Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia. Corso di Statistica Medica. Correlazione. Regressione Lineare
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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Corso di Statistica Medica Correlazione Regressione Lineare Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
2 Campo di applicazione Analisi della relazione tra due variabili continue Es: relazione tra altezza e peso Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
3 Campo di applicazione Le variabili sono associate? -> correlazione Come varia il valore di una variabile in conseguenza del variare di un altra variabile? -> regressione Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
4 Correlazione Dato un insieme di osservazioni definite da due variabili continue, valutiamo la forza dell associazione tra le due variabili disegnando il diagramma di dispersione e calcolando il coefficiente di correlazione Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
5 Il diagramma di dispersione si disegna riportando i valori delle osservazioni su un sistema di assi cartesiani, in cui l asse x rappresenta una delle due variabili e l asse y l altra variabile Il diagramma consente di collocare ogni osservazione nello spazio definito dai valori possibili delle due variabili Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
6 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36, 34, 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
7 La forma della nuvola di punti così ottenuta consente una valutazione visiva del grado di associazione tra le due variabili Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
8 36, Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna 34, 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,,, età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
9 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36, 34, 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
10 Il coefficiente di correlazione di Pearson (r) consente la valutazione formale del grado di associazione L intervallo dei valori possibili di r è: -1 <= r <=1 Se r=1 o r=-1 tutti i punti giacciono su una retta Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
11 36, 34, Relazione tra circonferenza cranica alla nascita ed età materna r =,1 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,,, età materna Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 11
12 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36, 34, r =,7 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,,, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
13 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 13 ( )( ) ( ) ( ) = = = = n i n i i i n i i i y y x x y y x x r La formula del coefficiente di correlazione di Pearson (r)
14 Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi Colesterolo Trigliceridi (x) (y) 1 3,4 6,4 3, 6,18 3,9, 4 3,77 6,11 3,67 6,36 6,31,67 7,1,48 8 7,8,67 9 8,79 9,4 1 1,3 8,4 medie:,669 6,471 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 14
15 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi trigliceridi colesterolo Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
16 Relazione tra concentrazione plasmatica i colesterolo e trigliceridi Colesterolo Trigliceridi (x) x y 1 3,4 6,4 -,49 -,493 3, 6,18 -,49 -,3 3,9, -,99-1,33 4 3,77 6,11 -,139 -,63 3,67 6,36 -,39 -,373 6,31,67 -,99-1,63 7,1,48 -,89-1,3 8 7,8,67 1,941-1,63 9 8,79 9,4,881, ,3 8,4 6,391 1,667 medie:,669 6,471 (y) ( ) y i xi ( ) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 16
17 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i ( y y) i 3,4 6,4 -,49 -,493 1,187 6,46681,4349 3, 6,18 -,49 -,3 1,33177,8381,389,9, -,99-1,33 4, ,7681,389 3,77 6,11 -,139 -,63 1,3397 4,731, ,67 6,36 -,39 -,373,83147,1311,13919,31,67 -,99-1,63,636737,3881 1,19969,1,48 -,89-1,3 1,13677, ,79 7,8,67 1,941-1,63 -,6383 3, , ,79 9,4,881,667 7, ,3161 7, ,3 8,4 6,391 1,667 1, ,844881, Sommatorie: 6, , ,46149 r=, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 17
18 Esercizi Correlazione Pag 34 n 1 Pag 34 n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 18
19 Regressione Stima della variazione media di una variabile in conseguenza della variazione unitaria di un altra variabile Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 19
20 Variabile indipendente -> causa -> (sulle ascisse) Variabile dipendente -> effetto -> (sulle ordinate) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
21 effetto y V d i p e n d e n t e Var indipendente x causa Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
22 Obiettivo dell analisi di regressione: Individuare la retta che meglio predice il valore di y (variabile dipendente), noto il valore di x (variabile indipendente) y=a+bx Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
23 y=a+bx a -> intercetta b -> pendenza Come stimiamo i valori dei due coefficienti? Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
24 Il valore atteso di x è la sua media y Media di x x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
25 Il valore atteso di y è la sua media Media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
26 La retta che meglio predice y x passa per la media di x e di y y Media di x e media di y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
27 Per un punto passano infinite rette! Quale retta scegliamo? Con quale criterio? y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
28 y x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
