ESERCIZI SVOLTI. Verifica allo SLU di ribaltamento (tipo EQU) 9 Spinta delle terre e muri di sostegno 9.3 Il progetto dei muri di sostegno

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1 ESERCIZI SVOLTI Seguendo le prescrizioni delle N.T.C. 008 effettuare le verifiche agli SLU di ribaltamento, di scorrimento sul piano di posa e di collasso per carico limite dell insieme fondazione-terreno per il muro di sostegno in c.a. riportato in figura. Sul terrapieno gravano i carichi permanente portato non strutturale q p = 6,00 kn/m (completamente definito) e variabile q v = 4,00 kn/m. Il piano di fondazione è stato individuato alla profondità D = 0,60 m. I valori caratteristici dei parametri geotecnici del terreno sono: angolo di attrito interno ϕ = 5 ; peso per unità di volume γ t = 8,00 kn/m ; coesione c = 0. P v qv Pp q p 0,45 4,55 0,60 P Pt P A 0,0 P 0,70 0,5,70 / S t / S q,85 Essendo il carico permanente portato q p non strutturale completamente definito, la normativa stabilisce che si possono adottare per questa tipologia gli stessi coefficienti parziali delle azioni permanenti. Verifica allo SLU di ribaltamento (tipo EQU) Questo stato limite viene trattato come uno stato limite di equilibrio di corpo rigido e si deve applicare la Combinazione (EQU + M + R).. Momento spingente di calcolo M Sd = E d (sfavorevole) Ai valori caratteristici dei parametri geotecnici vengono applicati i coefficienti parziali γ M (M) [tab. 5, paragrafo 8..], per ottenere i relativi valori di calcolo con i quali vengono calcolate le spinte; queste devono essere moltiplicate per i coefficienti parziali γ F (EQU) [tab. 4, paragrafo 8..], per ottenere le spinte di calcolo e quindi si determinano i relativi momenti spingenti rispetto al punto A; si ha: tgϕ tg5 angolo di attrito interno: ϕ = arctg = arctg 9,6,5 γ 8,00 peso per unità di volume del terreno: γ = = =8,00 kn/m,0 γ ϕ γ γ SEI - 0

2 Valori caratteristici delle spinte S Spinta del terreno S t = γ t h tg ϕ 45 = 9,6 S t = 8 tg 45 = Coefficienti parziali g F (sfavorevoli) Valori di calcolo delle spinte S d Distanze dal punto A (m) Momenti spingenti (kn m) 77,6 γ G =, 84,99 4,65 Spinta del carico permanente q p = q p h tg ϕ 45 = = 6,00 tg 9,6 45 = Spinta del carico variabile q v S qv = q v h tg ϕ 45 = 9,6 = 4,00 tg 45 = 0,0 γ G =,, 8, 6,87 γ Q =,5 0, 5,78 M sd = E d = 95,76. Momento resistente di calcolo M Rd (favorevole) Le azioni resistenti sono rappresentate dai pesi del muro P m e del terreno P t sulla mensola a monte, e dei carichi permanente q p (che viene trattato come un azione permanente essendo compiutamente definito) e variabile q v. I valori nominali di queste azioni vengono moltiplicati per i coefficienti parziali γ F (EQU) per ottenere i valori di calcolo, dei quali si calcolano i momenti resistenti rispetto al punto A. Valori nominali delle azioni Coefficiente parziale g F (favorevoli) Valori di calcolo delle azioni Distanze dal punto A (m) Momenti resistenti (kn m) P = 0,5 4,55,00 5 = 0,5,75 γ G = 0,9 0,48 + 0,90 0,9 P = 0,0 4,55,00 5 =,8 γ G = 0,9 0,4 0,0 + 0,70 8,5 P =,85 0,45,00 5 =,06 γ G = 0,9 8,85,85 4, P p = 6,00,70 = 0,0 γ G = 0,9 9,8,70 +,5 8,6 P v = 4,00,70 = 6,80 γ Q = 0,0 0,00,70 +,5 0,00 P t =,70 4,55,00 8 = 9, γ G = 0,9 5,,70 +,5 50,6 M Rd = 9,6 Questo valore deve essere diviso per il coefficiente parziale γ R (R) per ottenere la resistenza di progetto: M Rd 9,6 R d = = =9,6 kn m,0 γ R SEI - 0

