Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Guida alla risoluzione di esercizi

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1 Equzioni e disequzioni rimiche ed esponenzili Guid ll risoluzione di esercizi

2 Esponenzile Definizione: si definisce funzione esponenzile, con come vlori l qunià elev ll poenz. è l rgomeno dell esponenzile, menre è l esponene. Osservimo i grfici dell funzione esponenzile, quell funzione che resiuisce y, y, < < Possimo osservre di grfici che l funzione esponenzile può vere due ipi di compormeno: crescene se decrescene se < Dimo un definizione più precis dei ermini uilizzi Definizione: un funzione f R R, y f dll essere f ( ) < f : si definisce crescene se, R <. Definizione: un funzione f R R, y f dll essere f ( ) f : si definisce decrescene se, R <. Nel cso di un funzione crescene quindi d un incremeno dell vribile corrisponde un incremeno dei vlori ssuni dll vribile y (se cresce l crescono nche i vlori di y). Per un funzione decrescene d un incremeno dell vribile corrisponde un decremeno dei vlori ssuni dll vribile y (se cresce l diminuiscono i vlori di y).

3 In enrmbi i csi si può vedere che qundo, ed in generle qundo l esponene è nullo, l funzione esponenzile vle sempre, possimo ffermre. Inolre i grfici evidenzino un lro imporne compormeno dell funzione esponenzile, ess ssume sempre vlori posiivi. Quindi Osservzione, R. L funzione esponenzile non si nnull mi Proprieà dell esponenzile ) Il prodoo di esponenzili veni l sess bse è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene l somm degli esponeni. y y ) Il quoziene di esponenzili veni l sess bse è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene l differenz degli esponeni. : y y ) L poenz di esponenzili è quell esponenzile che h per bse l sess bse e per esponene il prodoo degli esponeni. y y ( ) ) Proprieà disribuiv dell esponenzile rispeo l molipliczione y z z yz ( b ) b ) Proprieà disribuiv dell esponenzile rispeo l divisione y z z yz ( : b ) : b Osservzioni ) (l esponenzile con esponene zero d come risulo ) )

4 Logrimo Definizione: si definisce rimo in bse di un qunià quel vlore y le per cui vle Si scrive Dove rppresen l bse del rimo, menre è l rgomeno. y. L rgomeno del rimo può ssumere solno vlori posiivi (è un conseguenz dell resrizione pos sull immgine dell esponenzile). Vedimo i grfici del rimo. y y < (nore come il grfico si poss oenere dl grfico dell esponenzile fcendo il simmerico rispeo l biserice del primo-erzo qudrne). Il rimo è quindi l funzione invers per l esponenzile (vle nche che l esponenzile è l funzione invers del rimo). Allor possimo scrivere che: Vle llor considerndo f ( f ) M nche f f : ep : R R : R R : ( )

5 Proprieà del rimo. y ( y). y y n. n ( ).. 6. b (formul per il cmbimeno di bse). b Vedimo di individure un crierio che perme di risolvere le equzioni con i rimi e con gli esponenzili. Primo d un semplice conszione, sino ssegne due qunià uguli, b e vedimo di svolgere l seguene operzione di elevmeno poenz. Cioè se b Allor srà nche Se e b rppresenno l sess qunià le poenze scrie sopr vrnno lo sesso vlore in quno d esponene c è il medesimo vlore. Possimo nche scrivere, sempre nell ipoesi b b Cioè se e b rppresenno l sess qunià l rdice qudr dell prim dovrà essere ugule ll rdice qudr dell second. Poremmo scrivere moli esempi, m l ide che s ll bse è sempre l sess: De due qunià uguli se pplichimo d enrmbe l sess operzione, o le sess serie di operzioni, oerremo ncor due qunià uguli. b Vedimo or di uilizzre le principio per poer compiere il percorso inverso. Sino de due qunià uguli b Allor è possibile pplicre loro l funzione esponenzile, oppure l funzione rimo, ssumendo che, b rppresenino rispeivmene bse e rgomeno. Allor:

6 Esponenzile Logrimo b b b c c ( b) Seguendo il rgionmeno espresso in precedenz le qunià oenue pplicndo l funzione esponenzile e rimic sono uguli. Cioè: se fccimo il rimo di qunià ideniche oenimo lo sesso risulo. se fccimo l esponenzile di uno sesso esponene in bsi uguli oenimo lo sesso risulo. Vedimo di inverire or il rgionmeno. Sino ssegne or due qunià esponenzili o rimiche uguli: y Poiché l esponenzile è lo sesso e le qunià rppresene sono uguli, dl momeno che le bsi sono ideniche dovrnno essere uguli r loro gli esponeni, quindi y b Anmene per i rimi possimo osservre che de due qunià uguli: c b ( b) Poiché i rimi rppresenno qunià uguli, dl momeno che le bsi sono ideniche dovrnno essere uguli r loro gli rgomeni, quindi Poremmo scrivere b Se due funzioni uguli e biieive hnno lo sesso vlore dovrnno vere rgomeni uguli. c Vedimo or come risolvere gli esercizi su esponenzili e rimi uilizzndo ques ulim proposizione. Esercizio Log ( ) Log( ) Log Per prim cos si deve sbilire qule si il cmpo di esisenz, in quno l funzione rimo richiede che l rgomeno ssum solno vlori posiivi, quindi

7 C.E. < < < < che essendo l sess disequzione possimo scrivere come C. E. < Or, per poer uilizzre l proposizione precedene è fondmenle vere un unic qunià primo membro e un unic qunià secondo membro. Uilizzndo le proprieà del rimi y possimo scrivere un unico rimo secondo membro, quindi Log Log ( ) Log( ) Log ( ) Log ( ) Abbimo or un uguglinz r due funzioni ideniche, sono enrmbe rimi, llor ess srà verific se i rispeivi rgomeni sono uguli r loro, cioè possimo pssre dll equzione rimic ll equzione r gli rgomeni: ( ) 8 8 impossibile per C.E. le condizioni per C.E. devono essere messe sisem, in quno si richiede che i vlori ccebili per l soddisfino l condizione di esisenz per ogni rgomeno di rimo presene nell equzione. y Esercizio ( ) ( ) ( ) C.E.

8 Quindi C.E.. Scrivimo un unico rimo primo e secondo membro. Per scrivere due soo form di rimo, possimo considerre e n n quindi Pssimo or ll equzione r gli rgomeni , ± ± Non è necessrio fre C.E. in quno sono già comprese nelle C.E. per il rimo, poiché vevmo richieso che gli rgomeni fossero, quindi bbimo compreso nche il cso che i denominori sino

9 6 Sono enrmbe ccebili in quno soddisfno le C.E. Esercizio C.E. Tle equzione si risolve ponendo, ± Poiché bbimo poso deve porre Sosiuendo si h ± 6 ± 6, per clcolre le soluzioni per l incogni del eso inizile si e Pssndo ll equzione r gli rgomeni, cioè Sono enrmbe ccebili in quno soddisfno le C.E., cioè

10 Esercizio ( ) In queso cso le condizioni di esisenz sono due in quno il rimo più inerno è rgomeno del rimo più eserno, quindi deve essere, llor ( ) Tenendo cono che l prim diven ( ) Che diven < Si deve inverire il verso dell disequzione in quno si pss d un funzione rimic decrescene, in quno l bse vle. Menre l rgomeno è un polinomio l cui vribile è crescene, perno si pss d: un funzione decrescene un funzione crescene ( ) Dl momeno che si deve nlizzre il compormeno del segno di due funzioni dl compormeno opposo, si deve inverire il verso dell disuguglinz per mnenere corremene il legme esisene r il rimo e il suo rgomeno. Allor < < 8 8 < L second equzione del sisem invece fornisce l seguene condizione: Le soluzioni del sisem sono perno

11 8 C.E. : 8 < < Pssimo ll soluzione dell equzione: ( ) ( ) Pssndo ll uguglinz r gli rgomeni si h ( ) ( ) 6 6 che è ccebile. Esercizio 8 ( ) ( ) 8 e possono essere espressi con funzione esponenzile di bse, quindi: ( ( ) ) m mn Ricordndo le proprieà delle poenze n si h:

12 8 8, ± ± D cui segue impossibile ± Esercizio

13 ;.. E C 6 6, ± ± ± Esercizio C.E.

14 Esercizio ( ) 8 ( ) ( ) ( ) Applicndo Ruffini si oiene: P ( ) P ( ) D cui ( )( 8 6) 8 6, ± 6 6 Ricordndo che, bbimo impossibile

15 Esercizio C.E. ± ±, ; - C.E. N:

16 D: S C.E S: Soluzioni. Esercizio ( 8)( ) F 8 F

17 , ± 8 ± ± S: < Ricordndo < mi verifico Soluzioni <. Esercizio 6 < < < ( ) < ( ) < N: ( )

18 ( ) R { } Quindi D: ( ), cioè Soluzioni <. Osservzione: non è soluzione in quno il primo membro dell disequzione vle zero per le vlore.