gino copelli lezioni di scienza della rappresentazione appunti 2012

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1 gino copelli lezioni di scienza della rappresentazione appunti 2012 Simbologia Il punto, la linea e la superficie sono enti geometrici fondamentali. I punti si indicano con lettere maiuscole dell alfabeto latino (A). Le linee si indicano con lettere minuscole dell alfabeto latino (a). Le superfici e i piani sono indicate da lettere minuscole dell alfabeto greco ( ). Anche gli angoli si indicano con lettere dell alfabeto greco. L apice di una lettera indica la proiezione dell oggetto sul piano di proiezione corrispondente (A ). L asterisco all apice di una lettera ne indica invece il ribaltamento sul piano di lavoro (A*). Utilizziamo un tratto più spesso per tracciare le linee di contorno dell oggetto, più sottile per le linee di richiamo. Proiezioni parallele ortogonali La scienza della rappresentazione insegna l arte di modellare e rappresentare le forme dello spazio. Per eseguire un rilievo, cioè la trasformazione di un oggetto reale in un modello (grafico, informatico o plastico), o al contrario per eseguire il progetto di un oggetto è necessario generarne delle viste, proiettarne cioè delle immagini sul piano. Il modello grafico è la rappresentazione del modello geometrico dell oggetto, che a sua volta è la sintesi in forme geometriche elementari dell oggetto, sottoposta a una adeguata riduzione di scala per adeguarne le dimensioni a quelle del supporto su cui verrà realizzata. L operazione di proiezione consiste nell investire l oggetto con un fascio di rette dette raggi proiettanti e sezionarle con un piano, il quadro o piano di proiezione. In una proiezione parallela i raggi proiettanti sono tra loro paralleli e la loro sorgente è la direzione che hanno in comune. Nel caso di una proiezione parallela ortogonale, la direzione delle rette proiettanti è perpendicolare al piano di proiezione. tav.1 tav.2 tav.3 1

2 Tav.1. L immagine, proiezione o vista P di un punto P proiettata sul piano di proiezione corrisponde all intersezione del piano con la retta proiettante r cui appartiene il punto P. La retta è generata dalla direzione indicata dalla freccia. Tav.2. L immagine di una retta sul piano di proiezione è definita dal punto T, intersezione della retta col piano, e dal punto P, proiezione ortogonale di uno qualunque dei suoi punti P. Le intersezioni delle rette o dei piani col piano di proiezione si dicono tracce. Tav.3. Per poter stabilire la posizione nello spazio del punto P è necessario generarne almeno due viste. La vista sul piano orizzontale ( ) è la pianta, quelle sui piani verticali (, ) sono gli alzati: prospetto e profilo. La pianta è anche detta prima proiezione, il prospetto seconda proiezione e così via. La sezione è la proiezione su un piano che interseca l oggetto. La quota è la distanza del punto P dal piano orizzontale, l aggetto la sua distanza dal piano verticale. L intersezione tra piano orizzontale e piano verticale si definisce linea di terra, che di conseguenza è la traccia sul piano verticale del piano orizzontale e viceversa. Una retta o un piano si dicono proiettanti quando la loro immagine sul piano di proiezione corrisponde alla loro traccia. Possiamo dire in altro modo che ogni punto sul piano di proiezione è la rappresentazione di una retta, la retta proiettante, come ogni retta è la rappresentazione di un piano, il piano proiettante. Un piano verticale è proiettante in prima proiezione; un piano frontale è un piano verticale con la stessa giacitura, quindi parallelo, al piano di proiezione verticale. Tutte le rette che appartengono a questo piano sono rette frontali. Un piano perpendicolare al piano di proiezione verticale è proiettante in seconda proiezione; quando ha la stessa giacitura del primo piano di proiezione è un piano orizzontale. Tutte le rette di questo piano sono rette orizzontali. Un piano proiettante su entrambi i piani di proiezione è un piano di profilo. Una retta verticale è proiettante in un punto in prima proiezione. Una retta perpendicolare al secondo piano di proiezione è proiettante in un punto sul secondo piano di proiezione. tav.4 tav.5 2

3 Tav.4-5. La proiezione delle viste dell oggetto sui piani cartesiani di riferimento (tav. 4) si risolve graficamente ponendo i piani di proiezione su un unica superficie, il piano di lavoro, e unendo tra loro i punti corrispondenti per mezzo di linee di richiamo (tav. 5). Ribaltamento di un piano Tav.6-7. Il modello dell oggetto è costituito dalle sue proiezioni ortogonali. La tavola di sinistra ne suggerisce prospetticamente lo sviluppo spaziale mentre quella di destra ne descrive le proiezioni ortogonali secondo lo schema grafico indicato nella tav.5. Conosciamo la pianta e l alzato del triangolo ABC ma, dal momento che il piano su cui giace non è orientato orizzontalmente o frontalmente rispetto ai piani di proiezione, non ne afferriamo la vera forma. Per ottenere la vera forma dell oggetto è necessario ruotare il piano cui appartiene fino a farlo coincidere con il piano di lavoro. tav. 6 tav.7 Tav.8-9. Il piano individuato dai punti A, B e C non ha la stessa giacitura del piano : i due piani quindi sono incidenti in una retta (tav. 8). Per individuarla traccio in (tav. 9) le rette A C e B C fino a raggiungere la linea di terra rispettivamente in E ed F. In prima proiezione traccio le rette corrispondenti (A C e B C ) e poi individuo su queste i punti E ed F grazie alle linee di richiamo. La retta E F appartiene a entrambi i piani: è la retta che stavamo cercando, l asse intorno alla quale avverrà la rotazione del piano e che costituisce perciò la cerniera del ribaltamento. 3

