Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio

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1 MODELLISTICA E SIMULAZIONE febbraio 007 a prova Cognome e Nome:... Autorizzo Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio Non autorizzo la pubblicazione su Internet del risultato di questa prova Firma... Voto: ATTENZIONE! Durante il compito non è consentito l'utilizzo di libri e appunti. Le risposte vanno giustificate e riportate su questi fogli. Nel testo [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome. ESERCIZIO 1 Determinare e analizzare gli stati di equilibrio del sistema x& 1 = x1x + x x& = x1x 5x + u in corrispondenza dell ingresso costante u 6. Si dica inoltre se il sistema può avere dei cicli interamente contenuti nel primo quadrante. Per determinare gli stati di equilibrio, annulliamo le derivate. Dalla prima equazione otteniamo x =0 e x 1 = -x. La prima soluzione, non verifica la seconda equazione e pertanto gli unici due stati di equilibrio si ottengono risolvendo x + 5x 6 = 0 le cui soluzioni sono 1 e -6. Pertanto i due stati di equilibrio sono A(-1,1) e B(6,-6). Linearizzando nel loro intorno otteniamo x x1 + x 1 1 = la cui equazione caratteristica è λ + 5λ 7 = 0 che dà autovalori x x A reali di segno discorde (cfr. regola di Cartesio). 6 6 La linearizzazione intorno a B dà cioè = λ λ, che dà anch essa due radici reali e discordi. Si tratta dunque di punti di sella e quindi, per il teorema di Poincarè (ogni ciclo deve contenere al suo interno un numero di stati di eq. pari a n s +1, e quindi non ci possono essere nè intono a una sola sella, nè intorno a selle) non ci possono esser cicli in tutto il piano e quindi nemmeno nel primo quadrante.

2 ESERCIZIO Un azienda agricola produce diversi tipi di colture che presentano le seguenti caratteristiche per tonnellata prodotta: coltura lavoro fertilizzanti superficie fabbisogno prezzo di irriguo vendita A B Sapendo che ogni coltura necessita delle quantità di lavoro, fertilizzanti e superficie in tabella, che sono disponibili al massimo 8[C], 5[C] e 6[C] unità di queste risorse e che ogni unità prodotta viene vendita al prezzo sopra riportato: a) si formuli il problema di minimizzare il fabbisogno irriguo e massimizzare il ricavo e lo si classifichi; b) si determinino le soluzioni efficienti; c) volendo utilizzare il criterio dell'utopia, si individui almeno graficamente la soluzione prescelta. Decisioni: z A : quantità di prodotto A z B : quantità di prodotto B Obiettivi: Max ricavo = max( z A + z B ) Min fabbisogno = min( 3z A + z B ) Vincoli: lavoro: za + 4zB <= 8[C] fertilizzanti: za + zb <= 5[C] superficie: za + zb <= 6[C] Si tratta quindi di un problema decisionale a Molti Obiettivi (), con variabili di decisione e 3 vincoli i cui termini noti dipendono da [C], di tipo lineare. Per [C]=10, ad esempio, l insieme delle soluzioni ammissibili, nello spazio delle decisioni, è mostrato nella figura seguente: che, proiettata nello spazio delle decisioni, diventa la seguente:

3 La scelta con il criterio dell utopia, sarà quindi fornita dal punto della frontiera più vicino agli ottimi assoluti (e indipendenti) degli obiettivi, evidenziato dal cerchio rosso. ESERCIZIO 3 Il signor Luigi ha scommesso con i suoi amici che, partendo dalla sua città (A), riuscirà a raggiungere la città F percorrendo non più di 500 km. Le distanze tra le città eventualmente attraversabili sono riportate nella tabella seguente: B C D E F A B P C D E Q dove P = ( [N] + 3[C] ) 1 e Q = ( [N] + [C] ) 10. Si dica, classificando il problema, individuando l algoritmo e calcolando la soluzione, se il signor Luigi vincerà la scommessa. Si tratta di un problema decisionale di tipo combinatorio, la cui soluzione consiste nel determinare il cammino minimo tra la città A e la città F, da risolvere attraverso l algoritmo delle etichette. Il primo passo è costruire un grafo connettendo tutte le città: si possono evitare gli archi che costituirebbero una deviazione inutile tra A e F (ad esempio da D a C, o da C a A). A questo punto è possibile applicare l algoritmo: in figura quello che si otterrebbe con [N]=1 e [C]=8:

