IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di mar. 15 Settembre 2015 (1 e 3 ora) Disciplina: MATEMATICA

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1 IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario Lezione di mar. 15 Settembre 2015 (1 e 3 ora) Disciplina: MATEMATICA Esercizi di ripasso >0 4>5 > : > > > 3 > : 3 Soluzione in forma algebrica 3 3;+ Soluzione con intervalli. Ricordiamo che la soluzione di un sistema è caratterizzata dagli intervalli comuni Si tratta di una disequazione fratta (l incognita compare al denominatore); si studia numeratore 0 e denominatore >0, a prescindere dal verso della disequazione; al termine verrà fatta la regola dei segni e si individueranno gli intervalli richiesti dalla disequazione. () ()>0 +3>0 > 3 <3 1/8

2 >3 Soluzione in forma algebrica. # ; # %3; Soluzione con intervalli. Ricordiamo che la soluzione di un equazione fratta è data dallo studio del segno del numeratore e del denominatore. APPROFONDIMENTO 1: RAPPRESENTARE le SOLUZIONI TROVATE Supponiamo che la nostra disequazione sia soddisfatta per i valori di &'. Il primo modo di indicare la soluzione della nostra disequazione è quella appenaa vista ovvero &'. Avremmo, però, potuto scrivere anche: Essa si legge: l'insieme delle x appartenenti ad R tali che x è maggiore di -3 Cerchiamo di capire meglio questi simboli e il loro significato: R è l'insieme dei NUMERI REALI. Esso comprende TUTTI I NUMERI esprimibili, con o senza la virgola, tramite il sistema decimale. Un altro modo per rappresentare il risultato della nostra disequazione è quello GRAFICO. In questo caso si disegna una RETTA ORIENTATA. Una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra. 2/8

3 Tale retta rappresenta i NUMERI REALI. Su di essa riportiamo l'origine rappresentata dallo ZERO. Agli estremi della retta riportiamoo i simboli meno infinito + più infinito I due simboli meno infinito e più nfinito non indicato un punto particolare della retta, ma solamente che la retta è illimitata, cioè infinita, sia a sinistra che a destra. Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si usano le seguenti convenzioni: la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione; la LINEA TRATTEGGIATAA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione; il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione; il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione. Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così: Esaminiamo il grafico: la linea continua va dal valore -3 a più infinito: questi sono i valori che soddisfano la disequazione; sul valore -3 c'è un cerchietto vuoto perché -3 non è compreso tra le soluzioni della disequazione; la linea discontinua va da meno infinito a -3: questi valori non soddisfano la disequazione. Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare graficamente la soluzione di una disequazione: 3/8

4 Soluzione della disequazionee >+5 Rappresentazione grafica 2 In questo caso la disequazione è verificataa solamente per i valori superiori a +5. Il valore +5 è escluso per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto vuoto. 1!0 In questo caso la disequazione è verificataa solamente per i valori inferiori a -2. Il valore -2 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. Un terzo modo per rappresentare INTERVALLO NUMERICO. Dati due numeri: chiamiamo INTERVALLO NUMERICO tutti i NUMERI COMPRESI tra a e b. I numeri a e b si dicono ESTREMI dell'intervallo: a è l'estremo INFERIORE; b è l'estremo SUPERIORE. I due ESTREMI a e b possono essere COMPRESI o MENO nell'intervallo. L'INTERVALLO si dice: CHIUSO se COMPRENDE i suoi estremi; APERTO se NON COMPRENDE i suoi estremi. In questo caso la disequazione è verificataa per i valori compresi tra -1 e 0. Il valore -1 è incluso tra le soluzioni per questo, su di esso, è stato indicato un cerchietto pieno. Il valore 0, invece, è escluso dalle soluzioni e su di esso è stato indicato un cerchietto vuoto. i risultati di una disequazione è basato dal sul concetto di a, b con a < b Un INTERVALLO NUMERICO viene rappresentato con delle PARENTESI TONDE o QUADRE all'interno delle quali vengono scritti l'estremo INFERIORE e quello SUPERIORE separati da un punto e virgola. 4/8

