Note del Corso Di Disegno Tecnico Industriale. Appunti di Geometria Descrittiva

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1 Note del Corso Di Disegno Tecnico Industriale A.A Docenti: Prof. G. Monno, Prof. A.Uva Appunti di Geometria Descrittiva (tratta da C. Bonfigli C. R. Braggio, GEOMETRIA DESCRITTIVA E PROSPETTIVA) I. INTRODUZIONE Lo scopo della Geometria descrittiva (G.D.) è quello di rappresentare sopra un piano (foglio da disegno, lavagna) qualunque oggetto dello spazio, in modo che da tale rappresentazione sia sempre possibile ricavare gli elementi geometrici che lo costituiscono. Fra i metodi di rappresentazione esistenti, verrà sviluppato quello di Monge o delle doppie proiezioni ortogonali perché, è in assoluto il più diffuso. Nel metodo delle proiezioni ortogonali il sistema di riferimento spaziale è costituito da due piani fra loro ortogonali, uno orizzontale e l altro verticale, che prendono il nome di piani principali o quadri, sui quali si proiettano ortogonalmente i punti dell oggetto da rappresentare: ogni punto P ha dunque due rappresentazioni P e P sui quadri e, viceversa, note queste, è possibile trovare la posizione spaziale di P nell incontro delle due normali ai quadri condotte per P e P. Per poter, però, eseguire il disegno sopra uno stesso piano (foglio da disegno) si conviene di far ruotare, in un certo senso, il quadro verticale, intorno alla retta di intersezione di questo con il quadro orizzontale detta linea di terra (L.T.), fino a sovrapporlo a quello orizzontale. II. GENERALITÀ. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO 1. RAPPRESENTAZIONE SPAZIALE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO La fig. 1 illustra la rappresentazione spaziale del sistema di riferimento costituito, come si è detto, da due piani principali o piani di proiezione. o quadri, l uno π 1 orizzontale, o I quadro (I q.) e l altro π 2 verticale, o II quadro (II q.) che sono, di conseguenza, reciprocamente perpendicolari e si intersecano secondo una retta detta linea di terra (L.T.). Questa divide ciascun piano in due semipiani: il piano orizzontale viene diviso nel semi piano orizzontale anteriore (S.O.A.) e in semi piano orizzontale posteriore (S.O.P.); il piano verticale viene diviso nel semipiano verticale superiore (S.V.S.) e nel semi piano verticale inferiore (S.V.I.). I quadri dividono lo spazio in quattro diedri o regioni: il primo diedro (I D) è limitato dal S.O.A. e dal S.V.S., il secondo diedro (II D) dal S.V. S. e dal S.O. P., il terzo diedro (III D) dal S.O.P. e dal S.V.I., il quarto diedro (IV D) dal S.V.I. e dal S.O.A. 2. RAPPRESENTAZIONE CONVENZIONALE La fig. 2 illustra la rappresentazione convenzionale di Monge sul piano del disegno. Come si è detto nella Introduzione, per rappresentare il I e il II quadro sopra l unico piano del disegno, si conviene di far ruotare il II q. intorno alla L.T. in modo che esso vada a sovrapporsi al I q. e precisamente in modo che il S.V.S., ruotando di un angolo retto, vada a coincidere col S.O.P. e, di conseguenza, il S.V.I. vada sul S.O.A. In alto, a destra, è disegnata la rappresentazione di profilo dei quadri, ossia la sezione ottenuta tagliando i quadri con un piano normale ad entrambi, detto piano di profilo, del quale si parlerà al Cap. V. È importante notare che, per convenzione, si usa eseguire la rappresentazione sul piano del disegno in modo che il S.V.S., coincidente col S.O.P., sia al disopra della L.T. e il S.O.A., coincidente col S.V.I., sia al disotto della L.T. (fig. 2). Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 1/27

