Operatori C, P e T. Stati fisici. Osservabili (II) Osservabili. prof. Domenico Galli

Transcript

1 Stati fisici Operatori C, P e T prof. Domenico Galli Temi di Fisica delle Particelle Elementari al LHC Dottorato di ricerca in Fisica, Bologna Uno stato fisico è rappresentato da un vettore di stato (ket) in uno spazio vettoriale complesso: E Un ket contiene tutte le informazioni su di uno stato fisico. La somma di due ket è un altro ket: + =,, E La moltiplicazione di un ket per un numero complesso c è un altro ket: c = c = c,, E I ket e c, c = Ae i rappresentano il medesimo stato fisico: Soltanto la direzione è significativa nello spazio dei ket. Gli stati fisici sono raggi, non vettori. Raggio: sottospazio c E;c, E. { } DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 2 Osservabili Osservabili (II) Un osservabile (p. es.: una componente della quantità di moto o dello spin) è rappresentato da un operatore A. In generale un operatore agisce su di un ket da sinistra originando un altro ket: A = In generale lo stato A non è la moltiplicazione dello stato per uno scalare complesso. Tuttavia ci sono dei ket particolarmente importanti (autoket dell operatore A), che si indicano con: L applicazione dell operatore A a un autoket riproduce lo stesso autoket a meno di un fattore moltiplicativo. Lo stato fisico corrispondente a un autoket è chiamato autostato. I numeri dell insieme: { a, a, a, } sono chiamati autovalori dell operatore A. a, a, a, e che soddisfano la proprietà: A a = a a, A a = a a, ecc., a, a, a DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 3 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 4

2 Componenti dei ket Lo spazio dei bra La dimensione dello spazio vettoriale è determinata dal numero di alternative nel risultato di un esperimento. In tale spazio, gli autoket dell osservabile A formano una base. Ogni ket arbitrario si può scrivere, per componenti: = c i, c i Lo spazio dei bra è uno spazio vettoriale E, duale rispetto allo spazio dei ket E: Spazio duale: insieme di tutti i funzionali lineari su E a valori complessi. ( E ) ( ) La linearità implica che: ( c + c )= c + c,, Addizione di bra e moltiplicazione un bra per uno scalare sono definite dalle relazioni: + ( ) = + ( c ) = c DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 5 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 6 Lo spazio dei bra (II) Lo spazio dei bra (III) A ogni ket corrisponda un bra : CD dove CD = corrispondenza duale. Una base nello spazio dei bra è costituita dagli autobra corrispondenti duali di una base di autoket: CD {,i = 1, 2, } {,i = 1, 2, } Il corrispondente duale di una somma è la somma dei corrispondenti duali dei singoli addendi: CD { + +} { + +} Il corrispondente duale del prodotto di un ket per un numero è il prodotto del bra duale per il complesso coniugato del numero: c CD c, c Per le combinazioni lineari di ket si ha perciò: c CD { + c +} { c + c +} DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 7 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 8

3 Prodotto interno Ortonormalità Il prodotto interno è il prodotto di un bra per un ket, che si scrive: Il prodotto interno per definizione soddisfa due proprietà: = ( ) 0 = 0 = 0 La norma del ket o del bra è definita come: Dato un ket non nullo si può formare il ket normalizzato ˆ, definito come: 1 ˆ = che rappresenta il medesimo stato fisico. Due ket e si dicono ortogonali se: = 0 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 9 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 10 Operatori Operatori (II) Un operatore X agisce su di un ket da sinistra e il prodotto risultante è ancora un ket: X = Due operatori X e Y si dicono uguali se: X = Y, Un operatore X si dice nullo se: Gli operatori possono essere sommati: ( X + Y) = X + Y, La somma è commutativa e associativa: X + Y = Y + X X + ( Y + Z)= ( X + Y)+ Z Un operatore X si dice lineare se: X = 0, X ( c + c )= c X + c X,, Vedremo che gli operatori C e P sono lineari, mentre l operatore T è anti-lineare: T ( c + c )= c T + c T,, DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 11 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 12

