Mappature proiettive

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1 Mappature proiettive Introduzione Vittorio Maniezzo Programmazione G.I.S. 1 Rif. principali di questi lucidi atum.html 2 1

2 Cartografia La cartografiaè la scienza che si occupa della definizione di mappe. Coinvolge molti problemi e tecniche, quali ad es.: Raccolta e memorizzazione di informazioni su terreni, luoghi e persone; Adattamento di caratteristiche tridimensionali a modelli piani; Sviluppo e progettazione di convenzioni per la rappresentazione grafica di dati; Stampa e pubbicazione di informazioni geografiche. 3 Proiezione cartografica Una proiezione cartografica è una trasformazioneda una superficie sferica (o quasi) a un piano. Esistono molte proiezioni differenti, dato che esistono molte proprietà utili da ottenere. Ad es., sarebbe desiderabile mantenere le relazioni fra forme, aree e distanze che esistono nella superficie originaria. Si può dimostrare che non può esistere una proiezione perfetta: ogni proiezione distorce qualche aspetto della regione rappresentata. Quindi la cartografia si occupa di definire le linee guida per scegliere la proiezione meno inappropriata per ottenere gli obiettivi desiderati. 4 2

3 Latitudine e longitudine Se la Terra fosse sferica ogni punto della superficie sarebbe identificabile con unsistema bidimensionaledi coordinate polari. Un punto verebbe localizzato da due angoli, o coordinate: la sua latitudine e longitudine. Dato un asse polare, attorno al quale la Terra routa giornalmente, e un piano ortogonale che divide il globo a metà (l equatore), ogni punto sulla superficie determina una latitudine, il più piccolo angolo misurato dal centro della Terra fra lui e il piano equatoriale, e una longitudine, il più piccolo angolo fra un asse arbitrario e la proiezione del punto sull equatore determinata dalla latitudine. 5 Latitudine e longitudine Viene definita una griglia sferica di linee sulla superficie della Terra, definita da cerchiposti su piani perpendicolari all asse di rotazione chiamati paralleli e da archi semicircolari che hanno l asse come corda detti meridiani. I paralleli non si interecano mai, i meridiani si incorciano tutti ai poli. Ogni parallelo incrocia ogni meridiano con un angolo di 90. Gli insiemi dei paralleli e dei meridiani sono infiniti, ogni mappa ne rappresenta solo un sottinsieme. La latitudine e la lingitudine di un punto, di solito misirata in gradi decimali, definisce un incorcio fra un parallelo e un meridiano. Quindi, la latitudine rappresenta un angolo nord-sud del piano equatoriale, la longitudine un angolo ovest-est da un particolare meridiano convenuto come asse di riferimento. Le latitudini conventionalmente vanno da 90 Sud a 90 Nord, le longitudini da 180 Ovest a 180 Est. 6 3

4 Geoide: la forma della Terra Per rappresentare la Terra, bisogna prima conoscerne la forma. La geodesiastudia la forma della Terra e le sue relazioni con le caratteristiche della sua superficie. Geoide, in greco a forma della Terra", è appunto il nome della forma della Terra. Nessuna forma geometrica semplice basta a rappresentarla. Come tutti i corpi celesti superiori a una certa massa, i materiali della Terra si sono aggregati in una forma sferica, che minimizza la gravità e l energia potenziale. Però, la rotazione attorno all asse ha causato un rigonfiamento all equatore e uno schiacciamento ai poli. La forma che ne risulta è detta sferoide (ellissoide). Il diametro equatoriale è circa 1/300 più lungo del diametro polare. 7 Datum Per mappe precise anche di regioni piccole, non si può ingnorare la forma ellissoidale della Terra. Undatumgeodetico è un insieme di parametri (es. lunghezza degli assi) che definiscono l ellissoide di riferimento. Per ogni regione rappresentata, si deve scegliere con cura il datumche meglio approssima ad es. il livello del mare, e quindi le caratteristiche del terreno. L acquisizione dei dati per una mappa richiede si misurare altezze e distanze da punti di riferimento come deviazioni da uno specifico datum. Molti datumstandard sono stati adattati per mappe regionali o nazionali. Esistono anche datuminternazionali, ma aree piccole sono approssimate meglio da datum locali. 8 4

