0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite"

Transcript

1 Questo breve file è dedicato alle questioni di derivabilità di funzioni reali di variabile reale. Particolare attenzione viene posta alla classificazione dei punti di non derivabilità delle funzioni definite su sottoinsiemi di R a valori in R. Premettiamo la seguente definizione Definizione Sia f : D f R R una funzione reale di variabile reale x, definita su un sottoinsieme D f di R. Sia x 0 D f un punto di accumulazione del dominio D f della f. Diremo che la funzione f è derivabile da destra in x 0 se esiste finito il limite f +(x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ). Questo limite, denotato con f +(x 0 ), (se esiste ed è finito) viene definito derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ). h 0 h Questo limite, denotato con f (x 0 ), (se esiste ed è finito) viene definito derivata sinistra di f in x 0. Diremo che la funzione f è derivabile in x 0 se è derivabile da destra e da sinistra in x 0 e se i valori delle due derivate destra e sinistra della f in x 0 sono uguali (oltre che chiaramente finiti) ovvero se f +(x 0 ) = f (x 0 ). In questo caso, definiamo derivata di f in x 0, il numero reale, denotato con f (x 0 ), dato da f (x 0 ) = f (x 0 ) = f +(x 0 ). Osservazione 1. Osservate che se x 0 D f è un punto isolato di D f (vi ricordate tutti cosa vuol dire? Se vi foste dimenticati la definizione di punto isolato, andatevela a riguardare sulle precedenti note sulla prolungabilità), i limiti che definiscono la derivata destra e sinistra della f non hanno senso (perchè? Non andate avanti con la lettura, se non lo avete capito!). Dunque un punto x 0 D f che sia isolato per D f è un punto in cui la funzione è definita, è continua (per definizione: rivedete il file sulla prolungabilità), ma non è derivabile. Questo preambolo dovrebbe spiegarvi perchè nella definizione precedente venga richiesto che il punto x 0 D f sia di accumulazione per D f. Questa richiesta è in realtà del tutto naturale, ogni qual volta un oggetto venga definito come limite. Osservazione 2. Avete visto a lezione che se una funzione f è definita e derivabile in x 0 D f allora f è continua in x 0. Ne segue immediatamente 1

2 che un punto x 0 D f in cui la funzione f non è continua, è un punto di non derivabilità della f. Riassumendo, i punti isolati del dominio di una funzione e i punti (del dominio) di non continuità di una funzione sono i primi semplici esempi di punti di non derivabilità della stessa. Osservazione 3. L esistenza della derivata di una funzione f in un punto x 0 D f è strettamente correlata alla questione (geometrica) dell esistenza di un unica retta tangente non verticale al grafico G f = {(x, f(x)) R 2 : x D f )} della funzione f nel punto (x 0, f(x 0 )). Ometto qui la trattazione di questo aspetto, affrontato a lezione. Tuttavia se qualcuno volesse discuterne i dettagli (per comprendere, ad esempio, il significato del rapporto incrementale, della retta tangente come particolare limite di rette secanti, ecc.), lo possiamo riprendere in separata sede. Veniamo alla questione principale di queste note. Sia assegnata una funzione reale f di variabile reale x, definita in un sottoinsieme D f di R e sia x 0 D f. Se x 0 è un punto isolato del dominio, allora sappiamo già (Osservazione 1) che la funzione non è derivabile in x 0. Trattiamo allora la casistica in cui x 0 non è un punto isolato di D f. CASO 1. Supponete che x 0 sia un punto di accumulazione di D f e che ogni intorno di x 0 contenga punti del dominio D f sia più piccoli di x 0 che più grandi di x 0 (talora si definisce un tale punto di accumulazione come punto di accumulazione destro e sinistro di D f ). In altre parole vi potete avvicinare a x 0 sia da destra che da sinistra con punti del dominio D f della f e quindi hanno senso i limiti che definiscono sia la derivata destra che la derivata sinistra di f in x 0 (nel senso che la procedura di limite è sensata). Fate molta attenzione: il fatto che abbiano senso tali limiti non significa necessariamente che i due limiti esistano. Può verificarsi una sola delle seguenti situazioni. 1) Almeno uno dei due limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) (identificherò nel seguito della trattazione la derivata sinistra f (x 0 ) con il limite che la definisce (e analogamente per f + (x 0 )), parlando di questi numeri come di limiti che li definiscono) non esistono. Se non esiste il limite che definisce la derivata destra di f in x 0, la funzione non sarà derivabile da destra (e quindi non sarà derivabile) in x 0 (pur potendo essere derivabile da sinistra in x 0 se il limite f (x 0 ) esiste finito). Analogamente, se non esiste il limite che definisce la derivata sinistra di f in x 0, la funzione non sarà derivabile da sinistra (e quindi non sarà derivabile) in x 0 (pur potendo essere derivabile da destra in x 0 se il limite f +(x 0 ) esiste finito). Se non esiste nessuno dei due limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ), la funzione f non sarà derivabile in x 0, nè sarà derivabile solo da destra o solo da sinistra in x 0. 2

