Elementi di Euclide (Gela; 323 a.c. 285 a.c) Il libro I degli Elementi di Euclide. L'opera consiste in 13 libri, che trattano:

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1 Elementi di Euclide (Gela; 323 a.c. 285 a.c) L'opera consiste in 13 libri, che trattano: Libro I la teoria dei triangoli, delle parallele e delle aree (ciò che oggi chiamiamo equivalenza di figure piane); Libro II la cosiddetta algebra geometrica Libro III la teoria del cerchio Libro IV le proprietà e le costruzioni dei poligoni inscritti e circoscritti Libro V la teoria dei rapporti tra grandezze e delle proporzioni astratte Libro VI la teoria della similitudine e delle proporzioni in geometria Libro VII la teoria fondamentale dei numeri Libro VIII le proporzioni continue nella teoria dei numeri Libro IX ancora la teoria dei numeri Libro X la teoria degli incommensurabili Libro XI la geometria solida Libro XII la misura delle figure solide Libro XIII i solidi regolari Il libro I degli Elementi di Euclide Il libro inizia senza alcun commento, contiene: 23 Definizioni 5 Assiomi (specifici della geometria, originariamente detti Postulati) 5 Nozioni comuni (applicabili a tutte le scienze, originariamente detti assiomi) 48 Proposizioni o Teoremi A) Definizioni Primitive: 1. Un punto è ciò che non ha parti. 2. Una linea è lunghezza senza larghezza. 3. Gli estremi di una linea sono punti. 4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti di essa. 5. Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza. 6. Gli estremi di una superficie sono linee. 7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa. B) Assiomi (Postulati): 1. E' possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto (esistenza e sotto intesa unicità della retta). 2. E' possibile prolungare illimitatamente una linea retta finita in linea retta. 3. E' possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio (esistenza del cerchio, per la def di centro e cerchio vedere def 15-16). 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro (vedere def 9).

2 5. (Postulato delle parallele) Se, in un piano, una retta interseca altre due rette, formando con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla parte detta. Ovvero (assioma di Playfair) : 5a. Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data. Notare che 5a implica 5, ma 5 NON implica 5a. C) Nozioni comuni (Assiomi): 1. Cose che sono uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro (prop. Transitiva di rel di equiv). 2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora i totali sono uguali (legge di cancellazione della somma ). 3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora i resti sono uguali (legge di cancellazione della differenza ). 4. Cose che si possono sovrapporre una con l'altra sono uguali (la congruenza è una relazione di equiv). 5. Il tutto è maggiore della parte (ordinamento). A partire da A) B) e C) si elaborano, secondo il metodo deduttivo le proposizioni che seguono, cui si affiancano le definizioni utili alla teoria. Definizioni Derivate: 8. Un angolo piano (piatto) è l'inclusione reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino e non giacciano in linea retta. 9. Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo è detto rettilineo. 10. Quando una retta innalzata da un'altra retta forma con essa angoli adiacenti tra di loro uguali, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata. 11. Dicesi ottuso l'angolo maggiore di un angolo retto. 12. Dicesi acuto l'angolo minore di un angolo retto. 13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa. 14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini. 15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali tra loro. 16. E quel punto si chiama centro del cerchio. 17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, e tale linea retta taglia anche il cerchio a metà. 18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza tagliata da esso, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio. 19. Diconsi rettilinee ( poligoni) le figure delimitate da rette, essendo figure trilatere quelle delimitate da tre rette, quadrilatere quelle delimitate da quattro rette, e multilatere quelle delimitate da più di quattro rette.