29 Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto La retta migliore minimizza la somma dei quadrati dei residui y Metodo detto dei minimi quadrati valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
30 ( )( ) x x y y ( ) x b = i i x i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
31 a = y b x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 31
32 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo (x) Trigliceridi ( y) xi y i ( x) ( y y) ( x) (y) x i * ( x ) i x i 1 3,4 6,4 -,19 -,31,189 4, , 6,18 -,169 -,91, ,7461 3,9, -,719-1,71 3,4849 7, ,77 6,11-1,899 -,361,6839 3,661 3,67 6,36-1,999 -,111,1889 3,9961 6,31,67 -,39 -,81,879, ,1,48 -,69 -,991,63879, ,8,67,181 -,81-1, , ,79 9,4 3,11,99 9, , ,3 8,4 6,631 1,99 1, ,97161 medie:,669 6,471 6, ,4389 b=, a= 4, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
33 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo t rig licerid i (y ) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 33
34 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo 1 t rig licerid i (y ) colesterolo (x) b =,3 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 34
35 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo t rig licerid i (y ) a=4, colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
36 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 +,3* colesterolo t rig licerid i (y ) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 36
37 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 37 Formule abbreviate ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x y i n i a i i i i i ( ) ( )( ) ( ) ( ) = x x y x y x i n i n b i i i i Queste formule sono più convenienti per il calcolo a mano Si basano sulle formule abbreviate per il calcolo della varianza
38 Requisiti dell analisi di regressione Y è una variabile casuale Omoscedasticità (omogeneità della varianza di y x) Distribuzione normale di y x Linearità della relazione tra x ed y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 38
39 In questo esempio abbiamo dati campionati da una popolazione in cui le tre assunzioni sono soddisfatte Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 39
40 Variabilità della retta di regressione y è una variabile casuale x di solito non è una variabile casuale Il ricercatore può scegliere soggetti con i valori della x più adatti per lo studio siamo interessati a valutare la variabilità di y, non quella di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
41 Varianza intorno alla retta di regressione (stima campionaria) s ( ) y yˆ i i = n Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 41
42 Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto Varianza = scarti ^ / gl y valore y_osservato scarto valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
43 s ( ) y yˆ i i = n y ˆ = a + i bx i Sostituisco: s ( y a bx ) = i n i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 43
44 Relazione tra concentrazione plasmatica di colesterolo e trigliceridi Colesterolo Triglicerid att(y) y-att(y) (y-att(y))^ (x) i (y) 1 3,4 6,4,7696,4743,479 3, 6,18,78181,398149,18 3,9,,671 -,471, ,77 6,11,867637,4363,874 3,67 6,36,8386,413, ,31,67 6, ,68694, ,1,48 6,914 -,811, ,8,67 7, ,49396, ,79 9,4 7,4664 1, , ,3 8,4 8,7784 -,17784,3169 somma degli scarti^ 8,77 b=, s(b)^= 1,346 a= 4, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 44
45 Omoscedasticità: la varianza di y è costante per tutto l intervallo x E un requisito per la corretta applicazione della regressione lineare (voltre) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
46 Errore standard di b ES( b) = s ( x x) i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 46
47 Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi att(y) y-att(y) (y-att(y))^ 1 3,4 6,4 4,93961,7696,4743,479 3, 6,18 4,7461,78181,398149,18 3,9, 7,39961,671 -,471, ,77 6,11 3,661,867637,4363,874 3,67 6,36 3,9961,8386,413, ,31,67, , ,68694, ,1,48, ,914 -,811, ,8,67 4, , ,49396, ,79 9,4 9, ,4664 1, , ,3 8,4 43, ,7784 -,17784, ,4389 somma degli scarti^ 8,77 b=, s(b)^= 1,346 a= 4, ES(b)=,1996 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 47
48 Errore standard di b ES( b) = s ( x x) i L errore standard di b si riduce, a parità di s, quando la variabilità di x è maggiore! Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 48
49 Intervallo di Confidenza e tests t per il coefficiente di regressione t = distanza tra il valore di b stimato (b) e quello previsto dall ipotesi nulla (ß, di solito H: ß =), in unità di errore standard di b (SE(b)) t = b β SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 49
50 Intervallo di Confidenza del coefficiente di regressione L intervallo di confidenza si calcola nel modo consueto (v lezione precedente) t ha (n-) gradi di libertà ed il valore è scelto in modo corrispondente all errore di I tipo, con test a code CI = b ± t crit SE(b) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
51 Colesterolo (x) Trigliceridi ( ) (y) x xi att(y) y-att(y) (y-att(y))^ 1 3,4 6,4 4,93961,7696,4743,479 3, 6,18 4,7461,78181,398149,18 3,9, 7,39961,671 -,471, ,77 6,11 3,661,867637,4363,874 3,67 6,36 3,9961,8386,413, ,31,67, , ,68694, ,1,48, ,914 -,811, ,8,67 4, , ,49396, ,79 9,4 9, ,4664 1, , ,3 8,4 43, ,7784 -,17784, ,4389 somma degli scarti^ 8,77 b=, s(b)^= 1,346 a= 4, ES(b)=,1996 IC(9%)_b=, ,74 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 1
52 8 6 4 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 +,3* colesterolo IC(9%)_b= 1,6 -,7 t rig licerid i (y ) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
53 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza circonferenza cranica 36, 34, 3, 3, 8, 6, 4, a=8, b=,1 ES(b)=,1 (IC 9%_b:,41 -,61) y= 8, +,1x,, 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 3