3 2a) I limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) esistono, ma almeno uno dei due è infinito. Se solo il limite f (x 0 ) è infinito, allora la funzione non sarà derivabile da sinistra in x 0 (ma derivabile da destra in x 0 ) e quindi non sarà derivabile in x 0. Geometricamente parlando, la tangente sinistra al grafico della f nel punto (x 0, f(x 0 )) è la retta verticale x = x 0 (il suo coefficiente angolare è infinito, come d altronde il valore di f (x 0 )), mentre la tangente destra al grafico della f in (x 0, f(x 0 )) è la retta passante per tale punto e avente come coefficiente angolare proprio f +(x 0 ). Se solo il limite f +(x 0 ) è infinito, allora la funzione non sarà derivabile da destra in x 0 (ma derivabile da sinistra in x 0 ) e quindi non sarà derivabile in x 0. Geometricamente parlando, la tangente destra al grafico della f nel punto (x 0, f(x 0 )) è la retta verticale x = x 0 (il suo coefficiente angolare è infinito, ancora come il valore di f +(x 0 )), mentre la tangente sinistra al grafico della f in (x 0, f(x 0 )) è la retta passante per tale punto e avente come coefficiente angolare f (x 0 ). Se infine entrambi i limiti sono infiniti, allora la funzione non è derivabile in x 0 (ne è derivabile solo da destra o solo da sinistra in x 0 ). La tangente al grafico di f in (x 0, f(x 0 )) esiste unica (si tratta però della retta verticale di equazione x = x 0 ). In tutti e tre i sottocasi analizzati, il punto x 0 viene detto punto di cuspide. 3) I limiti f (x 0 ) e f +(x 0 ) esistono finiti (e dunque la funzione f è derivabile da sinistra e da destra in x 0 ). Se f (x 0 ) = f +(x 0 ) allora la funzione f è derivabile in x 0 ed esiste un unica retta tangente al grafico della funzione f nel punto (x 0, f(x 0 )) con coefficiente angolare f (x 0 ). Se invece si ha che f (x 0 ) f +(x 0 ) allora la funzione f (pur essendo derivabile da destra e da sinistra in x 0 ) non è derivabile in x 0, non esiste un unica tangente non verticale al grafico della f in x 0, ma esistono due tangenti a G f nel punto (x 0, f(x 0 )), una destra e una sinistra, aventi come coefficienti angolari rispettivamente f +(x 0 ) e f (x 0 ). In questo caso x 0 viene detto punto angoloso. CASO 2. Supponete che x 0 sia un punto di accumulazione di D f ma che ogni intorno di x 0 contenga punti del dominio solo più grandi di x 0 (si parla talvolta di punto di accumulazione destro). Ha dunque senso calcolare il limite f +(x 0 ), ma non ha senso calcolare il limite f (x 0 ). In questo caso, si parla di studio della derivabilità destra della f in x 0. Può verificarsi solo una delle seguenti situazioni. 1) Il limite f +(x 0 ) non esiste e la funzione non è derivabile da destra in x 0. 2) Il limite f +(x 0 ) esiste ma è infinito. La funzione f non sarà derivabi- 3

