DISPERSIONE Un insieme di dati numerici può essere sintetizzato da alcuni valori tipici, che indicano il grado di variabilità dei dati stessi. Grado di Variabilità o
DettagliESERCIZI STATISTICA DESCRITTIVA
ESERCIZI STATISTICA DESCRITTIVA Frequenze assolute e relative Titolo di studio Frequenze assolute Frequenze relative Proporzioni Percentuali Senza titolo 30 0,025 2,5 Lic. elementare 509 0,424 42,4 Licenza
DettagliSCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA
SCHEDA N 1 IL PENDOLO SEMPLICE SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA Scopo dell'esperimento. Determinare il periodo di oscillazione di un pendolo semplice. Applicare le nozioni sugli errori di una grandezza
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliUniversità del Piemonte Orientale. Corso di laurea in medicina e chirurgia. Corso di Statistica Medica. La distribuzione t - student
Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica La distribuzione t - student 1 Abbiamo visto nelle lezioni precedenti come il calcolo del valore Z,
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA. Elementi di statistica medica GLI INDICI INDICI DI DISPERSIONE STATISTICA DESCRITTIVA
STATISTICA DESCRITTIVA Elementi di statistica medica STATISTICA DESCRITTIVA È quella branca della statistica che ha il fine di descrivere un fenomeno. Deve quindi sintetizzare tramite pochi valori(indici
DettagliLIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.
55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino
DettagliStatistica4-29/09/2015
Statistica4-29/09/2015 Raccogliere i dati con il maggior numero di cifre significative ed arrotondare eventualmente solo al momento dei calcoli (min. 3); nella grande maggioranza delle ricerche biologiche
DettagliDISTRIBUZIONI DI PROBABILITA
DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA La distribuzione di probabilità e un modello matematico, uno schema di riferimento, che ha caratteristiche note e che può essere utilizzato per rispondere a delle domande derivate
DettagliG5. Studio di funzione - Esercizi
G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le
DettagliDISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE
DISTRIBUZIONE NORMALE STANDARDIZZATA ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE Sapendo che la variabile dominanza si distribuisce normalmente con media = 32 e deviazione standard = 5, trovare, in un gruppo di 80 soggetti,
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliStatistica descrittiva II
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 009/010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Statistica descrittiva II Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 2
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 2 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it TIPI DI MEDIA: GEOMETRICA, QUADRATICA, ARMONICA Esercizio 1. Uno scommettitore puntando una somma iniziale
DettagliI principali tipi di grafici
I principali tipi di grafici Esiste una grande varietà di rappresentazioni grafiche. I grafici più semplici e nello stesso tempo più efficaci e comunemente utilizzati sono: I GRAFICI A BARRE I GRAFICI
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 4
CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 4 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Differenze semplici medie, confronti in termini di mutua variabilità La distribuzione del prezzo
Dettagli1/4 Capitolo 4 Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/ed Copyright 2008 The McGraw-Hill Companies srl
1/4 Capitolo 4 La variabilità di una distribuzione Intervalli di variabilità Box-plot Indici basati sullo scostamento dalla media Confronti di variabilità Standardizzazione Statistica - Metodologie per
DettagliPROVA SCRITTA DI STATISTICA. cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLELI cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLEMIT. 5 Novembre 2003 SOLUZIONI MOD.
PROVA SCRITTA DI STATISTICA cod. 4038 CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLELI cod. 5047 CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLEMIT 5 Novembre 003 SOLUZIONI MOD. A In 8 facoltà di un ateneo italiano vengono rilevati i seguenti dati campionari
DettagliObiettivi Strumenti Cosa ci faremo? Probabilità, distribuzioni campionarie. Stimatori. Indici: media, varianza,
Obiettivi Strumenti Cosa ci faremo? inferenza Probabilità, distribuzioni campionarie uso stima Stimatori significato teorico descrizione Indici: media, varianza, calcolo Misure di posizione e di tendenza
DettagliCasa dello Studente. Casa dello Studente
Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino
DettagliIL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Metodi per l Analisi dei Dati Sperimentali AA009/010 IL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Sommario Massima Verosimiglianza Introduzione La Massima Verosimiglianza Esempio 1: una sola misura sperimentale
DettagliParabola ************************* La curva chiamata PARABOLA si rappresenta con la seguente funzione matematica (1)
ttività di recupero conoscenze di ase) araola Oiettivi Saper riconoscere la funzione che esprime la conica. Saper tracciare il grafico di una paraola. Saper determinare gli elementi caratterizzanti una
DettagliLa distribuzione delle frequenze. T 10 (s)
1 La distribuzione delle frequenze Si vuole misurare il periodo di oscillazione di un pendolo costituito da una sferetta metallica agganciata a un filo (fig. 1). A Figura 1 B Ricordiamo che il periodo
Dettagliesperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale;
Capitolo 15 Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti Esercizio 15.1: Suggerimento Si ricordi che: esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l effetto del caso; evento elementare: ciascuno
DettagliÈ possibile trovare la popolazione di origine conoscendone un campione? o meglio. partendo dalla conoscenza di n, x e d.s.?
Statistica6-06/10/2015 È possibile trovare la popolazione di origine conoscendone un campione? o meglio. È possibile conoscere σ e μ partendo dalla conoscenza di n, x e d.s.? 1 A partire da un campione
DettagliVedi: Probabilità e cenni di statistica
Vedi: http://www.df.unipi.it/~andreozz/labcia.html Probabilità e cenni di statistica Funzione di distribuzione discreta Istogrammi e normalizzazione Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 05-Deviazione standard e punteggi z vers. 1.1 (22 ottobre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
DettagliIndici di eterogeneità e di concentrazione
Indici di eterogeneità e di concentrazione Dario Malchiodi e Anna Maria Zanaboni 12 gennaio 2016 1 Indici di eterogeneità Nel caso di variabili qualitative nominali la varianza e gli altri indici da essa
DettagliLa distribuzione Gaussiana
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione
DettagliLE MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Dott. Giuseppe Di Martino Scuola di Specializzazione in Igiene e Medicina Preventiva
LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE Dott. Giuseppe Di Martino Scuola di Specializzazione in Igiene e Medicina Preventiva Individuare un indice che rappresenti significativamente un insieme di dati statistici
DettagliITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
DettagliNote sulla probabilità
Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15
DettagliFonte: Esempio a fini didattici
I principali tipi di grafici Esiste una grande varietà di rappresentazioni grafiche. I grafici più semplici e nello stesso tempo più efficaci e comunemente utilizzati sono: i grafici a barre i grafici
Dettagli