L = F s cosα = r F r s

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1 LVORO Se su un copo agisce una foza F, il lavoo compiuto dalla foza pe uno spostamento s è (podotto scalae di due vettoi): L = F s cosα = F s F α s LVORO L unità di misua del lavoo nel S.I. si chiama Joule: lavoo compiuto dalla foza di N che si sposta di m paallelamente alla diezione della foza. J = N m = kg m s

2 In geneale se la foza non è costante e/o la taiettoia non è ettilinea: dividiamo lo spostamento in tanti piccoli tatti di modulo s i abbastanza piccoli da pote essee consideati ettilinei e da pote itenee che la foza sia costante in ciascuno di essi. s i α ι s n α n F i F n s α F L = L i = L = F i s i F i s i cosα i 3 Rappesentazione gafica del lavoo Esempio: il moto avviene su una etta (asse ), la foza è paallela all asse e il suo modulo dipende dalla posizione. F() F 0 F F i L i 0 i L i = F i i L = i F i i L = lim F i i = lim F i i i 0 i 0 In un diagamma [F(), ] il lavoo, limite della sommatoia pe i 0, è appesentato dall aea della supeficie sotta la cuva. 4

3 Che effetto ha il lavoo? L = F s = F t s t = q v m = ( mv mv ) ( v + v ) = mv = mv m ( v v ) ( v + v ) = m( v v ) = Dove: mv = T è l enegia cinetica. T = L In geneale T fin T in = T = L = F i s i N..: ( a + b ) ( a b ) = a a a b + b a b b = a b 5 ENERGI CINETIC Il lavoo compiuto dalle foze agenti su un copo pe potae la sua velocità da v a v è pai alla vaiazione di enegia cinetica. L = mv mv = T T T = mv Enegia cinetica L enegia cinetica appesenta la potenzialità che un copo possiede a compiee lavoo in vitù della sua velocità. 6 3

4 Dunque a causa dell inteazione la paticella scambia enegia con l ambiente esteno: L = F s = F s cosα L = T Se α < 90 L>0 T > T F α s Se α > 90 L<0 T < T F α s Se α = 90 L=0 T = T F α s 7 POTENZ Velocità con cui una paticella scambia enegia con gli oggetti con i quali inteagisce. Se t è sufficientemente piccolo da pote itenee costante la foza e ettilineo lo spostamento: W = T t = L t = F s t = F v m dimensioni: M [ L T ] 3 unità di misua: W (watt) = J/s 8 4

5 CMPO SCLRE CONCETTO DI CMPO Regione di spazio in cui ad ogni punto è associato il valoe di una gandezza scalae. Supeficie di livello : luogo dei punti in cui il valoe della gandezza scalae è costante. CMPO VETTORILE Regione di spazio in cui ad ogni punto è associata una gandezza vettoiale. Linea di campo: 3 9 Convenzione di Faaday Consideiamo una piccola supeficie piana; il vettoe sia costante in ogni suo punto e pependicolae alla supeficie. S Tacciamo un numeo di linee di campo pai a: N = k S S = S S < S N = N > S S La convenzione di Faaday pemette una visione immediata dell andamento del campo. 0 5

6 l i CIRCUITZIONE α ι i Consideiamo nel campo vettoiale una linea ideale chiusa. La dividiamo in tanti piccoli tatti di modulo l i abbastanza piccoli da pote essee consideati ettilinei e da pote itenee che il vettoe del campo sia costante in ciascuno di essi. C l ( ) = i l i cosα i = i i l i Se il campo vettoiale è un campo di foze, la cicuitazione della foza calcola il lavoo su taiettoia chiusa. CMPO DI FORZE Inteazione ta due paticelle Una paticella modifica le popietà dello spazio cicostante. Inteazione campo - paticella Un alta paticella omogenea con la pima sente l esistenza della petubazione, che si popaga con velocità finita. F el -q +Q E 6

7 CMPO DI FORZE CONSERVTIVE n L = F i l i In un campo di foze consevative il lavoo non dipende dalla taiettoia ma solo dal punto iniziale e dal punto finale. L = L Se calcoliamo il lavoo su taiettoia chiusa, sul pecoso, otteniamo la cicuitazione della foza consevativa. 3 F i α i l i Calcoliamo la cicuitazione della foza consevativa: C l ( F ) = l i = L = L + L ma i F i L = -L C l ( F ) = L L = 0 La cicuitazione di una foza consevativa è nulla 4 7