4 le da destra in x 0, ma avrà una tangente (destra) verticale al suo grafico nel punto (x 0, f(x 0 )) di equazione x = x 0. 3) Il limite f +(x 0 ) esiste finito. La funzione f è allora derivabile da destra in x 0 e avrà una tangente (destra) non verticale al suo grafico nel punto (x 0, f(x 0 )) con coefficiente angolare proprio f +(x 0 ). Analoghe considerazioni valgono anche nel caso in cui abbia senso lo studio della sola derivabilità sinistra della f in x 0. Passiamo a qualche esempio concreto dello studio della derivabilità delle funzioni reali di variabile reale. Esempio 1. Studiare la regolarità sul dominio (continuità e derivabilità) della funzione f(x) = x 1. Prima di tutto osserviamo che il dominio della funzione f è dato da D f = [1, + ). Inoltre la funzione è continua su tutto il suo dominio (in particolare in x 0 = 1 la funzione è continua solo da destra, visto che non ha senso calcolare il limite della f per x 1 ), dato che è composizione di funzioni continue su D f (descrivete questa composizione, controllando che le funzioni che ne fanno parte siano a tutti gli effetti continue in D f ). Occupiamoci della derivabilità della f nei punti in cui è definita. Tali punti sono tutti di accumulazione di D f (facile) e la funzione è continua in tutti i punti del suo dominio (i punti di discontinuità della f, che in questo caso non si presentano, sarebbero stati automaticamente punti di non derivabilità, in virtù dell Osservazione 2). Notiamo inoltre che nel punto x 0 = 1 si può studiare la sola derivabilità destra della f. Proviamo a fare un tentativo euristico di derivazione della funzione. Derivando la f, otterremmo f (x) = 1 2 x 1. La funzione f non sarà definita in x 0 = 1 ovvero non ha senso valutare la f in x 0 = 1: ecco che la funzione f sembra non essere derivabile (da destra) in x 0 = 1. Per tutti gli altri punti nel dominio della f la funzione f è ben definita. Dunque, sembra naturale supporre che la funzione f sia derivabile in tutti i punti di (1, + ) ma non sia derivabile da destra in x 0 = 1. Proviamo rigorosamente quest asserto. Il fatto che la funzione f sia derivabile in (1, + ) è di nuovo una diretta conseguenza del fatto che la f è 4

5 composizione di funzioni derivabili in (1, + ) (convincetevene!). Resta solo da controllare la non derivabilità destra della f in x 0 = 1. Calcoliamo (se esiste) il limite (che è ben posto, visto che x 0 è di accumulazione per D f ) f(x 0 + h) f(x 0 ) lim, con, al posto di x 0, il valore incriminato 1. Si ha f(1 + h) f(1) lim h 0 + h h = +. Il limite esiste ma è infinito (siamo nel CASO 2 - punto 2) ). Dunque la funzione non è derivabile da destra in x 0 (eppure esiste la tangente destra al grafico di f in (1, f(1) = 0): che equazione ha?). Qualcuno potrebbe essere tentato a saltare a una facile conclusione. Il punto x 0 = 1 è il punto che annulla il radicando e la funzione f non è derivabile da destra in x 0 = 1, perchè, derivando, otterrei al denominatore della derivata esattamente questa radice (che si annulla in x 0 = 1). Fin qua la spiegazione (euristica; bisogna sempre dimostrare che un candidato punto di non derivabilità lo è a tutti gli effetti, ricorrendo alla definizione di derivata) fila liscia, ma guai a generalizzare. Non pensiate che qualunque valore annulli una funzione radicale sia automaticamente un punto di non derivabilità della stessa. Ecco infatti una piccola variazione sul tema. Esempio 2. Studiare la regolarità sul dominio della funzione f(x) = 1 x 1. In questo caso il dominio della f è D f = (1, + ) e la funzione è continua e derivabile in ogni punto di D f (calcolate quanto vale la derivata della f in D f ). È banale sollevare un obiezione. In questo caso il punto (x 0 = 1) che annulla il radicando non appartiene al dominio della funzione f. Pertanto non ha proprio senso studiare nè la continuità nè la derivabilità (destra) della f in x 0 = 1. Verissimo. Il punto che annulla il radicando non può essere in questo caso un punto problematico per la derivatà della f, perchè non fa parte del dominio D f. Vi propongo allora il seguente esempio (ultima variazione sul tema). Esempio 3. Studiare la regolarità sul dominio della funzione f(x) = 3 (x 1) 4. La funzione è definita in D f = R, dato che l indice della radice è dispari ed è continua in tutto D f (perchè?). Il punto x 0 = 1 è questa volta un punto del 5