2 Fig. 1 e 2: Rappresentazione spaziale del sistema di riferimento 3. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO Secondo quanto detto in precedenza, un punto P dello spazio viene proiettato ortogonalmente in P sul primo quadro π 1 e in P sul secondo quadro π 2. I punti P, P, P giacciono sopra un piano di profilo, normale ai quadri, e nella rotazione di π 2 intorno alla L.T. si verifica evidentemente la condizione seguente: Le proiezioni P e P di un punto P giacciono sopra una medesima perpendicolare alla linea di terra. Esaminando la situazione di un punto P nei diversi diedri si trovano le sue proiezioni P, P nei seguenti semipiani: a) punto P nel I diedro (fig. a): P sul S.O.A., P sul S.V.S., perciò nella rappresentazione convenzionale: P al disotto della L.T. e P al disopra della L.T. (fig. a); b) punto P nel Il diedro (fig. b): P sul S.O.P., P sul S.V.S.; perciò P e P al disopra della L.T. (fig. b); c) punto P nel III diedro (fig. c): P sul S.O.P., P sul S.V.I.; perciò P al disopra della L.T. e P al disotto della L.T. (fig. c); d) punto P nel IV diedro (fig. d): P sul S.O.A., P sul S.V.I.; perciò P e P al disotto della L.T. (fig. d). Fig. 3: Rappresentazione del punto Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 2/27

3 4. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO POSTO SOPRA UN QUADRO Si hanno i seguenti casi (fig. 4): a) punto P sul S.O.A. (fig. a): P ==P. al disotto della L.T., P sulla L.T. (fig. a1); b) punto P sul S.V.S. (fig. b): P sulla L.T., P == P. al disopra della L.T. (fig. b1); c) punto P sul S.O.P. (fig. c): P == P. al disopra della L.T., P sulla L.T. (fig. c1); d) punto P sul S.V.I. (fig. d): P sulla L.T.. P == P al disotto della L.T. (fig. d1). Fig 4. Rappresentazione del punto posto sopra un quadro 5. RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO POSTO SOPRA UNO DEI PIANI BISETTORI Chiamasi piano bisettore un piano passante per la L.T. e formante angoli di 45 con i quadri; un punto P appartenente ad uno dei piani bisettori è evidentemente equidistante dai quadri e pertanto. nella rappresentazione convenzionale, le proiezioni del punto sono equidistanti dalla L.T. se questo è nel I o nel III diedro, sono coincidenti se esso è nel Il o nel IV diedro (fig. 5): a) punto P sul semipiano bisettore del I diedro (fig. a): P si trova sul S.O.A., P sul S.V.S.; perciò P al disotto e P al disopra della L.T. (fig. a1); b) punto P sul semipiano bisettore del Il diedro (fig. b): P si trova sul S.O.P., P sul S.V.S.; perciò P == P al disopra della L.T. (fig. b1); c) punto P sul semi piano bisettore del III diedro (fig. c): P si trova sul S.O.P., P sul S.V.I.; perciò P al disopra e P al disotto della L.T. (fig. c1); d) punto P sul semipiano bisettore del IV diedro (fig. d): P si trova sul S.O.A.,. P sul S.V.I.; perciò P == P, al disotto della L.T. (fig. d1). Fig. 5: Rappresentazione del punto posto sopra uno dei piani bisettori Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 3/27