8 L = L? F i l i α i Pecoso L i = F i l i = F i l i cosα i β i F i Pecoso L i = F i l i = Fi l i cosβ i = l i = F i l i cosα i = L i infatti: β i = π - α i Lungo il pecoso tutti i lavoi i-esimi sono opposti ai coispondenti del pecoso. 5 Campo di foze consevative - Enegia potenziale L = L C l ( F ) = F i l i = 0 U()= L O U()=L O C U(C)=L CO Scelto un punto O come ifeimento, il lavoo fatto dalle foze del campo pe potae una paticella da un punto al ifeimento dipende solo dal punto iniziale. ssociamo a ciascun punto il valoe della enegia potenziale della paticella, misuata dal lavoo L PO. if. O U(P) =L PO P D U(D)=L DO bbiamo così definito un campo scalae con coispondenza biunivoca ta i punti del campo e i valoi dell enegia potenziale. 6 8

9 Il ifeimento è abitaio, ma... Calcoliamo il lavoo fatto delle foze del campo pe potae una paticella da a ; scegliamo un pecoso che passa pe il ifeimento O: O L = L O + L O L = L O L O = U ( ) U ( ) = U L = - U non dipende dal ifeimento scelto Cambiando il ifeimento tutte le enegie potenziali cambiano di un addendo L OO, ma le diffeenze non cambiano. 7 CONSERVZIONE DELL ENERGI Paticella in moto in campo consevativo T = L L = U valida pe qualunque foza valida pe foze consevative T = U T + U = 0 ( T +U ) = 0 T +U = cost E = T +U = cost L enegia meccanica totale, somma dell enegia cinetica e dell enegia potenziale, si conseva quando una paticella si muove in un campo di foze consevative. 8 9

10 y h h i h mg β C I m La foza peso è consevativa g βi Pecoso I: L C = L C + L C L C = mg( h h ) L C = mg C = 0 L C = L I = mg( h h ) II L = mg = mg cosβ = mg(h - h ) III L = mg l i = mg l i cosβ i = II l i III = mg l i cosβ = mg h i i = mg( h h ) Il lavoo della foza peso non dipende dalla taiettoia, quindi la foza peso è consevativa. 9 In possimità della supeficie teeste: scelto il ifeimento h = 0, l enegia potenziale gavitazionale è: U = mgh L enegia meccanica totale di una paticella ( in assenza di foze di attito) si conseva: E = m v + m gh = cost 0 0

11 La foza di attito non è consevativa L = -K d mgs S F d F d L = -K d mgs L = C l ( F d ) = L + L = K d mgs Se sono pesenti anche foze non consevative: T = L = L cons + L noncons T = U + L noncons ( T +U ) = L noncons E = L noncons Esempio: moto con attito in campo gavitazionale: π v F D s E = L D = F D s = F D s cosπ = F D s T = U F D s E = F D s

12 Enegia potenziale elastica F el F el = K l P 0 O i L PO = F i i i = F i i = K i i F Q L PO = lim K i O i P K Enegia potenziale elastica 0 K i i Rifeimento in O, punto di equilibio (lunghezza a iposo della molla). U = K = K 3 U ( P ) = K = lim - 0 L = F U F F O Enegia potenziale elastica 0 E tot L = U T U 0 K i i T ma = mv ma E tot = K 0 = U ma E t = K + mv = K 0 = U ma La velocità massima è aggiunta in O (lunghezza della molla pai alla lunghezza a iposo, foza elastica nulla): = E t = U ma = K 0 Pe foze paallele allo spostamento e piccoli si ha: F = U La foza è di ichiamo. 4

13 La paticella si muove lungo l asse, sotto l azione di una foza F ( ) paallela all asse (o antipaallela) aiee di potenziale U C F F F 3 M M C L = F = U F = U E T i F = U i E = T +U T > 0 E U > 0 U E La foza in un punto è l opposto della pendenza della cuva U(). In M l enegia potenziale è minima e la paticella è in equilibio stabile. U In M: F = U = 0 5 3