5 Datum 9 Datum Quando si esprime una posizione geografica in orizzontale tramite coordinate oppure in verticale con l'altezza, si dovrebbe sempre associare il datumdi riferimento. Esistono diversi sistemi di riferimento geodetico ed il datum è un modo univoco per indicare quello prescelto. Ad esempio, il datumwgs72definisce un ellissoide con semiasse maggiore di metri e schiacciamento ai poli di 1/298.26, mentre il WGS84usa i valori di e 1/ rispettivamente. Può cambiare anche l'orientamento e l'origine delle coordinate. Questo significa che lo stesso punto geografico viene indicato con coordinate (leggermente) diverse a seconda del sistema. 10 5

6 Datum Le coordinate dipendono dal datum! 11 Datum le coordinate di un punto sulla superficie della Terra non sono un valore assoluto, ma sono calcolate. Ildatumviene utilizzato in tale calcolo e quindi cambiando il datum cambia anche il risultato. Modificare ildatumsu un GPS comporta il cambiamento dei valori visualizzati per le coordinate; cambia la presentazione del dato. La variazione può arrivare a diverse centinaia di metri. E fondamentale impostare il datumgiusto quando si vogliono confrontare le coordinate lette dal GPS con quelle di una mappa o comunque con le coordinate di un altro sistema. 12 6

7 Datum Alcunidatumimportanti per l Italia, l'ultimo è il più moderno e preferibile: Roma40: basato sull'ellissoide Internazionale di Hayford orientato sulla verticale di Roma -Monte Mario. Origine delle longitudini sul meridiano di Monte Mario. ED50(European Datum 1950): basato sull'ellissoide Internazionale di Hayford, orientamento medio europeo. Origine delle longitudini sul meridiano di Greenwich. WGS84(World Geodetic System 1984): basato su uno specifico ellissoide geocentrico con schiacciamento ai poli 1/ Origine delle longitudini sul meridiano di Greenwich. 13 Sistemi di riferimento geodetico Sono sistemi di riferimento basati su coordinate per descrivere matematicamente una posizione geografica. Sono modelli geometrici basati su ellissoidi di rotazione utilizzati per descrivere la forma della Terra e la posizione orizzontale su di essa. La posizione verticale si esprime invece tramite modelli basati sulla gravità. Ciascun sistema è identificato dal suodatumche identifica la forma, la posizione e l'orientamento del modello rispetto alla Terra e alla sua superficie. La conversione delle coordinate di un punto da un sistema di riferimento ad un altro non è operazione semplice, i programmi per computer su piattaforma GNU/Linux generalmente usano la libreria Projper questo scopo. 14 7

8 Proiezioni cartografiche Una proiezione cartografica è una trasformazioneche fa corrispondere (in inglese: to map) caratteristiche dalla superficie ellissoidale a una superficie di proiezione. Equazioni della rappresentazione: x=f(φ,λ) y=g(φ,λ) Sono state proposte molte proiezioni, ma poche sono di uso diffuso. 15 Proiezioni cartografiche Poiché la forma della superficie terrestre è curva è necessaria una conversione per poterla rappresentare (poiettare) su un piano: mappatura proiettiva 16 8

9 Cilindriche Proiezioni Planari Normale Trasversa Obliqua Polare Equatoriale Obliqua 17 Distorsioni Il processo di proiezone può essere molto sofisticato, ma alcune caratteristiche della superficie originale non potranno essere incluse nella mappa. Distorsioni sono sempre presenti in (parti di) mappe piane di superfici sferiche. Le distorsioni possono includere erronee rappresentazioni di angoli, forme, distanze o aree. Ogni proiezione ha delle distorsioni caratteristiche. Una parte importante della cartografia è volto a comprendere le distorsioni per scegliere la miglior combinazione di datum, proiezione e regione rappresentata per il compito specifico. 18 9