3 . Verifica R d E d 9,6 =,74 > 95,76 ossia R d > E d e quindi la verifica è positiva. Verifica allo SLU di scorrimento sul piano di posa È determinato dalle componenti orizzontali delle forze agenti (ossia dalle spinte) e viene utilizzata la Combinazione (A + M + R) dell Approccio.. Spinte di calcolo S d = E d (sfavorevoli) I valori di calcolo dei parametri geotecnici coincidono con quelli caratteristici in quanto i coefficienti parziali da applicare γ M (M) [tab. 5, paragrafo 8..], sono tutti uguali all unità; i valori caratteristici delle spinte devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F (A) per ottenere i valori di calcolo. Valori caratteristici delle spinte S Spinta del terreno S t = γ t h tg ϕ 45 = 5 S t = 8 tg 45 = Coefficienti parziali g F (sfavorevoli) Valori di calcolo delle spinte 60,97 γ G =, 79,6 Spinta del carico permanente q p = q p h tg ϕ 45 = = 6,00 tg 5 45 = Spinta del carico variabile q v S qv = q v h tg ϕ 45 = 5 = 4,00 tg 45 =. Azione resistente di progetto R d (favorevole) È dovuta ai pesi (o azioni) del muro, del terreno e dei sovraccarichi che gravano sulla mensola a monte. I relativi valori nominali, già calcolati per la verifica a ribaltamento, devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F (A) [tab. 4, paragrafo 8..], per ottenere i valori di calcolo. L azione resistente è rappresentata dalla forza di attrito terra-muro F a ; assumendo il coefficiente di attrito f = tg ϕ, si ha: F a = P m,d f = P m,d tg ϕ = 5,6 tg 5 50,98 kn. valore che deve essere diviso per il coefficiente parziale γ R (R) =, per avere il valore di progetto: F R d = a 50,98 = 7,5 kn, γ R 8, γ G =, 0,57 5,4 γ Q =,5 8, P =,75 Valori nominali delle azioni S S d = E d = 97,96 Coefficienti parziali g F (favorevoli) Valori di calcolo delle azioni,75 P =,8 γ G =,0,8 P =,06,06 P p = 0,0 γ G =,0 0,0 P v = 6,80 γ Q = 0,0 0,00 P t = 9, γ G =,0 9, P m,d = 5,6 SEI - 0

4 4. Verifica R d E d 7,5 =,40 > 97,96 ossia: R d > E d per cui la verifica è positiva. Verifica allo SLU di collasso per carico limite dell insieme fondazione-terreno L azione di progetto è dovuta ai carichi verticali che agiscono a livello del piano di fondazione; viene adottata la Combinazione (A + M + R).. Momento spingente di calcolo M Sd (sfavorevole) I valori di calcolo delle spinte sono uguali a quelli determinati per la verifica a scorrimento in quanto i coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici e ai valori caratteristici delle spinte coincidono. Valori di calcolo delle spinte S d Distanze dal punto A (m) Momenti spingenti (kn m) S t,d = 79,6,0,d = 8, 0, S qv,d = 5,4,55 S d = 9,8 M Sd = 65,98. Calcolo del momento resistente M Rd (sfavorevole) I valori nominali delle azioni (pesi), già calcolati per la verifica a ribaltamento, vengono moltiplicati per i coefficienti parziali γ F (A) [tab. 4, paragrafo 8..], per ottenere i valori di calcolo, con i quali si calcolano i relativi momenti resistenti rispetto al punto A. Valori nominali delle azioni Coefficienti parziali g F (sfavorevoli) Valori di calcolo delle azioni Distanze dal punto A (m) Momenti resistenti (kn m) P =,75 0,5 9,58 + 0,90 0, P =,8 γ G =, 4,9 0,0 + 0,70,8 P =,06 4,68,85 59,9 P p = 0,0 γ G =,,6,70 +,5 6,5 P v = 6,80 γ Q =,5 0,0,70 +,5 0,40 P t = 9, γ G =, 8,00,70 +,5 6,00 P d = E d = 89,9 M Rd = 50,46 SEI - 0