54 Valore di y predetto dalla retta di regressione data y=a+bx, dopo aver ricavato a e b possiamo predire il valore atteso di y, corrispondente ad un dato valore di x Il calcolo si effettua sostituendo il valore di x nella formula, noti a e b e risolvendo l equazione Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 4
55 Valore di y predetto dalla retta di regressione Es il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =8,+,13 * x ŷ ŷ =8,+,13 * 41 =9, Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice
56 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α n i Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
57 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Es il valore di circonferenza cranica predetto per un bambino di lunghezza 41 cm è ŷ =9, ŷ IC( )=,47-3,63 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
58 Intervallo di confidenza dei valori predetti PI ( ) x x i ( ) x x 1 = yˆ ± t s 1+ + gl, α n i La predizione ha un errore maggiore allontanandosi dalla media di x La predizione ha un errore minore con un ampia variabilità di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
59 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
60 atteso_y Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
61 Cautele nella predizione La predizione non è valida fuori dell intervallo osservato di x La predizione è più incerta agli estremi della distribuzione di x Per migliorare la precisione della predizione debbo aumentare la somma dei quadrati degli scarti (devianza) di x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 61
62 Outliers ed osservazioni influenti Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
63 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Ho due outliers, indicati come: 1 e 36, 34, 3, 3, circonferenza cranica 8, 6, 4,, 1, 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 63
64 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Se escludo outlier 1 36, 34, 3, 3, circonferenza cranica 8, 6, 4,, 1, 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 64
65 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza 36, 34, Se escludo outliers 1 e 3, circonferenza cranica 3, 8, 6, 4,, 1, 18, lunghezza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 6
66 Relazione alla nascita tra circonferenza cranica e lunghezza Tutti i dati: a=8, b=,1 Escluso outlier 1: a=4,91 b=,6 Esclusi outlier 1 e : a=4,46 b=,61 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 66
67 Valutazione del modello R : proporzione della varianza che è spiegata dal modello di regressione = (coefficiente di correlazione) ^ Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 67
68 variazione del livello di trigliceridi con il livello di colesterolo trigliceridi=4,67 +,3* colesterolo 1 r =,716 R =,1 t rig licerid i (y ) colesterolo (x) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 68
69 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 69
70 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
71 Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 71
72 Verifica delle assunzioni del modello La verifica delle assunzioni del modello viene condotta esaminando la distribuzione dei residui Se la varianza è costante per tutta la distribuzione della x,anche i residui saranno distribuiti in modo uniforme Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
73 Residuo (o scarto) = valore y_osservato valore y_predetto y valore y_osservato valore y_predetto x Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 73
74 Verifica delle assunzioni del modello Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 74
75 Distribuzione uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 7
76 Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 76
77 Distribuzione non uniforme dei residui Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 77
78 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribuzione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 78
79 Distribuzione normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 79
80 Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
81 Distribuzione non normale dei residui (errori) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 81
82 Verifica dei modelli Omoscedasticità (omogeneità della varianza) Distribizione normale degli errori Linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
83 Perchè parliamo di regressione lineare? La variazione lineare è spesso una spiegazione adeguata Variazioni non lineari diventano tali dopo una trasformazione matematica di una delle variabili La variazione lineare è un punto di partenza Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 83
84 Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 84
85 Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 8
86 Non-linearità Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 86
87 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Radice quadrata Logaritmo Inversa (meglio se ulteriormente moltiplicata per -1) Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 87
88 Trasformazioni normalizzanti e linearizzanti Dati trasformati Inversa negativa Log Radice Dati originali Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 88
89 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 89 FREQUENCY CORPUSCOMIDPOINT FREQUENCY L_c MIDPOINT
90 Esercizi regressione Pag36 n 1 Pag36 n 3 Pag36 n 4 Pag36 n 6 Pag36 n 1 Corso di laurea in medicina e chirurgia - Statistica Medica Correlazione e Regressione lineare semplice 9
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