4 Operatori (III) Operatori (IV) Un operatore X agisce su di un bra da destra e il prodotto risultante è ancora un bra: X = Il ket X e il bra X non sono in generale duali tra loro. Si definisce operatore hermitiano coniugato o aggiunto dell operatore X, l operatore X tale che: X CD X Un operatore si dice hermitiano o autoaggiunto se e è uguale al suo aggiunto: Gli operatori X e Y possono essere moltiplicati: ( XY) = X( Y ), ( XY)= ( X )Y, La moltiplicazione, in generale, non è commutativa: XY YX ma è associativa: X( YZ)= ( XY)Z Si noti che: X = X ( Y )X CD X Y ( ) ( Y X ) CD ( XY) ( XY) = Y X DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 13 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 14 Assioma Associativo e Prodotto Esterno Assioma Associativo e Prodotto Esterno (II) Assioma associativo: La proprietà associativa vale in generale, fintanto che abbiamo a che fare con moltiplicazioni consentite tra operatori, bra e ket e operatori lineari. on vale per operatori anti-lineari. In particolare, per l assioma associativo, si ha: def ( ) = ( ) =,, ket ket prodotto esterno numero dove è semplicemente un numero, mentre è definito prodotto esterno. Come si vede, un prodotto esterno, applicato a un ket produce un altro ket. Il prodotto esterno di un ket e un bra può essere considerato come un operatore. L operatore ruota nella direzione di. Si osservi che: CD X CD X e dunque: ( ) = Inoltre si osservi che, per l assioma associativo, si ha, per operatori lineari: ( ) ket ( ) def X = X = X bra ket bra DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 15 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 16

5 Assioma Associativo e Prodotto Esterno (III) Operatori hermitiani Poiché: X CD X = si ha: X = ( X )= X X = X {( ) } = X Teorema: Gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali; gli autoket corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali. A = A A = A = A = CD A = A = A = 0 = ( ) = 0 j = i j i 0, = j,i ( ) a j DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 17 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 18 Basi di autoket Relazione di chiusura Gli autoket normalizzati dell operatore A: a, a, a,, a ( ) (),i = 1,, { } { } = a i formano un insieme completo ortonormale. Un generico ket si può scrivere, per componenti: = i, i Moltiplicando per ( ) a sinistra si ottiene la componente j-esima: a j = i = i = i j,i j = = j Per quanto detto possiamo scrivere: = i, i j = = = a i a i = 1 (relazione di chiusura o di completezza). DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 19 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 20

6 Relazione di chiusura (II) Operatori di proiezione Dalla relazione di chiusura troviamo: a i a i = 1 = 1 = 2 i = = = = = = Consideriamo l operatore: detto operatore di proiezione. Esso seleziona la parte del ket parallela ad : i = i a = La relazione di chiusura si può scrivere come: i = 1 ( ) a = a i () = i DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 21 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 22 Operatori unitari e cambiamento di base Operatori unitari e cambiamento di base (II) Si chiama operatore unitario un operatore che conserva il prodotto interno: U U = Un operatore unitario soddisfa la relazione: U U = UU = 1 U 1 = U Teorema: Date due basi di ket ortonormali e complete: {,i = 1,, } { b () i,i = 1,, } esiste un operatore unitario U tale che: b () i = U, i = 1,, Infatti, definito: U = k=1 b ( k) U soddisfa la relazione richiesta: U = b ( k) = b ( k) = k,i b ( k) = k=1 inoltre U è unitario: UU = b ( k) k=1 l=1 k=1 a () l b () l k=1 = b ( k) a () l b () l = k=1 l=1 = b ( k) k,l b () l = b ( k) b () l = 1 k=1 l=1 k=1 b () i DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 23 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 24

7 Operatori unitari e cambiamento di base (III) Operatori unitari e cambiamento di base (IV) La matrice di trasformazione relativa al cambiamento di base si scrive, essendo () = U : U i, j = U = b ( j) Inoltre, poiché: a k) a k) = 1 k=1 b i Troviamo ora la relazione tra i vecchi e i nuovi elementi di matrice. Essendo: a ( m) a ( m) = 1, a n m=1 n=1 b j ( ) a ( n) = 1 ( ) = U, b () i = U Si ottiene la trasformazione di similarità X = U XU: ( ) = U b j La matrice colonna delle nuove componenti di un ket si ottengono dalla matrice colonna delle vecchie, moltiplicando per la matrice U i,j : nuova componente b ( j) = b ( j) = U k=1 k=1 U j,k vecchia componente b () i X b ( j) nuovo elemento di matrice = b () i a ( m) a ( m) X a ( n) a ( n) b ( j) = m=1 n=1 = U a ( m) a ( m) X a ( n) a ( n) U m=1 n=1 U i,m vecchio elemento di matrice U n,l DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 25 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 26 Traccia di un operatore Spettri continui La traccia di un operatore è la somma dei suoi elementi diagonali: Tr( X )= X e risulta indipendente dalla rappresentazione scelta. Si può anche dimostrare che: Tr( XY)= Tr( YX ) Tr( U XU )= Tr( X ) Tr ( ) = i, j ( () a ) i Tr b i () b () i Vi sono osservabili (come lo spin) con uno spettro discreto di autovalori. Vi sono osservabili (come le componenti dell impulso) con uno spettro continuo di autovalori. Molti risultati sono generalizzabili ( ) = i, j = () = 1 d = 1 a i = = a i 2 = 1 d d 2 = 1 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 27 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 28

