2. calcolare l energia cinetica del corpo e tracciare il suo andamento nel tempo;

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1 1 Esercizio (tratto dal Problea 4.29 del Mazzoldi 2) Un corpo di assa = 1.5 Kg è agganciato ad una olla di costante elastica k = 2 N/, di lunghezza a riposo = 50 c, fissata ad una parete verticale in x = 0. Il piano su cui si trova il corpo è liscio. All istante t = 0 al corpo viene ipressa una velocità iniziale v 0 = 0.2 /s verso destra. 1. scrivere la legge oraria x(t) del corpo; 2. calcolare l energia cinetica del corpo e tracciare il suo andaento nel tepo; 3. calcolare l energia potenziale del corpo e tracciare il suo andaento nel tepo; 4. ostrare che l energia eccanica si conserva; 5. utilizzando la conservazione dell energia calcolare l allungaento assio x ax > 0 della olla verso destra. 6. utilizzando la conservazione dell energia calcolare la velocità del corpo quando coprie la olla verso sinistra di una quantità x B = ax /2. x =0 v 0 x

2 2 SOLUZIONE DATI INIZIALI = 1.5 Kg (1) k = 2 N/ (2) = 0.5 (3) v 0 = 0.2 /s (4) posizione iniziale velocità iniziale x(t = 0) = (5) v(t = 0) = v 0 (6) 1. La legge oraria si ricava risolvendo le equazioni della dinaica. x x Il corpo è soggetto alla sola forza elastica della olla. Indicando con x la coordinata del corpo lungo il piano (isurata rispetto all origine posta alla parete verticale) abbiao dove è la lunghezza a riposo della olla. Quindi abbiao F el (x) = k(x ) (7) a = F el d2 x dt 2 = k(x ) d 2 x dt 2 = k (x ) (8) Questa è l equazione differenziale che dobbiao risolvere, con le condizioni iniziali (relative all istante in cui il punto ateriale parte da O verso destra) x(t = 0) = (9) v(t = 0) = v 0 Per risolvere l Eq.(8) osserviao che è siile all equazione di un oto aronico d 2 y dt 2 = ω2 y (10)

3 3 di cui è nota la soluzione generale y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (11) dove A e B sono due costanti arbitrarie (il cui valore deve deterinarsi iponendo le condizioni iniziali). Tentiao pertanto di riscrivere la (8) nella fora di un equazione aronica (10) A tale scopo osserviao che, siccoe è costante, possiao scrivere (8) anche coe Pertanto, definendo d 2 (x ) dt 2 = k (x ) (12) ω 2 = k (13) e introducendo la variabile x(t) = x(t) (14) (che rappresenta lo scostaento rispetto alla lunghezza a riposo della olla) otteniao che la variabile x soddisfa l equazione differenziale d 2 ( x) dt 2 = ω 2 x(t) (15) La (15) è proprio l equazione del oto aronico (10). La soluzione generale (11) vale dunque x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (16) Ricordando la relazione (14) tra x e x, otteniao la soluzione generale dell Eq.(8) e la velocità è x(t) = + A cos(ωt) + B sin(ωt) ω = k (17) v(t) = dx dt = Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt) ω = Le costanti A e B si deterinano iponendo le condizioni iniziali (9) x(t = 0) = + A cos(ω 0s) + B sin(ω 0s) = k (18) v(t = 0) = Aω sin(ω 0s) + Bω cos(ω 0s) = v 0 (19) da cui A = 0 Bω = v 0 B = v 0 ω (20) Sostituendo i valori di A e B ottenuti nella soluzione generale (18) otteniao x(t) = + v 0 ω sin(ωt) ω = k (21) e la velocità è v(t) = dx dt = v 0 cos(ωt) (22)