5 5. Calcolo dell eccentricità M u = Rd M Sd 50,46 65,98 =,9 m; 89,9 P d B,85 e = u =,9 = 0,5 m 4. Calcolo del carico limite del terreno La risultante dei carichi risulta eccentrica per cui è necessario applicare l espressione di Brinch-Hansen: q lim = (γ t D N q d q i q ) + γ t B * N γ d γ i γ larghezza efficace della fondazione: B * = B e =,85 0,5 =,8 m fattori di capacità portante: N q =,0; N γ =,9 coefficienti di profondità: D d q = + tgϕ ( senϕ) = B 0,60 d q = + tg5 ( sen5 ),056,85 d γ = coefficienti di inclinazione: i q = S = 9,8 d 0,466 89,9 i γ = = 9,8 0,4 89,9 Sostituendo si ottiene: q lim = (8,00 0,60,0,056 0,46) + + (0,5 8,00,8,9 0,4) 40,4 kn/m che si considera distribuito sulla larghezza efficace B*: Q lim = q lim B* = 40,4,8 960,4 kn/m Questo valore deve essere diviso per il coefficiente parziale di resistenza γ R (R) =,4 per ottenere il valore della capacità portante del terreno: Q R d = lim 960,4 = 685,8 kn/m,4 5. Verifica: R d 685,8 =,7 > 89,9 E d γ R P d S d P d ossia R d > E d e quindi la verifica è positiva. Calcolare le armature metalliche per il muro di sostegno in c.a. [fig. a], per il quale verrà impiegato calcestruzzo classe C0/5. L opera di sostegno è già stata verificata positivamente in base alle prescrizioni delle N.T.C I parametri geotecnici del terreno sono: angolo di attrito interno ϕ = 5 ; peso volumico del terreno γ t = 8,00 kn/m. Sul terrapieno grava il carico variabile uniforme q k = 6,00 kn/m. Per il calcolo delle armature la struttura si considera costituita da: mensola verticale incastrata in corrispondenza della sezione -; mensola orizzontale esterna incastrata in corrispondenza della sezione -; mensola orizzontale interna incastrata in corrispondenza della sezione -. Viene applicata la Combinazione (A + M + R) dell Approccio. Mensola verticale È soggetta, per l altezza h = 4,60 m, alle spinte S t del terrapieno e S q del carico variabile; i valori del calcolo dei parametri geotecnici sono uguali a quelli nominali in quanto γ ϕ =γ γ =,0 [tabella 5, paragrafo 8..]. Si ha quindi: S t = γ t h tg ϕ 45 = S t = 8,00 4,60 tg ,6 kn S q = q h tg ϕ 45 = S t = 6,00 4,60 tg ,48 kn SEI - 0

6 6 a) q P p 0,0 h =,0 S q d q =,0 S t d t =,5 P t P 4 4 P,50 h = 4,60 h = A B 0,40 P,70 0,40 0,70,80 b) b 4,9,0 8,9 56,74 d - 9,64 -,00 d) A B e) - 86,7-7,6 5,9 4,74 c SEI - 0