4 tav.8 tav.9 Tav Disegno ora in (tav. 11) una retta perpendicolare a E F passante per uno dei punti dell oggetto (per esempio C): si tratta dell immagine sul piano orizzontale del piano della sezione retta (tav. 10). Il piano della sezione retta del piano è un piano ( ) perpendicolare alla cerniera E F. Durante la rotazione del piano intorno a E F tutti i punti di tracciano degli archi di circonferenza perpendicolari alla cerniera; il piano descrive il movimento di rotazione della retta CH (tav. 10). Tav Il segmento CH che permette di descrivere la rotazione del punto C è l ipotenusa del triangolo rettangolo CC H che giace sul piano (tav. 12). Per conoscerne la misura ribaltiamo sul piano orizzontale il piano : tracciamo da C in tav. 13 la perpendicolare alla retta C H e su questa stacchiamo un segmento di misura h, equivalente alla quota di C in seconda proiezione. Il punto così ottenuto è il punto C** (C doppio stellato). Il segmento C**H dunque non è altro che la rappresentazione sul piano orizzontale del segmento CH di tav. 12, che a sua volta è il raggio dell arco di circonferenza che il punto C compie intorno alla cerniera durante la rotazione. In tav. 13 puntiamo il compasso in H e riportiamo C** sulla retta C H ottenendo il punto C* (C stellato), ribaltamento del punto C. 4

5 tav.10 tav.11 tav.12 tav.13 5

6 Tav Le rette C E e C F ribaltate sul piano orizzontale diventano le rette C*E e C*F (tav. 15). Traccio ora per A e B le parallele a C C* (cioè le proiezioni in pianta dei piani della sezione retta e sui quali avviene la rotazione dei punti A e B) (tav. 14). L intersezione della retta C*E con la retta A K (tav. 15) indica il punto A ribaltato (A*); l intersezione di C*F con B L indica il punto B*. La figura A*B*C* corrisponde alla vera forma del triangolo ABC. tav.14 tav.15 Tav.16. La rotazione di queste superfici rappresenta evidentemente un caso particolare del ribaltamento descritto nelle tavole precedenti. Entrambe le figure poggiano sul piano orizzontale e quindi ruotano intorno a uno dei propri lati. La figura EFGH inoltre è orientata su un piano verticale e di conseguenza le dimensioni della vera forma corrispondono a quelle indicate nelle proiezioni. 6

7 tav.16 Riassumendo, per ottenere il ribaltamento di un piano: 1) ricavare almeno due punti in comune al piano di proiezione orizzontale e al piano di cui si vuole ottenere la rotazione e individuare la cerniera del ribaltamento; 2) tracciare da uno qualunque dei punti della figura la perpendicolare alla cerniera (il piano della sezione retta - psr); 3) dal punto prescelto tracciare su questa retta un segmento perpendicolare di misura pari alla quota del punto stesso; 4) unire l estremità di questo segmento all intersezione della retta (psr) con la cerniera ottenendo l ipotenusa di un triangolo rettangolo; 5) tracciare un arco di circonferenza il cui centro è l intersezione della retta (psr) con la cerniera e il raggio è l ipotenusa del triangolo: l intersezione della circonferenza con la retta (psr) descrive la posizione ribaltata del punto prescelto. Prospettiva centrale o conica Tav.17. Nel caso di una rappresentazione prospettica l oggetto (P) è investito da un fascio conico di raggi proiettanti la cui sorgente è un punto chiamato centro di proiezione (O). La retta OP attraversa il piano di proiezione in un punto P che è la proiezione del punto P sul quadro. Tav.18. La proiezione sul quadro di una retta r è una retta individuata da due punti: uno è dato dall intersezione della retta col piano, il punto T chiamato traccia della retta r; l altro è l intersezione col quadro (F ) della retta s parallela a r e passante per il centro di proiezione O. Il punto F è detto fuga della retta r. Tutte le parallele alla retta s hanno in comune la direzione, rappresentata sul piano dal punto di fuga F. La retta T F è la traccia del piano cui appartengono la retta r e il punto O. tav.19. Le due rette r ed s individuano il piano. Le loro intersezioni sul piano di proiezione definiscono la retta T rt s, traccia del piano. Le parallele per O definiscono a loro volta un piano che ha la stessa giacitura del piano e la cui traccia sul piano di 7