4 III. RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA Una retta r, potendosi pensare costituita da una successione di punti allineati, per quanto detto al n. 3, si rappresenta mediante le sue proiezioni, r sul I quadro e r sul Il quadro, che sono infatti le proiezioni dei punti che la costituiscono (in particolare bastano le proiezioni di due soli punti della retta per individuare le due proiezioni della retta) (fig. 8). Le proiezioni r e r si possono anche pensare rispettivamente ottenute come intersezioni, col I e col Il quadro, dei piani proiettanti la retta r sopra i quadri stessi, ossia dei piani contenenti la retta e normali a ciascun quadro (il piano proiettante la r sul I q. è quello passante per T 1 T 2 T 2, il piano proiettante r sul Il q. è quello passante per T 1 T 2 T 1 ). I punti T 1 e T 2 in cui la retta fora rispettivamente il I e il Il quadro si chiamano: la prima e la seconda traccia della retta. Nella rappresentazione convenzionale la prima proiezione T 1 di T 1 coincide con T 1 stesso, mentre la seconda proiezione T 1 di questa si trova evidentemente sulla L.T. ed è il piede della normale a questa condotta da T 1. Analogamente la prima proiezione T 2 di T 2 si trova sul piede della normale alla L.T. condotta da T 2 e la seconda proiezione coincide con T 2. Da quanto precede si possono ricavare le seguenti regole per la rappresentazione convenzionale: a) note le tracce T 1 e T 2 si ottengono le proiezioni r e r congiungendo rispettivamente T 1 con il piede T 2 della normale condotta da T 2 alla L.T. e T 2 con il piede T 1 della normale condotta da T 1 alla L.T.; b) note le proiezioni r e r si ottengono le tracce T 1 e T 2 rispettivamente nei punti d incontro della corrispondente proiezione con la normale alla L.T. per il punto in cui l altra proiezione incontra la L.T. Osservazione. Si noti che r e r, di solito limitate fra la L.T. e i punti T 1 e T 2 per maggior chiarezza del disegno, si debbono sempre ritenere illimitate. 8. RETTA IL CUI SEGMENTO T 1 T 2 È NEL I DIEDRO La retta interseca il S.O.A. e il S.V.S. Per le regole precedenti la prima traccia T 1 e la prima proiezione r sono al disotto della L.T. mentre la seconda traccia T 2 e la seconda proiezione r sono al disopra della L.T. Fig. 8: Rappresentazione della retta, I diedro 9. RETTA IL CUI SEGMENTO T 1 T 2 È NEL II DIEDRO La retta interseca il S.O.P. e il S.V.S. Per le regole precedenti: T 1 e T 2 nonché r ed r sono al disopra della L.T. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 4/27

5 Fig. 9: Rappresentazione della retta, II diedro 10. RETTA IL CUI SEGMENTO T 1 T 2 È NEL III DIEDRO La retta interseca il S.O.P. e il S.V.I. Per le regole precedenti: T 1 ed r sono al disopra della L.T. e T 2 ed r al disotto di questa. Fig. 10: Rappresentazione della retta, III diedro 11. RETTA IL CUI SEGMENTO T 1 T 2 È NEL IV DIEDRO La retta interseca il S.O.A. e il S.V.I. Per le regole precedenti: T 1 e T 2 nonché r ed r si trovano al disotto della L.T. Fig. 11: Rappresentazione della retta, IV diedro 12. RETTA r PARALLELA A π 1 E COMUNQUE INCLINATA A π 2 (RETTA ORIZZONTALE) La retta r, essendo parallela a π 1 ha la prima traccia T 1 all infinito mentre la seconda traccia T 2 è entro i limiti del disegno. Nella rappresentazione convenzionale r risulta parallela alla L.T. 13. RETTA r APPARTENENTE A π 1 E COMUNQUE INCLINATA A π 2 La retta r, giacendo sopra il I quadro, ha la seconda traccia T 2 sulla L.T. e la seconda proiezione r sulla L. T. Fig. 12: Retta r parallela a π 1 e comunque inclinata a π 2 Fig. 13: Retta r appartenente a π 1 e comunque inclinata a π 2 Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 5/27

6 14. RETTA r COMUNQUE INCLINATA A π 1 E PARALLELA A π 2 (RETTA FRONTALE) La retta r, essendo parallela a π 2 ha la seconda traccia all infinito; la prima proiezione r della r è ovviamente parallela alla L.T. 15. RETTA r PASSANTE PER LA L.T. E COMUNQUE DIRETTA La retta r ha, evidentemente, entrambe le tracce T 1 e T 2 coincidenti, sulla L.T.; per lo stesso punto passano anche le proiezioni r e r della retta. Fig. 14: Retta r comunque inclinata a π 1 e parallela a π 2 Fig. 15: retta r passante per la L.T. e comunque diretta 16. RETTA r PARALLELA A π 1 E NORMALE A π 2 La retta r, essendo parallela al I q., ha la prima traccia all infinito; la prima proiezione r risulta normale a L.T. e la seconda si riduce ad un punto, il quale coincide con la seconda traccia T RETTA r PARALLELA AI QUADRI La retta r, essendo parallela ai quadri, ha le tracce all infinito; le proiezioni r e r sono evidentemente parallele alla L.T. Fig. 16: Retta r parallela a π 1 e normale a π 2 Fig. 17: Retta r parallela ai quadri 18. RETTA r GIACENTE SOPRA UN PIANO NORMALE AI QUADRI, NON PASSANTE PER LA L.T. La retta r, giacendo sopra un piano di profilo, ha entrambe le proiezioni r e r normali alla L.T. 19. RETTA r GIACENTE SOPRA UN PIANO NORMALE AI QUADRI E INCIDENTE LA L.T. La retta r, giacendo sopra un piano di profilo, ha entrambe le proiezioni r e r normali alla L.T. e, incontrando la L.T., ha le tracce T 1 e T 2 sopra questa. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 6/27