7 7 Ai valori delle spinte così ottenuti vengono applicati i coefficienti parziali di sicurezza γ F [tabella 4, paragrafo 8..] per ottenere i relativi valori di progetto delle spinte: S t,d = S t γ G = 5,6, 67,09 kn S q,d = S q γ Q = 7,48,5, kn che sono applicate dalla sezione di incastro - alle distanze: h d t = 4,60 h =,5 m e d q = 4,60 = =,0 m Il momento massimo si verifica nella sezione di incastro - e vale: M Ed = S t,d d t + S q,d d q = 67,09,5 +,,0 8,45 kn m Fissando il copriferro c = 0 mm, l altezza utile della sezione di incastro è d = 70 mm e l armatura metallica risulta: M 8,45 0 A s = = 6 Ed 990,505 mm 50,49 d 50,49 70 Si dispongono in corrispondenza della parete interna = 068,4 mm. Considerando che il momento si riduce rapidamente dalla sezione di incastro alla sommità della mensola, viene effettuato il calcolo dell armatura anche per la sezione 4-4, con spessore di 50 mm, all altezza h = h = 4,60,0 m, per la quale le spinte di calcolo risultano: S t,d = 8,00,0 tg 5 45, 0,47 kn S q,d = 6,00,0 tg 5 45,5 7,56 kn e sono applicate alle distanze: h d t =,0 h =,0 m e d q =,0 = =,55 m Il momento nella sezione 4-4 vale: M Ed = S t,d d t + S q,d d q = 0,47,0 + 7,56,55 4,0 kn m per il quale l armatura metallica necessaria è: 4,0 0 A s = 6 84,0 mm 50,49 0 Vengono quindi disposti i ferri: a) 4 = 45,89 mm per tutta l altezza del muro; b) 4 4 = 65,75 mm interrotti in corrispondenza della sezione 4-4, piegandoli verso la parete compressa. I ferri a) e b) vengono posati alternati ogni 5 mm. Lungo la parete esterna viene disposta l armatura longitudinale di 4 = 45,89 mm, ossia ogni 50 mm. Viene prevista la seguente armatura di ripartizione per tutta l altezza delle pareti: parete interna: 0% 068,4 =,68 mm e si dispone 8 ogni 00 mm; parete esterna: 0% 45,89 = 90,478 mm e si dispone 6 ogni 50 mm.. Verifica a taglio della sezione - Lo sforzo di taglio di progetto risulta: V Ed = S t,d + S q,d = 67,09 +, = 78, kn Resistenza di calcolo del solo calcestruzzo: V Rd = 0,8 k 00 ρ f ck γ c b w d k = + = + =,75 d 70 A 068,4 ρ = sl = 0,0089 < 0,0 b w d ,8, , V Rd = ,5 V Rd 847,85 N 8,48 kn > V Ed e quindi non occorrono armature specifiche per il taglio. Mensole orizzontali A livello del piano di fondazione AB del muro si ha una sollecitazione di presso-flessione per effetto dell eccentricità del carico che deve essere calcolata.. Momento spingente di calcolo I valori caratteristici dei parametri geotecnici sono uguali a quelli di calcolo in quanto γ ϕ =γ γ = [tabella 5, paragrafo 8..] e ai valori delle spinte si applicano i coefficienti parziali γ G =, e γ Q =,5: S t,d = 8,00 tg 5 45, 79,6 kn S q,d = 6,00 tg 5 45,5,0 kn e sono applicate alle distanze da B: h h d t = =,67 m e d q = = =,50 m M Sd = S t,d d t + S q,d d q = 79,6,67 +,0,50 6,86 kn m SEI - 0