3 20. Delle figure trilatere dicesi triangolo equilatero quella che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scaleno quella che ha i tre lati disuguali. 21. Ancora delle figure trilatere, un triangolo rettangolo è quella che ha un angolo retto, un triangolo ottusangolo quella cha ha un angolo ottuso, un triangolo acutangolo quella che ha i tre angoli acuti. 22. Delle figure quadrilatere un quadrato è quella che ha sia i lati uguali che gli angoli retti; un oblungo (rettangolo) è quella che ha gli angoli retti ma non è equilatera; un rombo è quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti; un romboide è quella che ha gli angoli e i lati opposti tra di loro uguali, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. I quadrilateri diversi da questi sono chiamati trapezi. 23. Parallele sono quelle linee rette giacenti nello stesso piano che, prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti. Proposizioni (Teoremi) 1. (esistenza triangolo equilatero) E' possibile costruire un triangolo equilatero su un dato segmento (letteralmente Euclide usa linea retta (finita), per segmento; per indicare una retta nel nostro senso Euclide usa linea retta infinita). 2. E' possibile applicare ad un punto dato una retta (leggi segmento) uguale ad una retta data. 3. E' possibile tagliare dalla più grande di due linee rette disuguali una linea retta uguale alla più piccola (v. animazione costruzioni con riga e compasso). 4. (primo criterio di uguaglianza dei triangoli) Se due triangoli hanno due lati uguali rispettivamente a due lati, e hanno uguali gli angoli contenuti tra le due linee rette uguali, allora hanno anche la base uguale alla base, il primo triangolo uguaglia l'altro triangolo, e gli angoli rimanenti, cioè quelli opposti ai lati uguali, sono rispettivamente uguali. Dimostrazione (per sovrapposizione delle figure cioè per congruenza): Siano due triangoli ABC, DEF che hanno i due lati AB, AC rispettivamente uguali ai due lati DE, DF, cioè AB uguale a DE e AC uguale a DF, e un angolo BAC uguale a un angolo EDF: dico che anche la base BC è uguale alla base EF e il triangolo ABC è uguale al triangolo DEF, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli, ABC a DEF e ACB a DFE. Se il triangolo ABC è sovrapposto al triangolo DEF, e se il punto A è posto sul punto D e la retta AB su DE, allora il punto B coincide con E, poiché AB è uguale a DE. Ancora, coincidendo AB con DE, anche la retta AC coincide con DF, poiché l'angolo BAC è uguale all'angolo EDF. Pertanto anche il punto C coincide con il punto F, poiché anche AC è uguale a DF. Ma anche B coincide con E, la base BC coincide quindi con la base EF ed è uguale ad essa (nozione comune 4). L'intero triangolo ABC coincide quindi con l'intero triangolo DEF ed è uguale ad esso (n.c.4). E gli angoli restanti coincidono pure con gli angoli restanti e sono uguali ad essi, l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF, e l'angolo ACB è uguale all'angolo DFE. Se quindi due triangoli hanno i due lati rispettivamente uguali ai due lati, e hanno anche l'angolo tra essi compreso, uguale all'angolo, hanno anche la base uguale alla base, e il triangolo è uguale al triangolo, e i restanti angoli, sotto cui si tendono i lati uguali, sono rispettivamente uguali ai restanti angoli. Cvd. 5. (pons asinorum o angoli alla base di un triangolo isoscele) In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali tra loro e se le linee rette uguali sono ulteriormente prolungate, allora gli angoli sotto la base sono uguali. (Nota: si dimostra come conseguenza del 1 crit di congruenza triangoli, prop 4, e precede, dal punto di vista logico, l esistenza della bisettrice e il terzo criterio, che dunque NON possono essere utilizzati per dimostrare questo enunciato). 6. Date due linee rette costruite a partire dagli estremi di una linea retta e che si incontrino in un punto, non è possibile costruire dagli stessi estremi della stessa linea retta, e dalla