7 Fig. 18: Retta r giacente sopra un piano normale ai quadri, non passante per la L.T. Fig. 19: Retta r giacente sopra un piano normale ai quadri, incidente la L.T. 20. RETTA r CHE INTERSECA IL S.V.S. E IL S.O.P. Il problema è stato spiegato al n RETTA r CHE INTERSECA IL S.O.A. E IL S.V.I. Il problema è stato spiegato al n. 9. Fig. 20: Retta r che interseca il S.V.S. e il S.O.P. Fig. 21: Retta r che interseca il S.O.A. e il S.V.I. Rette incidenti e rette sghembe. Due rette sono incidenti se hanno un solo punto in comune; esse giacciono sopra uno stesso piano. Due rette sono sghembe se non hanno alcun punto in comune, né al finito, né all infinito; esse non possono essere complanari. Per avere nello spazio l immagine di due rette sghembe si pensino sostenute da due aste (ad es. due matite) poste in modo che non si tocchino e che non siano parallele (infatti due rette parallele non sono sghembe perché si incontrano virtualmente all infinito e sono perciò complanari). Nella rappresentazione convenzionale di due rette incidenti, il loro punto comune avrà le proiezioni sulle proiezioni omonime della retta per cui si possono enunciare le regole (n. 3): a) due rette sono incidenti se le loro proiezioni omonime si incontrano rispettivamente in punti giacenti sopra una stessa perpendicolare alla L.T.; b) due rette sono sghembe se le loro proiezioni omonime non si incontrano sopra una stessa normale alla L.T. 22. RETTE r E f INCIDENTI Per quanto si è detto sopra, la Fig. 22 rappresenta due rette r e f incidenti perché il punto Q di incontro delle prime proiezioni r e f e il punto Q.d incontro delle seconde proiezioni r e f risultano sulla stessa normale alla L.T. (condizione affinché Q e Q rappresentino un punto Q, vedi n. 3). Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 7/27

8 Fig. 22: Rette r e f incidenti 23. RETTE r E f SGHEMBE. Per quanto si è detto sopra, la fig. 23 rappresenta due rette sghembe perché il punto Q d incontro delle prime proiezioni r e f e il punto Q d incontro delle seconde proiezioni r ed f non risultano sulla stessa normale alla L.T. Fig. 23: Rette r e f sghembe IV. RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO Un piano a qualsiasi taglia i quadri π 1 e π 2 secondo due rette α 1 e α 2 che prendono il nome di tracce del piano (che si indicano con la lettera greca che distingue il piano, munita dell indice 1 se si tratta della prima traccia, o dell indice 2 se si tratta della seconda; si ricordi che, invece, le proiezioni dei punti e delle rette sono provviste di apici ). Un piano, in posizione generica rispetto ai quadri, può attraversare tutti e quattro i diedri e tagliare i quadri secondo rette che si incontrano sulla L.T. Si conviene però, al fine di rendere più chiara la rappresentazione, di considerare la sola parte del piano che appartiene al primo diedro in quanto i quadri si possono porre in modo che la parte degli elementi, appartenenti al piano, che interessano la costruzione geometrica, siano appunto nel primo diedro. Con questa convenzione, il piano così limitato viene ad essere rappresentato, invece che da due rette, da due semi rette α 1 e α 2 passanti per lo stesso punto O della L.T. e tali che α 1 è sempre al disotto e α 2 sempre al disopra della L.T. Si noti però che tale limitazione non toglie nulla alla generalità del problema perché, volendo considerare il piano illimitato, come è effettivamente, basterebbe sostituire alle due semirette le due rette che le contengono. 24. PIANO α GENERICO Come si è già detto, il piano a interseca il primo quadro nella prima traccia α 1 e il secondo quadro nella seconda traccia α 2, le quali si incontrano nel punto O della L.T. 25. PIANO α NORMALE AI QUADRI Le tracce α 1 e α 2 sono sulla stessa retta, normale alla L.T. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 8/27