10 Distorsioni Nessuna proiezione cartografica è perfetta per ogni compito.bisogna valutare attentamente i pro ei contro e come viene influenzata la mappa finale la prima di scegliere la sua proiezione. Per ogni mappa, i parametri più importanti sono: le distanze possono essere misurate con precisione? E facile ottenere ilpercorsopiù brevetra due punti? le direzioni sono conservate? le forme sono conservate? irapporti fra le aree sonoconservati? quali regioni soffrono di più, e che tipo, didistorsione? La maggior parte dei problemi cartografici scomparirebbero se la Terra fosse un poliedro. 19 Scala Qualunque mappa, sferica o piana, riduce le caratteristiche della Terra a dimensioni gestibili. La scala è il rapporto di riduzione, e viene espressa graficamente e numericamente. Numericamente si ha una frazione, ad es. in una mappa a scala 1: due punti separati da 1 unità potrebbero rappresentare due città in realtà distanti unità; 1 centimetro sulla mappa rappresenta 1.000km sulla Terra. Una stessa regione può essere rappresentata a vari livelli di dettaglio, mappe a scala minore rappresentano territori più vasti ma in modo meno preciso

11 Scala Solo sulla Terra reale una scala può essere direttamente applicata ad ogni coppia di punti sulla superficie. In mappe piane, spesso il rapporto di riduzione non è costante, cambia con la direzione e la posizione. Inoltre, il la riduzione può essere non lineare: il rapporto fra le lunghezze di due segmenti di una linea sulla mappa non è lo stesso che per i segmenti corrispondenti sulla Terra. Infine, il cammino minimo fra due punti su una sfera diventa raramente una linea retta su una mappa piana, e misurare una distanza su una curva può non essere semplice. Sia la scala numerica che la rappresentazione grafica non possono essere usati in generale senza conoscere la proprietà della proiezione usata. In caso contrario forniscono informazioni errate. 21 Scala 22 11

12 Questa mappa cilindrica equidistante equatoriale è il reciproco della sinusoidale: solo i meridiani e l equatore mantengono una scala costante. Dato che tutti i paralleli hanno la stessa lunghezza slla mappa, la scala orizzontale cresce rapidamente verso l alto e il basso, e diventa infinita ai poli. Linee standard In una mappa Sanson-Flamsteed equatoriale(o sinusoidale), tutti i paralleli sono linee standard: se un segmento A è lungo il doppio di B, le linee corrispondenti sulla Terra hanno le stesse proporzioni. La distanza verticale ffra i paralleli è corretta, ma le distanze lungo i meridiani no lo sono, eccetto che per quello centrale. 23 Linee standard Una mappaazimutale equidistantemantiene le distanze lungo qualunque linea che passa attraverso il punto centrale. Se questo è un polo, queste linee sono i meridiani. Le linee standard non sono necessariamente dritte. Quelle della priezione cordiforme di Werner sono archi circolari concentrici. In una rappresentazoine normale, sono pralleli centrati in un polo. Qui, anche il meridiano centrale è standard

13 Proiezioni cartografiche (Map projections). Sono i sistemi geometrici per riportare sul piano la superficie curva di un ellissoide di rotazione. Ciascuno tipo di proiezione ha caratteristiche matematiche differenti e differenti deformazioni metriche. Tra le proiezioni più utilizzate abbiamo laproiezione cilindrica di Mercatorecon la sua più famosa variante proiezione Universale Trasversa di Mercatore, UTM. Per le zone polari si utilizza laproiezione conica. Per la cartografia italiana ha un certo interesse la proiezionegauss-boaga, utilizzata storicamente dall'istituto Geografico Militare ed altri enti pubblici, sostituita con l'utm solo a partire dagli anni ' Proiezone cilindrica La più semplice mappa a reticolo deriva dalla proiezione equirettangolare equatoriale. E identificata con molti nomi, come cilindrica equidistante, mappa piana, mappa semplice o mappa rettangolare. E una proiezione cilindrica con meridiani standard, con scala costante, quindi i paralleli sono spaziati uniformemente. Questa proiezione è stata accreditata a Eratostene (ca. 200 a.c.). E facile da costruire ed è stata ampiamente usata, anche per la navigazione, fino a tempi moderni