8 proiezione, indicata dall intersezione delle due rette col piano F r ed F s, corrisponde alla fuga del piano e di tutti i piani con la stessa giacitura. Nel caso particolare di piani orizzontali è detta orizzonte la traccia del piano su cui giace il centro di proiezione, chiamato piano dell orizzonte. L orizzonte è la linea di fuga di tutti i piani orizzontali. Il piano geometrale è il piano orizzontale la cui traccia corrisponde alla linea di terra. La traccia della retta perpendicolare al piano originata dal centro di proiezione è chiamata punto principale (O ). tav.17 tav.18 tav.19 Costruzione di un immagine prospettica sul quadro. tav.20. Definiamo innanzitutto il cosiddetto orientamento interno della costruzione prospettica stabilendo la posizione del centro di proiezione rispetto al quadro e le dimensioni dell inquadratura. Per visualizzare sul piano di lavoro la distanza d che separa il centro di proiezione (O) dal quadro ruotiamo il piano dell orizzonte usando la linea dell orizzonte come cerniera: otterremo in questo modo il punto O*, ribaltamento di O. Vogliamo realizzare un modello prospettico frontale di un cubo i cui lati hanno una misura a. Disegniamo sul piano orizzontale una linea parallela al quadro e su questa il punto A. Tracciamo poi per A il segmento O M ; La retta O M ha in comune con la retta OO il punto di fuga, il punto principale O, e come questa è dunque perpendicolare al quadro. La linea di terra appartiene al quadro; poiché è sul quadro che le misure dell oggetto rappresentato vanno calcolate, su di essa misuriamo da M il segmento a ottenendo così il punto N. Tracciamo la retta O N che sappiamo parallela a O M poiché condivide con questa il punto di fuga: le rette O M e O N, intersecando rette tra loro parallele, formano segmenti di misura uguale (a). 8

9 Tav.21. Il cerchio di centro O e raggio d è detto cerchio di distanza. Le intersezioni D con la linea dell orizzonte si chiamano punti di distanza. Uniamo con una retta il punto D e O* ottenendo il triangolo rettangolo isoscele O O*D (si tratta sempre, è bene ricordarlo, della rappresentazione sul piano di lavoro di una figura che si trova nello spazio su un piano, il piano dell orizzonte, perpendicolare al quadro). Le rette D I e D L hanno lo stesso orientamento nello spazio della retta OD (di cui O*D è l immagine ribaltata) poiché hanno la stessa fuga; questo significa che intersecando sul piano orizzontale rette parallele e rette perpendicolari al quadro formeranno anche loro dei triangoli rettangoli isoscele. E il caso dei triangoli B N I e C N L : i segmenti I L e B C sono dunque uguali tra loro. Tav.22. Le rette tracciate sul piano geometrale sono anche le proiezioni sul piano orizzontale di piani verticali e tutte le rette di quei piani verticali, che hanno in comune il punto di fuga, sono tra loro parallele. Disegno quindi sul quadro la traccia del piano verticale corrispondente e sulla retta che ne risulta indico la misura a. tav.20 tav.21 tav.22 9

10 Tav.23. Vogliamo ora costruire dello stesso soggetto una vista prospettica per angolo. Tracciamo sul piano orizzontale una retta r non parallela né ortogonale al quadro e su questa isoliamo il punto A. T r è la traccia della retta sul quadro, F r la fuga sull orizzonte. Tav.24. Sul piano dell orizzonte ribaltato uniamo il ribaltamento del centro di proiezione O* con il punto di fuga F ottenendo la retta r*. Sappiamo che la rappresentazione di una retta è definita dalla sua traccia e dalla fuga della parallela per il centro di proiezione (tav. 18). Le rette r e r* hanno quindi la stessa direzione. Poiché gli spigoli del cubo sono tra loro ortogonali traccio per O* la perpendicolare a r* fino a individuare sulla linea dell orizzonte il punto F s, fuga delle rette ortogonali a r : le rette r ed s mi permetteranno ora di costruire la figura richiesta. Tav. 25. Traccio un arco di cerchio di centro F r e di raggio F ro* che interseca l orizzonte in M r. Il triangolo F ro*m r è un triangolo isoscele. Le rette N M r e P M r sono la rappresentazione prospettica di rette tra loro parallele che hanno la stessa direzione della retta rappresenta da O*M r; intersecando la linea di terra, parallela all orizzonte, e la r, parallela a r*, formeranno a loro volta dei triangoli isoscele (T ra N e T rb P ). Di conseguenza tutte le rette che fuggono al punto M r staccheranno sulla linea di terra e sulla retta r segmenti tra loro uguali. Il punto M r è detto punto di misura della retta r. Tav.26. Con analogo procedimento trovo il punto di misura della retta s (M s) e per mezzo di questo traccio sulla s il segmento a. Completo la figura alzando gli spigoli verticali e disegnando gli spigoli rimanenti sulle rette parallele a r ed s. tav.23 tav.24 10

11 tav.25 tav.26 11