8 8. Momento resistente di calcolo I valori dei pesi nominali del muro, del terreno e del carico variabile sulla mensola a monte devono essere moltiplicati per i coefficienti parziali γ F della tabella 5 per ottenere i valori di calcolo. P,d = [(0,0 4,60,00) m 5 kn/m ], (γ G ) = 9,90 kn P,d = 0,0 4,60,00 m 5 kn/m, (γ G ) = 4,95 kn P,d = [(,80 0,40,00) m 5 kn/m ], (γ G ) = 6,40 kn P t,d = [(,70 4,60,00) m 8 kn/m ], (γ G ) = 8,99 kn P q,d = [(,70,00) m 6,00 kn/m ],5 (γ G ) = 5,0 kn P d = 79,54 kn e sono applicati alle distanze da B: d =,00 m d 0,8 m d =,40 m d t = d q =,95 m M Rd = 9,90,00 + 4,95 0,8 + 6,40,40 + 8,99,95 + 5,0,95 479,9 kn m M u = Rd M Sd 479,9 6,86 =,4 m P d 79,54 B,80 B,80 e = u =,4 = 0,66 m < = 0,467 m 6 6 La reazione del terreno, diretta verso l alto, in corrispondenza delle estremità A e B assume i seguenti valori: P 6 e 79,54 6 0,66 q i = d ± = ± A B,00,80,80 q max 56,74 kn/m q min 4,9 kn/m e su,00 m di lunghezza: 56,74 4,9 q B,max = =56,74 kn/m q A,min = =4,9 kn/m,00,00 con diagramma a trapezio [fig. b], che in corrispondenza delle sezioni di incastro - e - delle mensole presenta le intensità: (56,74 4,9),70 q = +4,9,0 kn/m,80 q = (56,74 4,9),0,80 +4,9 8,9 kn/m Mensola esterna È soggetta al solo peso proprio diretto verso il basso con intensità [fig. c]: (0,40 0,70,00) m P p = 5 kn/m, (γ G ) =,00 kn/m 0,70 Le ordinate estreme del diagramma di carico sulla mensola risultano [fig. c]: 56,74,00 = 4,74 kn/m 8,9,00 = 5,9 kn/m Momento flettente e sforzo di taglio nella sezione di incastro: 5,9 0,70 (4,74 5,9) 0,70 M Ed = +,89 kn m V Ed = (5,9 0,70) + (4,74 5,9) 0,70 90,66 kn SEI - 0

9 9 Mensola interna È soggetta al suo peso proprio, al peso del terreno a monte e al carico variabile gravante su quest ultimo, tutti diretti verso il basso, con intensità [fig. d]: (,70 0,40,00) m P p = 5 kn/m, (γ G ) =,00 kn/m,70 (,70 4,60,00) m P t = 8 kn/m, (γ G ) = 07,64 kn/m,70 (,70,00) m Q k = 6,00 kn/m,5 (γ Q ) = 9,00 kn/m,70 9,64 kn/m Le ordinate estreme del diagramma relativo al carico gravante sulla mensola risultano: 4,9 9,64 = 86,7 kn/m,0 9,64 = 7,6 kn/m Momento flettente e sforzo di taglio nella sezione di incastro: 7,6,70 M Ed = (86,7 7,6),70 + 9,0 kn m V Ed = (7,6,70) + (86,7 7,6),70 88,67 kn. Calcolo dell armatura metallica nelle mensole orizzontali Viene calcolata per la sola mensola interna e l armatura risultante viene prolungata anche per quella esterna, che presenta un valore inferiore del momento. M Ed 9,0 0 A s = = 6 709,509 mm 50,49 d 50,49 70 Si dispongono 5 4 = 769,690 mm, ossia 4 ogni 00 mm superiori in zona tesa, sia inferiori in zona compressa. Armatura di ripartizione: 0% 769,690 = 4,98 mm, realizzata con 4 8 = 0,06 mm, ossia 8 ogni 50 mm. 4. Verifica a taglio Viene considerata la mensola esterna che presenta il valore maggiore dello sforzo di taglio ,690 k = + = + =,75; ρ = = 0,0008 < 0,0 d 70 b w d ,8 k 00 ρ 0,8,75 V Rd = f ck 00 0, b w d = γ c,5 V Rd,89 0 N,89 kn < V Ed = 90,66 kn Per cui non sono necessarie specifiche armature per il taglio. A sl SEI - 0

10 0 Nella figura e è riportato lo schema delle armature e la relativa disposizione all interno del muro. 0 0 e 6 / / / / 00 a) 4, b) 4 / 00 4 /5-0 / ferri a) e b) alternati ogni 5 mm 8 / 50,70 0,40 0,70 0, / SEI - 0

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