Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x)

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1 Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f() 1

2 Ecco i passi utili allo studio di una funzione reale: Determinare il dominio della funzione Ricercare l eventuale intersezione della funzione con gli assi ed y Studiare il segno della funzione o positività Calcolo della derivata seconda, per lo studio della concavità della funzione e ricerca dei punti di flesso Ricerca degli eventuali asintoti verticali Calcolo della derivata prima e ricerca punti di ma/min 2

3 Determinare il dominio di una funzione: Cosa significa? Individuare l insieme dei punti i in cui la funzione è definita!!! Come trovo il dominio. Per trovare il dominio è necessario classificare il tipo di funzione: Se è una funzione razionale intera il suo dominio è costituito da tutto l asse reale Se la funzione è razionale fratta, imponi che il denominatore sia diverso da zero. I valori i che annullano il denominatore della funzione non appartengono al suo Dominio, per tali punti i la funzione non esiste; le rette verticali passanti per quei punti sono asintoti verticali per la curva. Se la funzione è irrazionale, guarda l indice del radicale!!: 1. Se è pari, dovrai porre che il radicando sia positivo e nullo, poiché la funzione è a valori Reali 2. Se è dispari, non ci sono imposizioni D=R Se la funzione è esponenziale osserva ciò che c è ad esponente ed applica le regole precedenti!! 3

4 Stabilire se la funzione presenta simmetrie: Per stabilire se la funzione presenta simmetrie è necessario calcolare: F(-) e -F() Come fare???? Per F(-) sostituisci, all interno della funzione principale al posto della, la stessa con segno opposto -F() poni davanti alla funzione principale il segno, a questo punto ricorda di cambiare i segni e..n.b! se la funzione è fratta cambia i segni solo al numeratore!!!! Ora se avremo: F()=F(-) la funzione è pari e sarà simmetrica rispetto all asse Y F(-)=-F() la funzione è dispari e sarà simmetrica rispetto all origine degli assi 4

5 Ricerca l eventuale intersezione della funzione con gli assi COME FARE??NON DEMORALIZZARTI!!! Poni in sistema prima l equazione della curva con l equazione dell asse delle ascisse Ora con l asse delle ordinate Y= f() Y=0 Y=f() =0 5

6 Studia ora il segno della funzione o positività Studia innanzitutto la disequazione f()>0 Negli intervalli in cui la funzione risulta positiva, la curva sarà situata sopra l asse delle ascisse e viceversa.. Riporta i risultati sul grafico, escludendo le zone che la curva non attraversa.. ES: se dalla disequazione risulta f()>0 per <-1 U >1 6

7 Studiare con i limiti il comportamento della funzione agli estremi del Dominio Ti chiedi cosa sarà necessario fare??? Semplice!!! Calcola i limiti della funzione nell intorno dei punti i : E all infinito Lim f()= c Lim f()= N.B!! Prendi i valori del dominio non compresi!!! Es: Se hai D={(- ; 0](1;5)} Lo 0 non lo devi prendere perché è compreso nel dominio!!! Sono stata abbastanza chiara?? 7

8 Se: Ora ricerca gli eventuali asintoti orizzontali e verticali.. Controlla questi risultati e osserva di che asintoto si tratta!!! 1) Lim f()=± =c E ASINTOTO VERTICALE c 2) Lim f()=l y=l E ASINTOTO ORIZZONTALE 3) Lim f()= PUO ESISTERE ASINTOTO OBLIQUO N.B.= SE TI TROVI NEL 3 CASO..VAI A PAG SEGUENTE E TI INDICHERO CIO CHE DEVI FARE 8

9 Ricerca degli eventuali asintoti obliqui Lim f()= In questo caso come già indicato, tu hai Ora per trovare l asintoto obliquo devi calcolare altri 2 limiti m=lim f()/ In questo modo ottieni il coefficiente angolare m della retta.. Se questo limite risulta un numero e non Calcolo il 2 limite, ossia: q=lim [f()-m] Che ti permette di trovare il valore del termine noto q della retta Se anche questo limite esiste ed è finito, allora sostituisco i valori ottenuti nell equazione della retta, che è asintoto obliquo della curva!! Y=m+q 9

10 Calcola la derivata prima A cosa serve? Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce, e per individuare i probabili punti di minimo e massimo relativi E si ottiene ponendo f ()>0 In questo caso avremo: ES:se dalla disequazione f ()>0 abbiamo <1 U >3 e > min ma min N.B: Per calcolare le ordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo sostituisci uno alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell equazione della curva!!! 10

11 Calcolo della derivata seconda A cosa serve? Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa, e per individuare i probabili punti di flesso E si ottiene ponendo f ()>0 In questo caso avremo: ES:se dalla disequazione f ()>0 abbiamo >0 f ()<0 f ()>0 =0 N.B: Negli intervalli in cui la derivata risulta positiva(f ()>0), la curva rivolge la concavità verso l alto (concava), in caso cantrario (f ()<0)verso il basso (convessa). Le soluzioni di f ()=0 sono le ascisse dei punti in cui la curva cambia la sua concavità, i punti di flesso, e la tangente si dispone orizzontalmente. Anche in questo caso per calcolare le ordinate degli eventuali punti di flesso sostituisci una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell equazione della curva 11

12 Ora credo che dovresti essere in grado di studiare una qualsiasi funzione.. Sicuramente necessario sarà anche il tuo impegno però.. BUONO STUDIO!!! 12