14 Proiezioni azimutali Le proiezioni azimutali erano note già ai greci, più di 2000 anni fa. Le proiezioni ortografiche, stereografichee gnomonichesono basate sulla geometria euclidea, mentre la proiezione azimutale equidistante è del 15 secolo. Dato un punto di riferimento A e altri due punti B e C sulla superficie, l azimuth da B a C è l angolo formato dale linee di lunghezza minima AB e AC. L azimutrappresenta l angolo di cui una persona seduta in A che guarda B deve girarsi per guardare C. Tutte le poiezioni azimutali preservano l azimut da un punto di riferimento (il centro concettuale della mappa), quindi preservano le direzioni (ma non le distanze) verso tutti gli altri punti. Si ottengono banalmente come proiezioni su una superficie piana. 27 Proiezioni azimutali gnomonica stereografica ortografica 28 14

15 Lambert Ogni punto della sfera (eccetto l antipode) è proiettato sul piano con un arco circolare centrato nel punto di tangenza fra la sfera e il piano. Proiezione Lambert Azimuthal Equal Area (ETRS89-LAEA) Raccomandata dalla EEA (European Environmental Agency) per gestire dati raster, per analisi statistica e per visualizzazione di mappe. E efficace per mappe a scala piccola (1: ) o per piccole applicazioni che offrono analisi spaziale, dati raster e gestione mappe ad es. per l intera Europa. Il nome del corrispondente sistema di riferimento è ETRS89 (European Terrestrial Reference System 1989), proposto come datumgeodetico per gestione dati spaziali a scala europea. 29 Proiezione trapezoidale Altrettanto antica, la proiezione trapezoidale ha anch essa i paralleli orizzontali, dritti ed uniformemente spaziati. I meridiani convergono, non necessariamente in un unico punto. Al più due paralleli ed un meridiano sono linee standard. Non è né equivalente nè conforme

16 Mappe ovali Le mappe ovali hanno i paralleli dritti e curve semplici per i meridiani. Le mappe di Agnese (ca. 1540) e Ortelius (1570) derivano da un unico disegno originario, che usa archi si semierchio a raggio fisso per ogni emisfero. 31 Proiezioni a ottanti Contemporanee alle mappe ovali. Dividono la superficie della Terra in otto parti equivalenti, di solito limitate dall equatore e da quattro meridiani. Ogni triangolo sferico è proiettato in un ottante triangolare. Leonardo da Vinci ha proposto una mappa del mondo di questo tipo (ca. 1514) con i triangoli posizionati come petali di un quadrifoglio. Tuttavia il suo metodo proiettivo può solo essere speculato

17 Proiezione di Peters Pubblicata da Arno Peters nel Per contrapposizione con le distorsioni del Mercatoriane, la Carta di Peters è realizzata per mantenere reali le proporzioni, attraverso una scomposizione del mondo in 100 parti orizzontali e 100 verticali e a una rappresentazione che mantiene sempre ortogonali sul piano i meridiani e i paralleli. Anche questa proiezione induce distorsioni, in particolare nella rappresentazione delle distanze verticali. In ogni caso, nella Carta di Peters la superficie di ogni elemento è realmente proporzionale alla sua vera estensione nello spazio. 33 Cassini Una versione trasversa della proiezione cilindrica equidistante è stata proposta da César F. Cassini nel Molte nazioni europee hanno usato la proiezione di Cassini fino a tempi recenti. La distorsione è identica in elementi a 90, quindi l equatore, un meridiano centrale e altri tre a 90 fra loro sono linee standard, con scala costante