5 Si usano le PARENTESI TONDE se l'estremo è ESCLUSO dall'intervallo. Si usano le PARENTESI QUADRE se l'estremo è INCLUSO nell'intervallo. Quindi, la soluzione precedente si può scrivere anche Esaminiamo quanto abbiamo scritto: > 3 % 3; + la nostra disequazione è verificata per i valori compresi nell'intervallo numerico -3, più infinito; abbiamo usato le parentesi tonde perché sia -3, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione. Vediamo, con qualche altro esempio, come si può indicare la soluzione di una disequazione con gli intervalli: Soluzione della disequazione > <0 Rappresentazione con intervalli numerici %+ 5;+ In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo +5, più infinito. Abbiamo usato le parentesi tonde perché sia +5, che più infinito non sono compresi nelle soluzioni della disequazione. % ; 2% In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo meno infinito, -2. Abbiamo usato dapprima una parentesi tonda, perché l'estremo inferiore, meno infinito, non è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è quadra perché l'estremo superiore -2 è compreso nelle soluzioni della disequazione. 1;0 In questo caso la disequazione è verificata dai numeri compresi nell'intervallo -1, 0. Abbiamo usato dapprima una parentesi quadra, perché l'estremo inferiore, -1, è compreso tra le soluzioni. La seconda parentesi, invece, è tonda perché l'estremo superiore 0 non è compreso nelle soluzioni della disequazione. APPROFONDIMENTO 2: Gli insiemi numerici Abbiamo parlato dell'insieme dei NUMERI NATURALI, dell'insieme dei NUMERI INTERI, dell'insieme dei NUMERI RAZIONALI e dell'insieme dei NUMERI REALI. Abbiamo detto che la sottrazione e la divisione non sono operazioni interne in N. Per superare queste limitazioni sono stati introdotti: 5/8

6 l'insieme dei numeri interi Z; l'insieme dei numeri razionali Q. I numeri interi sono i numeri positivi e negativi. I numeri positivi non sono altro che i numeri naturali. Per questa ragione abbiamo detto che l'insieme N è un sottoinsieme di Z. La sottrazione è un'operazione interna in Z. Mentre la divisione non sempre è eseguibile tra i numeri interi. L insieme dei numeri razionali Q è costituito dagli elementi riconducibili a frazioni. Poiché anche i numeri interi possono essere espressi sotto forma di frazioni possiamo dire che l'insieme Z è un sottoinsieme di Q. La divisione è un'operazione interna in Q. I numeri razionali comprendono: i numeri decimali limitati; i numeri decimali periodici. Ogni numero razionale corrisponde ad un punto di una retta orientata, ma non tutti i punti della retta indicano un numero razionale. Per superare questa limitazione sono stati introdotti i numeri reali. L'insieme dei numeri reali R comprende sia i numeri razionali che i numeri irrazionali, ovvero i numeri decimali illimitati. Poiché R comprende anche i numeri razionali possiamo dire che Q è un sottoinsieme di R. In altre parole: Ecco, allora, come possiamo rappresentare i nostri insiemi: 6/8

7 Altri esercizi di ripasso > > : >0 Soluzione in forma algebrica %0;+ Soluzione con intervalli 2>0 4 0 > () ()>0 2 6>0 2>6 >3 >3 Soluzione in forma algebrica. # ; # %3;+ Soluzione con intervalli. APPROFONDIMENTO 3: Perché non si può dividere per 0? La motivazione matematica dell'impossibilita' di dividere per zero e' la seguente:la divisione, a differenza della addizione e della moltiplicazione, non è una operazione definita direttamente; il risultato di una divisione e' giustificato dal risultato di una moltiplicazione, che possiamo assumere come la "prova" della divisione. Per esempio, 12:4=3, perchè 3x4=12. Ovvero: il risultato della divisione 12:4 è, per definizione, il numero che moltiplicato per 4 dà 12; quindi, 3. Ebbene, quale numero dovrebbe essere il risultato, per esempio, di 12:0? Se questa operazione avesse un risultato, indichiamolo con?, questo numero dovrebbe verificare la "prova", ossia dovrebbe essere?x0=12. Ma qualunque sia il numero?, moltiplicandolo per zero troveremo comunque zero, e mai 12. Dunque, nessun numero ha diritto di essere il risultato di 12:0. La divisione 12:0 NON SI PUÒ FARE. 7/8

8 Analogamente, non ha senso 3:0, 5:0, o qualunque divisione con divisore uguale a zero. E' opportuno specificare che non si può fare neppure 0:0. Per questo caso la motivazione è leggermente diversa. Il presunto (incautamente!) risultato di 0:0, indichiamolo ancora con?, dovrebbe soddisfare la "prova", cioè?x0=0. Ebbene, QUALUNQUE valore attribuito a? soddisfa?x0=0; quindi si sarebbe tentati di affermare che 0:0=5, perché 5x0=0, ma anche 0:0=23, perché 23x0=0,... Ma una operazione, per avere senso, deve dare UN SOLO risultato; quindi dobbiamo concludere che anche 0:0 NON HA SENSO. Si tratta di una delle regole più ferree della matematica: la divisione per zero è una operazione proibita, sempre, in ogni ambito e situazione. Una motivazione più ingenua dell'impossibilità di dividere per zero si può avere con un esempio, pensando a un problema concreto "di contenenza": per imbottigliare 50 litri di vino in bottiglie da 0,5 litri occorrono 50:0,5=100 bottiglie; variando la capacità delle bottiglie, cambia il divisore, e di conseguenza il risultato. Ma se le bottiglie sono difettose, con il collo otturato, e non possono contenere neppure una goccia di vino, ossia hanno capacità zero, nessun numero di quelle cattive bottiglie mi consentirà di imbottigliare il mio vino: il problema non ha senso, come non ha senso la divisione 50:0. 8/8