4 Il percorso ottimo sarebbe A-C-F, che è più di 500 km e quindi il sig. Luigi perderebbe la scommessa. ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande: Che cosa rappresenta il prezzo ombra in un programma lineare? Rappresenta la variazione della funzione obiettivo che si avrebbe per una variazione del termine noto di un vincolo. Se l obiettivo è un beneficio e il vinvolo una risorsa, rappresnta il prezzo massimo che si potrebbe pagare per un ulteriore unità di risorsa. Quali caratteristiche di un sistema possono portare a dei comportamenti di tipo catastrofico? Le singolarità dell insieme degli stati di equilibrio stabili di un sistema non lineare Che cosa significa che un sistema è strutturalmente stabile per un certo valore di un parametro? Che piccole variazioni del parametro non modificano qualitativamente l andamento delle traiettorie del sistema (le nuove traiettorie possono essere ottenute dalla precedenti per semplice deformazione). Dovete decidere se comprare o meno le azioni di una società petrolifera. Se la società scoprirà nuovi giacimenti, guadagnerete [N], in caso contrario perderete [C]. Cosa decidete di fare? In base a quale criterio? Ci sono scelte: compro o non compro. Nel primo caso, ottengo [N] o -[C] a secondda del valore della variabile esterna. Nel secondo caso, ho 0 e 0. Operando con il criterio della priudenza, considero il minimo per la prima scelta (-[C]) e il minimo per la seconda (0). Scelgo il max (min), che è 0, e quindi non compro.

5 ESERCIZIO 5 1. La crescita dei pioppi può essere schematizzata secondo una funzione logistica, cioè B(t+1)=B(t)(1.-0,001B(t)) u(t) in cui l'unità di tempo è l anno, B(t) rappresenta la biomassa presente e u(t) quella rimossa durante il taglio. La biomassa tagliata può essere venduta a un prezzo 5 per unità. Per esigenze produttive, si vuole che i tagli avvengano a intervalli biennali e in proporzione, secondo il parametro α, alla quantità di biomassa presente (gestione in anello chiuso). Nel foglio di lavoro in figura sono riportati nelle celle C4 e D4 la biomassa presente e quella tagliata al tempo 0. Si vuole determinare il valore ottimo del parametro α (cella G3) per massimizzare il ricavo, riportato in I3, su un periodo di 0 anni. 1 A B C D E F G H I J α ricavo dalla vendita 3 t B u 0,1 666, , , ,90 11, , ,16 11,85 Scrivete le formule da inserire nelle celle C5 e D5 in modo tale che possano essere copiate e incollate senza modifiche anche nelle celle sottostanti. C5: = C4*(1,-0,001*C4)-D4 D5: = SE(E(RESTO(B5;)=0;C5>$G$3*C5); $G$3*C5;0) Scrivete poi la formula da inserire nella cella I3 per calcolare il ricavo totale. I3: = 5*somma(D5:D5) Inserite infine nella finestra Parametri del Risolutore (v. figura sottostante) i dati necessari per la soluzione del problema. I3 G3. Che cosa si intende con formattazione condizionale di una cella in Excel? Formato, come l'ombreggiatura di una cella o il colore di carattere, applicato automaticamente alle celle quando si verifica una condizione specificata. Per applicarla, si sceglie Formattazione condizionale dal menu Formato....