4 4 2. Calcoliao l energia cinetica K = 1 2 v2 = [uso (22)] = 1 2 v2 0 cos 2 (ωt) (23) ossia K(t) = 1 2 v2 0 cos 2 (ωt) (24) che ha un andaento oscillatorio. 3. Calcoliao l energia potenziale. L energia potenziale elastica è E p = 1 2 k(x(t) ) 2 = [uso (21)] = 1 2 k v2 0 ω 2 sin2 (ωt) = [uso (13)] = 1 2 v2 0 sin 2 (ωt) (25) Anche E p ha un andaento oscillatorio, sfasato rispetto a quello dell energia cinetica K. E p (t) = 1 2 v2 0 sin 2 (ωt) (26) 4. Calcoliao ora l energia eccanica E = K(t) + E p (t) = = 1 2 v2 0 cos 2 (ωt) v2 0 sin 2 (ωt) = = 1 2 v2 0 (27) Dunque, entre l energia cinetica e l energia potenziale dipendono dal tepo, l energia eccanica è indipendente dal tepo, ossia si conserva, coe ostrato in Fig.1 E si conserva (28) E è costante nel tepo (29) E = 0 (la variazione di E è nulla) (30) 5. Denotiao ora con t A l istante in cui il punto ateriale raggiunge il punto A di assio allungaento della olla a destra e indichiao con x ax tale allungaento assio. Allora per definizione x(t A ) = x ax

5 5 E E p K π ω t Figure 1: Andaento nel tepo dell energia cinetica K, energia potenziale elastica E p, e dell energia eccanica. Mentre K e E p variano nel tepo [vedi Eq.(24) e (26)], la loro soa E riane costante, e pari all energia iniziale (in questo caso 1 2 v2 0). In corrispondenza dell allungaento assio il corpo si trova alla coordinata x(t A ) = + x ax. Dato che l energia eccanica si conserva possiao scrivere che Osserviao ora che all istante t = 0 l energia cinetica vale E (t = 0) = E (t A ) K(t = 0) + E p (t = 0) = K(t A ) + E p (t A ) (31) K(t = 0) = 1 2 v2 0 (32) all istante t = 0 l energia potenziale elastica è nulla perché il corpo si trova esattaente alla lunghezza di riposo della olla (la olla non è allungata né copressa) E p (t = 0) = 1 2 k (x(t = 0) ) 2 = 0 J (33) all istante t = t A di assio allungaento l energia cinetica si annulla, dato che il punto di assio allungaento è caratterizzato proprio dal fatto che la velocitè a si annulla (la direzione del oto si inverte) E p (t A ) = 0 J (34) all istante t = t A di assio allungaento l energia potenziale elastica vale Sostituendo (32), (33), (34) e (35) in (31) otteniao E p (t A ) = 1 2 k ( x ax) 2 (35) 1 2 v2 0 = 1 2 k ( x ax) 2 (36)

6 6 da cui otteniao che l allungaento assio è deterinato da ( x ax ) 2 = k v2 0 (37) Dato che si tratta di un allungaento, x ax è positivo ( x ax > 0); se fosse una copressione sarebbe x ax < 0. Pertanto scegliao la radice positiva. Ricordando inoltre (13) otteniao x ax = k v 0 (38) Sostituendo i valori nuerici si ottiene x ax A x B B x B x ax = = = k v 0 = 1.5 Kg 0.2 s 2 N uso N = Kg /s Kg 0.2 Kg s = s 2 = 0.75 s s = La coordinata del punto di assio allungaento vale dunque = 0.17 (39) x A = + x ax = = + k v 0 = = = = 0.67 (40) 6. Denotiao ora con t B l istante in cui il punto ateriale raggiunge il punto B (a sinistra della posizione della lunghezza a riposo) che corrisponde ad una variazione x B = x ax /2 (negativa = copressione). Dato che l energia eccanica si conserva possiao scrivere che E (t = 0) = E (t B ) K(t = 0) + E p (t = 0) = K(t B ) + E p (t B ) (41) I valori di K(t = 0) e E p (t = 0) sono stati deterinati in (32) e (33), entre all istante t = 0 l energia cinetica vale dove v B è la velocità al punto B (da daterinarsi) K(t B ) = 1 2 v2 B (42)

7 7 all istante t = t B l energia potenziale elastica vale E p (t B ) = 1 2 k ( x B) 2 = = 1 ( 2 k x ) 2 ax = 2 [uso ora la (38)] = 1 2 k 4k v2 0 = Sostituendo (32), (33), (42) e (43) in (41) otteniao = 1 8 v2 0 (43) 1 2 v2 0 = 1 2 v2 B v2 0 (44) Seplificando per /2 otteniao v 2 B = 3 4 v2 0 (45) In conclusione 3 v B = ± 2 v 0 (46) dove il segno - si riferisce a quando il corpo viaggia verso sinistra, ed il segno + a quando il corpo sta ritornando verso la posizione di riposo della olla.