4 stessa parte, altre due linee rette che si incontrino in un diverso punto e che siano uguali alle due precedenti, più precisamente ciascuna uguale a quella tracciata dallo stesso estremo. 7. Se in triangolo due angoli sono tra di loro uguali, allora i lati opposti agli angoli uguali sono anche tra di loro uguali (vice versa del pons asinorum, ovvero: un triangolo con due angoli uguali è isoscele). 8. (terzo criterio di uguaglianza dei triangoli) Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, e hanno anche la base uguale alla base, allora hanno uguali anche gli angoli che sono compresi tra le linee rette uguali. 9. (esistenza della bisettrice, viene come conseguenza di 8!) E' possibile bisecare un dato angolo rettilineo. 10. (esistenza della mediana) E' possibile bisecare una data linea retta finita. 11. (esistenza della perpendicolare, i) E' possibile costruire una linea retta formante angoli retti con una data linea retta, a partire da un punto di questa. 12. (esistenza della perpendicolare, ii) E' possibile costruire una linea retta perpendicolare ad una data linea retta infinita, a partire da un punto dato non su di essa. 13. (angoli supplementari o addizione di angoli) Se una linea retta è condotta a partire da una data linea retta, allora fa o due angoli retti, o due angoli la cui somma è due angoli retti. 14. Se una retta che sta su una retta forma angoli, farà o due angoli retti oppure uguali a due retti. 15. (inversa della precedente) Se, su una certa e su un punto su di essa, due rette che sono poste non dalla stessa parte formano gli angoli consecutivi uguali a due retti, le rette saranno in linea retta tra loro. o Corollario: Se due linee rette si tagliano una con l'altra, allora formano angoli al vertice uguali a quattro angoli retti. 16. In qualsiasi triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l'angolo esterno è più grande degli angoli interni ed opposti. 17. In ogni triangolo la somma di due angoli qualsiasi è minore di due angoli retti. 18. In ogni triangolo l'angolo opposto a lato maggiore è maggiore. 19. (inversa della precedente) In ogni triangolo il lato opposto ad angolo maggiore è maggiore. 20. (diseguaglianza triangolare) In ogni triangolo la somma di due lati qualunque è maggiore del rimanente. 21. Se dagli estremi di uno dei lati di un triangolo si costruiscono due linee rette che si incontrano dentro il triangolo, allora la somma delle due linee rette costruite è minore della somma degli altri due lati del triangolo, ma le linee costruite racchiudono un angolo che è più grande dell'angolo racchiuso dai due lati rimanenti. 22. Per costruire un triangolo su tre linee rette uguali a tre linee rette date è necessario che la somma di due qualunque delle linee rette sia più grande della linea rimanente. 23. (trasporto dell'angolo - non necessariamente nello stesso piano di quello dato) E' possibile costruire un angolo rettilineo, uguale ad un dato angolo rettilineo, su una data linea retta e con vertice su di essa. 24. Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno uno degli angoli contenuti dalle linee rette uguali più grande dell'altro, hanno anche la base più grande della base. 25. Se due triangoli hanno due lati uguali a due lati rispettivamente, ma hanno la base più grande della base, hanno anche uno degli angoli racchiusi dalle due linee rette uguali più grande dell'altro. 26. (secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, e più altro teorema) Se due triangoli hanno due angoli uguali a due angoli rispettivamente, e un lato uguale a un lato,

5 precisamente o il lato che congiunge gli angoli uguali, o quello opposto a uno degli angoli uguali, allora i rimanenti lati e il rimanente lato sono uguali. 27. Se una linea retta che interseca due linee rette individua angoli alterni uguali, allora le linee rette sono parallele tra di loro (ovvero: la costruzione di angoli alterni uguali consente quindi di avere rette parallele; questa proposizione non richiede l'assunzione del quinto postulato). 28. Se una linea retta che interseca due linee rette individua l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto sullo stesso lato, o la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti, allora le linee rette sono tra di loro parallele (variante della precedente). 29. Una linea retta che interseca due linee rette parallele individua angoli alterni uguali tra di loro, l'angolo esterno uguale all'angolo interno ed opposto, e la somma degli angoli interni sullo stesso lato uguale a due angoli retti (inversa delle due precedenti, usa il V postulato). 30. Linee rette parallele alla stessa linea retta sono anche parallele tra di loro (prop. Transitiva del parallelismo). 