8 Spettri continui (II) Spazio delle coordinate = () = a i A = i, j A d = ( ) Gli autoket dell operatore posizione X, soddisfano l equazione agli autovalori: X x = x x Il ket di stato per un arbitrario stato si può scrivere come: = + x dx x Consideriamo una misura della posizione: Mettiamo un rivelatore sottile nella posizione x che scatta quando una particella si trova in un piccolo intervallo intorno a x: [x, x+]; Quando si registra un conteggio il ket cambia come: + = x d x x x x + x dx x DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 29 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 30 Spazio delle coordinate (II) Operatori di simmetria La condizione di ortonormalità della base di ket si scrive: x ( ) x = x x Si chiama funzione d onda per lo stato il prodotto interno: ( x)= x Spesso, per indicare lo stato avente x come funzione d onda si scrive: = ( x) ( ) Dato un ket consideriamo uno stato simmetrico che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore O. Poiché O è un operatore di simmetria, l azione di O non deve cambiare il risultato di una misura. Dovrà perciò valere la condizione: O O 2 = 2 Questa condizione può essere soddisfatta in due modi: O O = O O = ( operatore unitario) ( operatore anti-unitario) DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 31 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 32

9 Inversione spaziale Inversione spaziale (II) Dato un ket consideriamo uno stato spazialmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore P, noto come operatore di parità: P P = P Detto X l operatore posizione, ci aspettiamo che il valor medio delle coordinate preso rispetto allo stato spazialmente invertito sia l opposto: P XP = X Questo è vero se: P XP= X P XP= X PP XP= PX XP= PX XP+ PX = 0 Dunque P anticommuta con X : { P, X }= 0 Vediamo ora come si trasforma per parità un autoket delle coordinate: x P x X( P x )= XP x = PX x = P x x = ( x ) ( P x ) Dunque P x è un autoket di X corrispondente all autovalore x. Si ha anche, per definizione: X x = x x ( ) Pertanto P x deve essere uguale all autoket delle coordinate a meno di un fattore di fase: P x = e i x x DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 33 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 34 Inversione spaziale (III) Coniugazione di Carica Per convenzione si sceglie: e i = 1 Per cui si ha: P x = x Inoltre: P 2 x = PP x Per cui: = P x = x P 2 = 1 Pertanto l operatore P è hermitiano oltre che unitario: P 1 = P = P P e L = e R P 0 = 0 P n =+n L operazione della coniugazione di carica cambia il segno della carica e del momento magnetico, lasciando inalterate le altre coordinate. ella fisica classica la coniugazione di carica cambia in segno della densità di carica, della densità di corrente, del campo elettrico e del campo magnetico: C, E C E, C, B C B. Le equazioni di Maxwell sono invarianti per coniugazione di carica. ella fisica quantistica relativistica implica anche lo scambio di particella e antiparticella. Per i leptoni implica anche un cambio di segno nel numero leptonico. Per i barioni implica anche un cambio di segno nel numero barionico. DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 35 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 36