6 dominio della f e in questo punto il radicando vale 0. Tuttavia la funzione f è derivabile in tutto D f (e anche in x 0 = 1) e la sua derivata vale ( ( ) f 3 (x) = (x 1) 4) = (x 1) = 3 (x 1) = 3 x 1, x R. 3 La derivabilità della f in x 0 = 1 è dovuta al fatto che (detto brutalmente) la radice a numeratore non è passata, derivando, al denominatore. Vengono da sè due domande per tutti voi. Domanda 1. La funzione f dell ultimo esempio (Esempio 3) ammette ovunque nel dominio la derivata seconda (la derivata della derivata) oppure ci sono punti in cui la derivata seconda di f non esiste (ovvero punti del dominio di f in cui f non è derivabile due volte)? Domanda 2. Se vi si chiede di stabilire l insieme di derivabilità della funzione f(x) = m (x 1) n, al variare di n, m N, m > 1, n 1, voi cosa mi sapete dire? Cambiamo completamente punto di vista e occupiamoci di un altra classe di funzioni che presentano problemi di derivabilità. Esempio 4. Studiare la regolarità sul dominio della funzione { 5x 10 se 5x 10 0 x 2, f(x) = 5x 10 = (5x 10) = 10 5x se 5x 10 < 0 x < 2. Prima di tutto osserviamo che f è definita in D f = R e che è continua su tutto il suo dominio. Per provare che la f è continua su tutto il suo dominio, potete di nuovo osservare che la f è composizione di funzioni continue in tutto D f (quali?). Alternativamente, potete ragionare nel modo seguente (per la definizione di continuità della f in un punto x 0 D f riguardate eventualmente il file sulla prolungabilità). Se x 0 > 2 (ovvero se x 0 appartiene al dominio del primo ramo della funzione modulo, f 1 (x) = 5x 10), dovreste controllare che si ha ovvero che lim f(x) f(x) = f(x 0 ) lim 5x 10 5x 10 = f(x 0 ) = 5x

7 Dal momento che x 0 > 2, in entrambi i limiti nell ultima catena di uguaglianze potete sostituire il valore f(x) = 5x 10 con 5x 10 e f(x 0 ) = 5x 0 10 con 5x 0 10 (perchè?). Resta dunque da controllare che lim (5x 10) (5x 10) = f(x 0 ) = 5x 0 10, ovvero che la funzione f 1 (x) = 5x 10 è continua in x 0. Ma questo è banalmente vero, dal momento che g è un polinomio e i polinomi sono continui dove definiti. Analogamente si prova che la vostra f è continua anche in qualunque x 0 < 2. Resta da controllare che la f sia continua in x 0 = 2 (in questo modo sarà continua su tutto il suo dominio D f ). Calcoliamo i limiti destro e sinistro della f per x che tende a x 0 e controlliamo che siano finiti, uguali fra loro e uguali al valore di f in x 0. Si ha lim x 2 f(x) 10) = 0 f(x) = f(2). + (5x x 2 Dunque la funzione è continua anche in x 0 = 2 e in definitiva è continua ove definita. Occupiamoci della derivabilità della f. Non è difficile rendersi conto che la funzione è derivabile in D f \ {2} (controllatelo, scegliendo un arbitrario numero reale x 0, diverso da 2, e operando come per la parte della continuità (ricordatevi che i polinomi sono derivabili ovunque essi siano definiti)) e che in questo insieme la derivata vale { f 5 se x > 2, (x) = 5 se x < 2. Osservate che non ho incluso il valore x 0 = 2 nel dominio della derivata, proprio perchè sospetto che x 0 = 2 sia un punto di non derivabilità per la f (tipica patologia dei punti del dominio di una funzione che annullano un qualche modulo presente nell espressione che la definisce). x 2 Dimostriamo rigorosamente che la f non è derivabile in x 0 = 2 e che x 0 è, più precisamente, un punto angoloso per la f (ovvero che in x 0 esistono la derivata destra e sinistra della f, sono finite ma diverse (CASO 1 - punto 3) )). Si ha f +(2) f(2 + h) f(2) 5 h = 5, mentre f (2) f(2 + h) f(2) 5 h h 0 h h 0 h = 5. C è un modo più veloce di stabilire la non derivabilità della f in x 0 = 2, facendo riferimento al seguente teorema. 7