31. E' possibile costruire una linea retta per un dato punto e parallela ad una data linea retta. 32. In ogni triangolo, se uno dei lati è prolungato, allora l'angolo esterno uguaglia la somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due angoli retti. 33. Linee rette che congiungono gli estremi di linee rette uguali e parallele, sono anch'esse uguali e parallele. 34. Nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali tra di loro, e la diagonale li seca a metà. Dimostrazione: Sia dato un parallelogrammo ABCD e una sua diagonale BC: dico che sia i lati sia gli angoli opposti del parallelogrammo ABCD sono uguali tra loro e che la diagonale BC lo seca a metà. Poiché AB è parallelo a CD, e la retta BC incide su di esse, allora gli angoli alterni ABC e BCD sono uguali tra loro (prop 29). Di nuovo, poiché AC è parallelo a BD, e BC incide su di esse, allora gli angoli alterni ACB e CBD sono uguali tra loro (prop 29). Pertanto ABC e DCB sono due triangoli che hanno i due angoli ABC e BCA rispettivamente uguali ai due angoli DCB e CBD, e un lato uguale a un lato, cioè quello agli angoli uguali e in comune tra loro, BC. Pertanto essi hanno i lati restanti uguali rispettivamente ai lati restanti, e l'angolo restante uguale all'angolo restante (prop 26). Il lato AB è quindi uguale al lato CD, e AC uguale a BD, e inoltre l'angolo BAC uguale all'angolo CDB. Poiché l'angolo ABC è uguale all'angolo BCD, e l'angolo CBD è uguale all'angolo ACB, allora l'angolo totale ABD è uguale all'angolo totale ACD. E l'angolo BAC è stato dimostrato uguale all'angolo CDB. Pertanto nei parallelogrammi sia i lati che gli angoli opposti sono uguali tra loro. Dico ora anche che la diagonale li seca a metà. Poiché AB è uguale a CD, e BC è in comune, i due lati AB e BC sono rispettivamente uguali ai due lati DC e CB, e l'angolo ABC è uguale all'angolo BCD ( prop 4). Pertanto anche la base AC è uguale a DB, e il triangolo ABC è uguale al triangolo DCB. La diagonale BC biseca quindi il parallelogramma ACDB. Pertanto nei parallelogrammi i lati e gli angoli opposti sono uguali tra loro, e la bisettrice lo biseca. cvd 35. Parallelogrammi che hanno la stessa base e si trovano tra le stesse parallele sono tra di loro uguali. 36. Parallelogrammi che hanno basi uguali e si trovano tra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 37. Triangoli che hanno la stessa base e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 38. Triangoli che hanno basi uguali e si trovano fra le stesse parallele sono uguali tra di loro. 39. Triangoli uguali che hanno la stessa base e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele.

6 40. Triangoli uguali che hanno basi uguali e si trovano dalla stessa parte si trovano anche fra le stesse parallele. 41. Se un parallelogramma ha la stessa base di un triangolo e si trova fra le stesse parallele, allora il parallelogramma è doppio del triangolo. 42. E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad un dato triangolo in un dato angolo rettilineo. 43. In un parallelogramma i complementi dei parallelogrammi sul diametro sono uguali tra di loro. (si tratta di trovare un parallelogramma equivalente di forma diversa, ovvero: Dato un parallelogramma ABCD e considerato sulla diagonale AC un punto K, si tirino per esso le parallele ai lati, che incontrano AB in E, BC in G, CD in F, AD in H. Allora i parallelogrammi EBGK e HKFD sono uguali. Questi parallelogrammi sono i complementi dei parallelogrammi di diagonali AK e KC rispettivamente). 44. E' possibile costruire un parallelogramma uguale (equivalente) ad un dato triangolo, con una data linea retta e un dato angolo rettilineo. 45. E' possibile costruire un parallelogramma uguale ad una data figura rettilinea, con un dato angolo rettilineo. (Con questa costruzione ogni figura rettilinea può essere applicata ad una retta in un angolo, cioè, si può trasformare in un parallelogrammo con qualunque angolo e con qualunque lato) 46. E' possibile costruire un quadrato su una data linea retta. 47. (Teor di Pitagora) In triangoli rettangoli il quadrato sul lato opposto all'angolo retto uguaglia la somma dei quadrati sui lati contenenti l'angolo retto. 48. (Teor di Pitagora inverso) Se in triangolo il quadrato di uno dei lati uguaglia la somma dei quadrati degli altri due lati del triangolo, allora l'angolo compreso tra gli altri due lati è retto.