18 Proiezione cilindrica conforme La proiezione di Mercatore Proposta dal cartografo fiammingo Gerhard Kremer, noto come Gerardus Mercator. La proiezione cilindrica cui ha dato il nome è tale per cui qualunque linea retta fra due punti è una linea ad andamento costante sulla sfera (lossodromia). Nella versione equatoriale, le lossodromie del Mercatore incontrano tutti i meridiano con lo stesso angolo. Quindi, se si disegna una linea retta che connette i punti di inizio e di fine di un viaggio, la pendenza di quella retta dà la direzione di viaggio e basta andare sempre dritti per arrivare a destinazione. Per percorrere una linea retta sulla carta basta seguire esattamente la corrispondente direzione della bussola La proiezione è conforme: preserva gli angoli e approssima le forme. 35 UTM La versione più nota della proiezione del Mercatore è quella che definisce il sistema proiettivo UTM (Universal Transverse Mercator). L UTM definisce una griglia che copre la Terra fra i paralleli 84 N e 80 S. La griglia è divisa in 60 zone, ognuna centrata in un meridiano. Le zone sono identificate da numeri consecutivi, che crescono da ovest a est (la prima zona, immediatamente a est del 180 meridiano, è la numero 1; la zona 31 è subito a est del meridiano di Greenwich). Un insieme di paralleli divide la griglia in righe, etichettate con lettere da C a X (senza I e O), a cominciare dal sud. Quindi, ogni zona contiene 20 quadrangoli, identificati da coppie lettera-numero. I quadrangoli sono ulteriormente suddivisi in quadrati di 100 km di lato, identificati da combinazioni di due lettere

19 UTM 37 Fusi Per limitare le deformazioni le rappresentazioni limitano l estensione del fuso (porzione di ellissoide) da proiettare Nel sistema UTM (Universal Transverse Mercator) i fusi hanno ampiezza 6 gradi 38 19

20 UTM Ogni zona viene quindi proiettata separatamente usando l ellissoide della proiezione trasversa del Mercatore: la scala del meridiano centrale è ridotta dello 0.04%, cosicché due linee a circa 1 37" est e ovest di esso hanno la scala corretta. La griglia UTM è progettata per cartografia a grande scala su fogli separati, non per mappe del mondo di grosse regioni. In particolare, le mappe di zone diverse non si sovrappongono perfettamente. 39 UTM All interno di ogni quadrato, ogni punto è localizzato da due distanze in metri: easting, distanza a est del meridiano centrale, e northing, distanza a nord dell equatore. La coordinata del meridiano centrale è sempre , le coordinate dell equatore sono 0 per i quadrati dell emisfero nord, per i quadrati nell emisfero sud. Dato che la distanza dei poli dall equatore è di ca km, queste origini assicurano che le coordinate (falsi easting e falsi northing) siano sempre positive. Un punto sulla superficie terrestre viene pertanto identificato da coordinate del tipo:15 S , dove i valori sono rispettivamente: la zona UTM, la banda UTM, i metri dal bordo est e i metri dal bordo nord

21 Gauss-Boaga La cartografia ufficiale Italiana è stata lungamente basata sul sistema Gauss-Boaga (dal 1948) con due fusi, fuso ovest e fuso est prossimi ai fusi 32 e 33 UTM (9 e 15 long est ) 41 World Geodetic System 1984: WGS84 Sistema di riferimento geodetico concepito per coprire tutto il globo terrestre. Il sistema di riferimento WGS84 è un sistema globale geocentrico, e costituito da una terna cartesiana con origine coincidente con il centro di massa della Terra, l asse Z diretto verso il polo Nord convenzionale al 1984, l asse X passante per il meridiano di Greenwich al 1984 e l asse Y diretto in modo da completare una terna destrorsa. A questo sistema è associato l ellissoide WGS84, con centro e assi coincidenti con quelli della terna cartesiana. L ellissoide WGS84 è definito dai seguenti parametri: semiasse maggiore: a = schiacciamento: s = 1/