8 Teorema 1. Sia f : D f R R. Sia x 0 D f un punto di accumulazione di D f (destro e sinistro, cioè, ricordo per l n-esima volta, arbitrariamente vicino a x 0 (a destra e a sinistra di x 0 ) si possono trovare punti di D f ). Supponiamo che la funzione sia continua in un intorno I di x 0 (e dunque anche in x 0 ) e che sia derivabile nello stesso intorno di x 0, privato di x 0. Se esiste il limite lim f (x), allora si ha quanto segue. Se questo limite è infinito, allora la funzione non è derivabile da destra in x 0 e quindi non è derivabile in x 0. Se questo limite esiste ed è finito allora esso è uguale alla derivata destra f +(x 0 ) di f in x 0. Se esiste il limite lim f (x), allora si ha ancora quanto segue. Se questo limite è infinito, allora la funzione non è derivabile da sinistra in x 0 e quindi non è derivabile in x 0. Se questo limite esiste ed è finito allora esso è uguale alla derivata sinistra f (x 0 ) di f in x 0. Corollario 1. Sotto le stesse ipotesi su f e su x 0 del Teorema 1, supponiamo che esistano entrambi i limiti e lim f (x) lim f (x). Allora, se almeno uno dei due limiti è infinito oppure sono entrambi finiti ma diversi fra loro, il punto x 0 è un punto di non derivabilità per la f. Se invece i due limiti sono finiti e uguali fra loro, allora la funzione f è derivabile in x 0. Osservazione 4. I più zelanti potrebbero provare (non è semplice, bisogna usare il Teorema di Lagrange) a utilizzare il Teorema 1 per dimostrare che se una funzione che soddisfa le ipotesi del Teorema 1 è derivabile in x 0 D f, questo punto non può essere di discontinuità eliminabile o di salto finito per la funzione f. Torniamo per un momento all ultimo esercizio e dimostriamo che f(x) = 5x 10 non è derivabile in x 0 = 2 senza ricorrere alla definizione di derivata, ma usando il Teorema 1 e il Corollario 1 appena presentati. Il punto x 0 = 2 soddisfa le ipotesi del Corollario 1 (è di accumulazione (destro e sinistro) per D f, la f è continua in qualsiasi intorno di x 0 ed è 8

9 derivabile in qualsiasi intorno di x 0, privato del punto x 0 stesso). Inoltre esistono lim f (x) = 5 e lim f (x) = 5. Dunque, per il corollario appena enunciato, la f non è derivabile in x 0 = 2, perchè, pur esistendo finiti, i due limiti sono diversi fra loro. Osservazione 5. Il Teorema 1 e il Corollario 1 appena presentati sono degli utilissimi strumenti per stabilire la derivabilità o meno di una funzione in un punto problematico x 0 D f del tipo descritto nel teorema senza passare per la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Tuttavia, per potervi ricorrere, devono esistere i limiti destro e sinistro di f per x che tende a x 0. E se questi limiti non esistessero? Siamo autorizzati a concludere che la f non è derivabile in x 0? Assolutamente no, come mostra il seguente interessante esempio. Esempio 5. Discutere la continuità e la derivabilità sul suo dominio della funzione { f x (x) = 2 sin ( 1 x) se x 0, 0 se x = 0. La funzione f è definita in tutto R. È senza dubbio continua in ogni x 0 R \ {0} (perchè?), ma cosa succede in x 0 = 0? La funzione f è continua anche in x 0 = 0? La risposta è affermativa. Infatti lim x 0 x 0 f(x) f(x) = 0 = f(0). + Che i primi due limiti siano uguali a 0 è una questione che lascio a voi (suggerimento: notate che il seno è limitato dal basso da 1 e dall alto da 1 e usate il teorema del confronto o dei carabinieri per i limiti). Dunque la funzione f è continua su tutto il suo dominio D f = R. La funzione f è derivabile in D f \ {0} = R \ {0} e se x D f \ {0} si ha ( ) ( ) 1 1 f (x) = 2x sin cos. x x Cosa succede in x 0 = 0? La f è derivabile in questo punto? Il Corollario 1 non è applicabile, dato che i limiti e lim f (x) x 0 + lim f (x) x 0 9