10 Coniugazione di Carica (II) Coniugazione di Carica (III) Consideriamo particelle di spin, nella rappresentazione delle coordinate ( x)= x. Per un elettrone l equazione di Dirac si scrive: p e A mc c = i e A mc c = i x e μ c A μ μ mc = 0 Prendendo = c = 1, si scrive: ( p ea m) = ( i ea m) = i x ea μ m = 0 Una lacuna nel mare delle energie negative registra l assenza di una energia E (E > 0) e l assenza di una carica +e (e < 0). E =± m 2 e + p 2 Essa è equivalente alla presenza di un positrone di energia +E > 0 e carica e > 0. Ma si può scrivere direttamente anche l equazione di Dirac per il positrone. DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 37 Corrispondenza 1-1 tra soluzioni a energia negativa dell equazione di Dirac per l elettrone: ( p ea m) = ( i ea m) = i x ea μ m = 0 e soluzioni a energia positiva dell equazione di Dirac per il positrone: ( p + ea m) C = ( i + ea m) C = i Cerchiamo un operatore che trasformi le due equazioni l una nell altra. DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T x + ea μ m C = 0 38 Coniugazione di Carica (IV) Prendendo la complessa coniugata dell equazione di Dirac per l elettrone, moltiplicando per 1 e ricordando che A μ è reale si ottiene: i i x = i μ x μ, A μ = ( A μ ) x ea μ m = 0 i x + ea ( ) μ + m = 0 Se riusciamo a trovare una matrice non-singolare C 0 tale che: C 0 ( )( ) μ ( C ) 0 1 = μ Allora avremo, come cercato: ( C ) 0 i x + ea ( ) μ + m C 0 ( ) 1 C 0 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T ( ) = 0 ( ) T =C T C 0 i x + ea μ + m( C 0 ) = 0 i x + ea μ m ( C 0 ) = 0 C = 0 39 Coniugazione di Carica (V) Costruiamo esplicitamente C 0 nella rappresentazione in cui: 0 = , 1 = Si ha: { μ, }= 2g μ 1, μ, = 0,1,2,3 ( ) 0 = DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T, 2 = i 0 0 i 0 0 i 0 0 i ( ) = ( ) 0 1 = ( ) 0 T = 0, ( ) =, = 1, 2,3 ( 0 ) 0 = , 3 = ( ) = ( 0 0 ) = 0 ( 0 ) = ( ) = ( ) ( ) 0 = = 0 = ( ) 0 T ( 0 ) μ 0 = ( ) μ T, μ = 0,1,2,3 ( C )( 0 ) μ ( C ) 0 1 = C ( 0 ) μ ( ) 0 1 C 1 = C ( 0 ) μ 0 C 1 = C( ) μ T C 1 g μ = ( ) μ T = μ, μ = 0, μ, μ = 1,3 = ( ) T 40

11 Coniugazione di Carica (VI) Coniugazione di Carica (VII) Per cui si deve avere: C 0 ( )( ) μ ( C ) 0 1 = μ C( ) μ T C 1 = μ ( ) μ T = C 1 μ C C( ) μ T = μ C C μ = μ C, μ = 0,2 C μ = μ C, μ = 1,3 Una possibile scelta è: C = i 2 0 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T C 0 = i = i = 0 C C 1 = i = i =+i = 1 C C 2 = i = i = 2 C C 3 = i = i =+i = 3 C μ, μ = 1,3 ( ) μ T = μ, μ = 0,2 { μ, }= 2g μ 1, μ, = 0,1,2,3 41 Per C = i 2 0 si ottengono pertanto le proprietà: C = ( i 2 ) 0 = i( ) 0 ( ) 2 = i ( 0 2 )= i 2 0 = C C 1 = ( i 2 ) 0 1 = i ( 1 ) 0 1 ( ) 2 1 = i ( 0 2 )= i 2 0 = C C T = i 2 0 ( ) T = i( ) 0 T ( ) 2 T = i 0 2 = i 2 0 = C C = C = C 0 = i = i 2 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T μ, μ = 1, 2,3 μ, μ = 1, 2,3 μ, μ = 1,3 ( ) μ = μ, μ = 0 ( ) μ 1 = μ, μ = 0 ( ) μ T = μ, μ = 0,2 C = C 1 = C T = C Avremo quindi, per l operatore C di coniugazione di carica: C e L C = C 0 = i 2 C 2 = CC = C ( i 2 )= i 2 i 2 = i ( 2 i 2 )= 2 2 = C 2 = 1 C 1 = C = C ( ) = i 2 ( i) 2 ( ) = = e L + C u = u C d = d C n = n C = C 0 = Operatori anti-lineari Operatori anti-lineari (II) Sia un operatore lineare L, sia un operatore anti-lineare A mappa uno spazio di ket E in se stesso: L ( E ) L ( E ) A ( E ) A ( E ) Tuttavia essi hanno un diverso comportamento quando si applicano a combinazioni lineari di ket. Per un operatore lineare: L( c + c )= c L + c L,, E c,c Si definisce invece anti-lineare un operatore per il quale: A( c + c )= c A + c A,, E c,c In particolare un operatore anti-lineare non commuta con una costante, quando essa è considerata come un operatore moltiplicativo alla sua destra: Ac = c A DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 43 Il prodotto di n operatori lineari o anti-lineari è: Lineare se il numero di fattori anti-lineari è pari; Anti-lineare se il numero di fattori anti-lineari è dispari. Un bra, per definizione è un funzionale lineare: ( E ) ( ) Per gli operatori lineari vale l assioma associativo: def ( L) = ( L )= L el caso di un operatore anti-lineare A l assioma associativo non vale, in quanto A è un funzionale anti-lineare, mentre si suppone che un bra sia un funzionale lineare. Dobbiamo perciò introdurre una coniugazione complessa per rendere A lineare: def ( A) = ( A ) = A DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 44

12 Operatori anti-lineari (III) Operatori anti-unitari Dalla definizione di coniugato hermitiano e di prodotto interno: X CD X Un operatore anti-lineare che trasforma: = = = abbiamo trovato, per gli operatori lineari: si dice anti-unitario se: L = ( L )= L L = L {( ) } = L Per gli operatori anti-lineari troviamo invece: ( A )= {( A ) } = ( A ) ( A )= ( A ) ( ) = Dovendo essere: ( )( )= ( )( )= segue che: = = 1 ( )= =,, ( ) DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 45 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 46 Operatori anti-unitari (II) Operatori anti-unitari (III) Un operatore anti-unitario si può sempre scrivere nella forma: = UK dove: U è un operatore unitario; K è l operatore di complessa coniugazione: Genera il complesso coniugato di ogni coefficiente che moltiplica un ket e sta alla destra di K: Kc = c K Infatti è antilineare, in quanto: ( c + c )= UK( c + c )= U( Kc + Kc )= = U ( c K + c K )= Uc K + Uc K = = c UK + c UK = c + c Consideriamo inoltre l operatore K: K K Sviluppando in una base di autoket,i = 1,,, si ha: = K = K = K = K = K = = in quanto l operatore K non modifica i ket della base (avendo essi componenti 0 o 1 rispetto alla base stessa): = i, j = K { } DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 47 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 48

13 Operatori anti-unitari (IV) Operatori anti-unitari (V) Avremo quindi: = = UK = UK a () i = U = U a i () = = UK = UK a () i = U = U a i () CD Per quanto riguarda il corrispondente duale : = = U = = Per cui si ha: = a () i U U e l operatore = UK risulta anti-unitario. = U U = j=1 j=1 = = = i, j = j=1 j=1 = = = = = = DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 49 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 50 Inversione temporale Inversione temporale (II) Dato un ket consideriamo uno stato temporalmente invertito che supponiamo sia stato ottenuto applicando un operatore T, noto come operatore di inversione temporale: T T = T Consideriamo l evoluzione temporale di uno stato fisico. Detto,t 0 ;t lo stato (al tempo t) di un sistema che al tempo t 0 è rappresentato dal ket, si ha, essendo H l operatore hamiltoniano:,t 0 = 0;t = t = 1 ih t Se il moto soddisfa la simmetria per inversione temporale ci aspettiamo di ottenere lo stesso stato: 1. Applicando T al sistema al tempo t = 0 e lasciando evolvere il sistema per il tempo t > 0 sotto l azione della hamiltoniana H; 2. Facendo evolvere il sistema per il tempo t = t < 0 e quindi applicando T: 1 ih t T = T 1 ih ( t ) Affinché questa relazione sia vera per ogni ket deve essere: iht = T i H DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 51 DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 52

14 Inversione temporale (III) Se T fosse unitario: Avremmo: iht = TiH = ith HT = TH T 1 HT = H p 2 el caso di una particella libera, detto p l impulso, si ha: p 2 T 1 2m T = H = p 2 2m 2m Ma ci aspettiamo che p cambi segno, ma non p 2. Se invece T è anti-unitario: Si ha: iht = T ih = it H HT = TH T 1 HT = H el caso di una particella libera otteniamo, come atteso: p 2 T 1 2m T = p 2 2m DOMEICO GALLI Temi di Fisica delle Particelle elementari al LHC Operatori C, P e T 53 Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica domenico.galli@unibo.it