22 WGS84 La realizzazione su scala mondiale del WGS84, sistema di riferimento per i posizionamenti effettuati con strumenti GPS, è curata dal Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti, che con una rete di stazioni a Terra gestisce la costellazione di satelliti. In ambito europeo la realizzazione del sistema WGS84 è costituito dall ETRS89 (EUREF Terrestrial Reference System 1989), un sistema solidale con la placca eurasiatica, definito sul terreno da una rete di punti determinati con una compensazione d insieme delle misure satellitari e spaziali disponibili al WGS84 A livello nazionale il sistema WGS84 è stato realizzato con l istituzione della rete geodetica tridimensionale di alta precisione, denominata IGM95, rilevata con strumenti di posizionamento GPS differenziale. Le coordinate del punto Roma Monte Mario nel sistema WGS84 sono: latitudine longitudine (da Greenwich) La rappresentazione piana del sistema WGS84 avviene attraverso il sistema cartografico UTM

23 Italia Nel 1940la Commissione Geodetica Italiana stabilì di adottare il datumroma40basato sull'ellissoide internazionale di Hayford con orientamento su Monte Mario, Roma. Questo fu il sistema di riferimento per tutta la cartografia italiana nella proiezione Gauss-Boaga, fino all'adozione del datum ED50. Nel 1948a Stoccolma fu definito -per la cartografia Europea - il sistema geodetico European Datum 1950 (ED50), che utilizza l'ellissoide internazionale di Hayford con orientamento medio europeo. Questo è stato il sistema di riferimento fino all'introduzione del WGS84. Il sistema GPS fornisce la posizione rispetto al sistema di riferimentowgs84, basato su uno specifico ellissoide geocentrico, con origine delle longitudini su Greenwich, valido in tutto il mondo. 45 Roma40 La nascita di questo sistema di riferimento, detto anche Sistema Nazionale, risale al 1940 quando la Commissione Geodetica Italiana decise di adottare l ellissoide di Hayford 1909 (ellissoide internazionale dal 1924) come superficie di riferimento, i cui parametri identificativi sono: semiasse maggiore: a = schiacciamento: s = 1/297 L Istituto Geografico Militare fu poi incaricato di trasformare in questo sistema le coordinate dei vertici trigonometrici riferiti a quello precedente, basato sull ellissoide di Bessel Nel sistema di riferimento Roma40 l orientamento dell ellissoide è impostato sulla verticale del punto Roma Monte Mario, caratterizzato dai seguenti valori (definizione 1940): latitudine longitudine 0 ( da Greenwich) 46 23

24 Roma40 Gauss Boaga Per la rappresentazione cartografica del sistema geodetico Roma40 è stata duescelta la rappresentazione conforme di Gauss-Boaga. Questo sistema si compone di due fusi per la rappresentazione del territorio nazionale, ciascuno di ampiezza pari a circa 6 30, indicati con la denominazione fuso Ovest e fuso Est. Il fuso Ovest si estende dal meridiano posto a da Roma- Monte Mario (6 da Greenwich) al meridiano 0, passante per Roma- Monte Mario ( da Greenwich) e ha il meridiano centrale a da Roma-Monte Mario (9 da Greenwich). Il fuso Est si estende dal meridiano posto a da Roma Monte Mario ( da Greenwich) fino a poco oltre il meridiano posto a da Roma Monte Mario (18 30 da Greenwich), in modo da includere l estremità orientale della penisola salentina, e ha il meridiano centrale a da Roma Monte Mario (15 da Greenwich). I fusi risultano quindi sovrapposti per 30 in longitudine. 47 Roma40 Per evitare di esprimere con coordinate negative punti situati a occidente dei due meridiani centrali sono state adottate due false origini pari a metri per il fuso Ovest e metri per il fuso Est. Il sistema Roma40 è ancora oggi utilizzato per fini geodetici e topografici e a esso è riferita la rete italiana fondamentale di triangolazione, la Carta d Italia al e al La maggior parte della cartografia tecnica oggi prodotta dalle regioni in formato digitale è inquadrata in questo sistema di riferimento