10 non esistono (perchè?). Siamo costretti a usare la definizione di derivata per scoprire che in realtà la funzione f è derivabile in 0 e che risulta f (0) = 0. Si ha infatti f +(0) f(h) f(0) e analogamente si verifica che h 2 ( sin 1 h) f (0) = 0. sin ( ) 1 = 0 h Dunque la funzione f è derivabile in x 0 = 0 e quindi in tutto il suo dominio e risulta { ( f 2x sin 1 ( (x) = x) cos 1 ) x se x 0, 0 se x = 0. Provate a studiare da soli la continuità e la derivabilità sul dominio delle seguenti due funzioni: x f 1 (x) = x e { sin x f 2 (x) = x se x 0, 1 se x = 0. 10

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Osservazioni sulla continuità per le funzioni reali di variabile reale

Osservazioni sulla continuità per le funzioni reali di variabile reale Corso di Matematica, I modulo, Università di Udine, Osservazioni sulla continuità Osservazioni sulla continuità per le funzioni reali di variabile reale Come è noto una funzione è continua in un punto

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)).

La curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)). Calcolo differenziale Il teorema di Rolle TEOREMA DI ROLLE Ipotesi f continua su [a, b] f derivabile per lo meno su (a,b) f(a) = f(b) Tesi Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che Giustificazione con

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

1. Limite finito di una funzione in un punto

1. Limite finito di una funzione in un punto . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

Derivate Limiti e funzioni continue

Derivate Limiti e funzioni continue Derivate Limiti e funzioni continue Se il valore di una funzione f() si avvicina al valore l quando si avvicina ad 0 diciamo che f() ha come ite l per tendente ad 0. Noi per rappresentare questo fatto

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j. LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile

Dettagli

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA

UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA UNA LEZIONE SUI NUMERI PRIMI: NASCE LA RITABELLA Tutti gli anni, affrontando l argomento della divisibilità, trovavo utile far lavorare gli alunni sul Crivello di Eratostene. Presentavo ai ragazzi una

Dettagli

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

Syllabus delle conoscenze per il modulo: matematica. Esempi di domande

Syllabus delle conoscenze per il modulo: matematica. Esempi di domande Syllabus delle conoscenze per il modulo: matematica Esempi di domande Nelle pagine che seguono sono riportati, come esempio, quindici quesiti proposti nel 2008/09. Le risposte corrette (che si consiglia

Dettagli

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire Operazioni tra funzioni Siano f e g due funzioni, allora D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire f() ± g(), f() g(), f () g() se g() 0 Es. f() = 4, g() = 3 + D f

Dettagli

Funzioni con dominio in R n

Funzioni con dominio in R n 0.1 Punti e vettori di R n Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R n Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Molto spesso risulta che una quantita

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

1 Principali funzioni e loro domini

1 Principali funzioni e loro domini Principali funzioni e loro domini Tipo di funzione Rappresentazione Dominio Polinomio intero p() = a n + + a n R p() Polinomio fratto q() 6= q() 2n Radici pari p f() f() 2n+ Radici dispari p f() R Moduli

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti?

Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti? Dov'è Moriart? Cerchiamo la via più breve con Mathcad Potete determinare la distanza più breve da tre punti e trovare Moriart? Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero:

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero: Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

4.1.1.1 APRIRE UN PROGRAMMA DI FOGLIO ELETTRONICO

4.1.1.1 APRIRE UN PROGRAMMA DI FOGLIO ELETTRONICO 4.1 PER INIZIARE 4.1.1 PRIMI PASSI COL FOGLIO ELETTRONICO 4.1.1.1 APRIRE UN PROGRAMMA DI FOGLIO ELETTRONICO L icona del vostro programma Excel può trovarsi sul desktop come in figura. In questo caso basta

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

A i è un aperto in E. i=1

A i è un aperto in E. i=1 Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque

Dettagli

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente

Funzioni funzione dominio codominio legge argomento variabile indipendente variabile dipendente Funzioni In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: 1. un insieme X detto dominio di f 2. un insieme Y detto codominio di f 3. una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento

Dettagli

F (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio:

F (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio: Funzioni Primitive (Integrali Indefiniti) (l.v.) Pur essendo un argomento che fa parte del Calcolo Differenziale, molti autori inseriscono funzioni primitive nel capitolo sul Calcolo Integrale, in quanto

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli