Capacità parassita. Quindi ci si aspetta che la funzione di trasferimento dipenda dalla frequenza

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1 Esperienza n. 10 Partitore resistivo e sua compensazione in c.a. Partitore resistivo-capacitivo Partitore resistivo: abbiamo visto che in regime di corrente continua il rapporto di partizione è costante: V u /V i = R /(R 1 +R ) dove V u è la ddp ai capi di R e V i è la ddp ai capi del generatore. Quando è alimentato in alternata la funzione di trasferimento assume ancora un valore costante poiché le impedenze complesse Z sono puramente resistive e quindi sono numeri reali e Z = R (non dipendono dalla frequenza) A = V u /V i = Z /(Z 1 + Z ) = R /(R 1 +R ) Tuttavia in alternata lo schema equivalente di una resistenza è: 1 Capacità parassita Quindi ci si aspetta che la funzione di trasferimento dipenda dalla frequenza

2 Si consideri inoltre che anche se il circuito fosse costituito da resistenze ideali, l oscilloscopio stesso e le sonde presentano capacità non nulle e quindi la funzione di trasferimento dipenderebbe comunque da ω. Nel caso reale, trascurando l induttanza associata alle resistenze, considereremo la loro capacità parassita. A 0 ω Si ha: 1/Z 1 = 1/R 1 + 1/[1/(jωC 1p )] = (1+ jωr 1 C 1p )/R 1 e, chiamata C = C p + C 0 il parallelo tra la capacità parassita di R e quella di oscilloscopio e sonde C 0, si ha: 1/Z = 1/R +1/[1/(jωC p )]+1/[1/(jωC 0 )] = (1+ jωr C )/R. Quindi: A = 1/(1+Z 1 /Z ) = =1/[1 + (1+ jωr C )/ (1+ jωr 1 C 1p ) R 1 /R ] da cui si evince la dipendenza da ω. Il partitore si dice compensato se il rapporto di partizione è indipendente dalla frequenza, cosa che accade se R C = R 1 C 1p

3 Trasformando ulteriormente A = 1/[1+(1+jωR C )/(1+jωR 1 C 1p ) R 1 /R ] = =R /(R 1 +R ) (1+jωR 1 C 1p )/(1+jωR T C T ) con R T = R 1 R /(R 1 +R ) e C T = C 1p +C Poiché C T >C 1p (1+jωR 1 C 1p )/(1+jωR T C T )<1 e quindi all aumentare della frequenza A diminuisce (ovvero V u diminuisce se V i è fisso). Si noti inoltre: Per ω 0 il circuito si comporta come un partitore resistivo: A(0) R /(R 1 +R ) Per ω si comporta come un partitore capacitivo: A( ) C 1p /(C 1p +C ) Se R C = R 1 C 1p C /C 1p = R 1 /R A(0) = 1/(1+R 1 /R ) = 1/(1+C /C 1p )=A( ) A 0 3 R /(R 1 +R ) C 1p /(C 1p +C ) ω

4 A = A 0 e jφ =R /(R 1 +R ) (1+jωR 1 C 1p )/(1+jωR T C T ) A 0 =R /(R 1 +R ) [ 1+ ( ωr ] 1C1 p) [ 1+ ( ωr C ) ] T T Φ=atan(ωR 1 C 1p ) atan(ωr T C T ) (infatti per i numeri complessi vale la regola che l argomento di un prodotto è uguale alla somma degli argomenti) Es. per R 1 =3.9 kω, C 1 =. nf, R = 1kΩ, C = 6.8 nf R T =R 1 R /(R 1 +R ) C T = C 1 +C ω 1 =1/(R 1 C 1 ) = rad/s e ω =1/(R T C T ) = rad/s Φ ( ) 4

5 5 L andamento di A può essere studiato attraverso il diagramma di Bode che consente di visualizzare in funzione di log 10 ω l andamento di una funzione complessa scomponendola in fattori che asintoticamente sono delle rette. Si impiegano diagrammi: il diagramma delle ampiezze in cui si rappresenta il guadagno logaritmico e quello delle fasi dove la fase è l argomento della funzione di trasferimento Φ = arg(a) (in gradi o radianti). Il guadagno logaritmico in Bel è: G = log 10 P u /P i = log 10 V u /V i dove con P si indicano le potenze e quindi in decibel: G = 0 log 10 A. Questa rappresentazione logaritmica offre il vantaggio di sommare i diagrammi relativi ai fattori di un prodotto. Per le rappresentazioni si usano fogli in carta semilogaritmica. La funzione di trasferimento contiene diversi termini tipici. Ne consideriamo alcuni: 1) Termine costante: K G = 0log 10 K : il diagramma di ampiezza è rappresentato da una retta parallela all asse delle ascisse nel semipiano positivo dell asse delle ordinate se K >1, negativo se K <1;

6 6 il diagramma delle fasi è identicamente nullo se K >0 e uguale a π se K<0. G K >1 K <1 logω Φ K>0 -π K<0 logω ) Zero (polo) in origine : (jω) L se L >0 (L <0) log (jω) L = L logω + jlπ/ si ottiene una retta per l origine dell asse logω con pendenza positiva per L>0 (0db/decade per L =1; 40 db/decade per L=, ) e negativa per L <0 e il diagramma delle fasi è identicamente pari a Lπ/ L=1 L= decade 40db 0db logω Φ L=3 L= L=1 logω

7 Esperienza n. 9 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo 7 3) zero: (1+ jω/ω z ) G = 0 log 10 1+jω/ω z = 0 log 10 ω 1+ Per ω<< ω z G 0 e per ω>> ω z G 0log 10 ω- 0log 10 ω z Questi andamenti approssimati sono rappresentati da un tratto dell asse delle ascisse e da una retta con pendenza di 0 db/decade. Essi sono gli asintoti alla effettiva curva di guadagno logaritmico. I asintoti si incontrano in ω= ω z dove si ha G = 0 log 10 1+jω z /ω z = 0 log 10 3db Generalmente l andamento di G è ben riprodotto dai asintoti considerando la correzione di 3db in ω= ω z 1 Φ Rappresentazione di Bode: diagramma dell ampiezza e della fase ω z / ω/ω z ω/ω z

8 Esperienza n. 9 Partitore resistivo e sua compensazione. Partitore resistivo capacitivo Polo: (1+jω/ω p ) -1 G = 0 log 10 (1+jω/ω p ) -1 = -0 log 10 1+jω/ω p = -0 log 10 Per ω<< ω p G 0 e per ω>> ω p G -0log 10 ω+ 0log 10 ω p ω 1 + ω p db/decade 1/5 1 5 ω/ω p 0 ω/ω p Φ Rappresentazione di Bode del diagramma delle ampiezza e della fase

9 Tornando al partitore resistivo-capacitivo: G = 0 log 10 A = 0 log 10 R /(R 1 +R ) +0 log 10 1+jωR 1 C 1p + 0 log 10 (1+jωR T C T ) -1 Il 1 termine è costante: G 1 =0 log 10 R /(R 1 +R ) con R /(R 1 +R )<1 è rappresentato da una retta parallela all asse delle ascisse nel semipiano negativo dell asse delle ordinate; ω 1 + Il termine G = 0 log 10 1+jωR 1 C 1p =0 log 10 è uno zero in ω z ω z = 1/(R 1 C 1p ). Se ω<< ω z G 0 Se ω>> ω z G 0 log 10 ω -0 log 10 ω z che in funzione di log 10 ω è una retta di pendenza 0 db/decade 9 Il 3 termine G 3 = (1+jωR T C T ) -1 = -0 log 10 1 ω + è un polo in ω p ω p = 1/(R T C T ). Se ω<< ω p G 3 0 e se ω>> ω p G 3-0 log 10 ω + 0 log 10 ω p che in funzione di log 10 ω è una retta di pendenza -0 db/decade

10 In generale i 3 possibili casi sono: 1) ω p =1/(R T C T ) <ω z =1/(R 1 C 1p ) ) ω p =ω z 3) ω p >ω z ω p ω z ω z ω p log10 ω ω p = ω z log 10 ω log10 ω Nel caso della nostra esperienza, poiché C T >C 1p e le resistenze sono fisse, si ricade nel caso 1) ω p <ω z 10

11 11 ω z <ω p ω z >ω p

12 Sfasamento: Φ = arg(a) = arg[r /(R 1 +R ) (1+jωR 1 C 1p )/(1+jωR T C T )] 1 Poiché l argomento di un prodotto di numeri complessi è pari alla somma dei singoli fattori arg(φ 1 Φ Φ 3 )= arg(φ 1 )+ arg(φ )+arg(φ 3 ), i 3 termini sono: Φ 1) Φ 1 = arg[r /(R 1 +R )] = 0 90 ) Φ = arg[1+jωr 1 C 1p ]= arg[1+jω/ω z ]=atan(ω/ω z ) Per ω 0 Φ 0 Per ω=ω z Φ = Per ω Φ 90 3) Φ 3 = arg[(1+jωr T C T ) -1 ]= arg[1/(1+jω/ω p )]=-atan(ω/ω p ) Φ Per ω 0 Φ 3 0 Per ω=ω z Φ 3 = -45 Per ω Φ 3-90 Φ ω p ωz ω p <ω z ω z ω p ω ω log 10 ω

13 13 Strumentazione: generatore di forme d onda, oscilloscopio con capacità di ingresso di 35 pf, sonde di capacità ~100 pf, breadbord, cavi di collegamento ed i seguenti componenti dei circuiti da realizzare: Per il partitore resistivo: R 1 = R = 100 kω condensatori da porre in parallelo ad R 1 al fine di trovare la condizione di compensazione del partitore ( pf, 56 pf, 8 pf, 100 pf, 150 pf, 0 pf) Per il partitore resistivo-capacitivo: R 1 = 3.9 kω e R = 1 kω e C 1 =. nf e C = 6.8 nf Si considerino le tolleranze dei condensatori 10% e si valutino le tolleranze delle resistenze Visualizzare il segnale di ingresso e di uscita (ai capi di R ) sui canali A e B e fissare l ampiezza del segnale di ingresso a V (picco-picco), uscita 50 Ω. L esperienza si realizza in 4 fasi: 1) si verifichi che per il partitore resistivo (R 1 = R = 100 kω) il rapporto di partizione è costante per basse frequenze e che diminuisce all aumentare della frequenza T(msec) f.s. (msec) ν(hz) 100Hz-1MHz V i (Volt) f.s. (Volt) V u (Volt) f.s. (Volt) A

14 14 ) Si individua per tentativi la condizione di partitore compensato R T C T =R 1 C 1p inserendo in parallelo a R 1 diversi condensatori e osservando la risposta del circuito utilizzando un segnale di tipo onda quadra. Le 3 condizioni che si presentano osservando V i e V u con l oscilloscopio sono: V V t t Partitore sovracompensato Partitore compensato (sono soppresse le alte frequenze) C 1 C V Il segnale di uscita non è alterato perché ogni armonica che lo costituisce si comporta nello stesso modo quando è compensato t Partitore sottcompensato (sono soppresse le basse frequenze) Si utilizzino scale diverse per osservare V i e V u ~1/ V i 3) Si realizza un partitore resistivocapacitivo con C 1 e C >> C parassite le capacità parassite sono trascurabili Si confrontano le misure con i diagrammi di Bode attesi e si esegua il test del χ

15 Tabella dei dati (quantità misurate in rosso, calcolate in verde e teoriche in celeste): T (μsec) ν (Hz) ω (rad/s) V i (Volt) V u (Volt) A mis A atteso Δt (μsec) Φ mis ( ) Φ atteso ( ) 100Hz- 10MHz 15 Si osservi che il partitore non è compensato poiché R 1 C 1 = * = R C = * = ) Si invertono i condensatori nel circuito che quindi risulta compensato: R 1 C = * = R C 1 = * = Si verifichi che il partitore è compensato T(msec) f.s. (msec) ν(hz) 100Hz-1MHz V i (Volt) f.s. (Volt) V u (Volt) f.s. (Volt) A

16 Fase 1: misure relative al partitore resistivo R 1 = R = 100 kω 16 Osservazione: il fenomeno di deviazione del rapporto di partizione dal comportamento puramente resistivo (partitore compensato), quindi l indipendenza del rapporto di partizione da ω, dipende dal valore delle resistenze rispetto alle capacità. Noi useremo R 1 = R = 100 kω, mentre le capacità parassite sono dell ordine di pf 1/(RC) è tale da consentirci l osservazione della decrescita di V u con ω a partire da >10kHz Se usassimo R~100Ω per ogni ω il rapporto di partizione = costante

17 Fase 3: misure relative al partitore resistivo-capacitivo Φ ( ) 17 ω (rad/s)