9 Fig. 24: Piano α generico Fig. 25: Piano α normale ai quadri 26. PIANO α NORMALE AL PRIMO QUADRO (PIANO α VERTICALE) La seconda traccia α 2 risulta evidentemente normale alla L.T. Osservazione. Tale piano si dice anche piano proiettante sul primo q. e serve spesso come piano ausiliario per eseguire proiezioni di rette sopra il quadro orizzontale. 27. PIANO α NORMALE AL SECONDO QUADRO La prima traccia α 1 risulta evidentemente normale alla L.T. Osservazione. Tale piano serve da piano ausiliario per proiettare rette sul II q. Fig. 26: Piano α normale al primo quadro Fig. 27: Piano α normale al secondo quadro 28. PIANO α PARALLELO AL PRIMO QUADRO (PIANO α ORIZZONTALE) La prima traccia è all infinito e la seconda traccia α 2 è parallela alla L.T. 29. PIANO α PARALLELO AL SECONDO QUADRO È un caso particolare del n. 26. La prima traccia α 1 è parallela alla L.T., α 2 è all infinito. Fig. 28: Piano α parallelo al primo quadro Fig. 29: Piano α parallelo al secondo quadro Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 9/27

10 30. PIANO α PARALLELO ALLA L.T. MA NON AI QUADRI La prima traccia α 1 e la seconda traccia α 2 risultano parallele alla L.T. 31. PIANO α PASSANTE PER LA L.T. Evidentemente la prima e la seconda traccia coincidono con la L.T. Fig. 30: Piano α parallelo alla L.T. ma non ai quadri Fig. 31: Piano α passante per la L.T. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 10/27

11 V. CONDIZIONI DI APPARTENENZA In questo capitolo vengono studiate le condizioni a cui debbono soddisfare gli elementi della rappresentazione descrittiva, affinché un ente geometrico appartenga ad un altro, ossia, ad esempio, affinché un punto appartenga ad una retta, una retta appartenga ad un piano, un punto appartenga ad un piano. 32. PUNTO P APPARTENENTE AD UNA RETTA r Si ha la seguente regola, che si giustifica pensando la retta come un insieme di punti P le cui proiezioni P e P appartengono alle rispettive proiezioni r e r della retta r: REGOLA: Un punto appartiene ad una retta quando le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni omonime della retta. Nella fig. 32 il punto P appartiene alla retta r, perché la sua prima proiezione P appartiene alla prima proiezione r della retta e nello stesso tempo P giace sopra r. Il punto S, invece, non avendo tali caratteristiche, non appartiene alla r. 33. RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO α Si ha la seguente regola, la quale si giustifica pensando che le tracce α 1 e α 2 del piano α sono costituite dai punti di intersezione, con i quadri, di tutte le rette che giacciono sul piano α, per cui le tracce di queste non possono che trovarsi sopra quelle del piano: REGOLA: Una retta appartiene ad un piano quando le sue tracce appartengono alle tracce omonime del piano. Nella fig. 33 la retta r appartiene al piano α perché la prima traccia T 1 della retta r giace sopra la prima traccia α 1 del piano α e T 2 giace sopra α 2. Fig. 32: Punto P appartenente ad una retta r Fig. 33: Punto P appartenente ad un piano α 34. RETTA ORIZZONTALE DI UN PIANO α, (RETTA DI α PARALLELA A π 1 ) Una retta orizzontale, si è già visto al n. 12, essendo parallela al primo quadro, ha la seconda proiezione parallela alla L.T.; essa ha la prima traccia all infinito e, per appartenere al piano α, dovrà avere la seconda traccia T 2 sopra la seconda traccia α 2 del piano α. Osservazione. Le rette orizzontali di un piano vengono spesso prese come rette ausiliarie per materializzare un luogo di punti appartenenti al piano e sono assai utili in molti problemi di G.D. 35. RETTA FRONTALE DI UN PIANO α, (RETTA DI α PARALLELA A π 2 ) Una retta frontale, si è già visto al n. 14, essendo parallela al secondo quadro, ha la prima proiezione parallela alla L.T.; essa ha la seconda traccia all infinito e, per appartenere al piano α, dovrà avere la prima traccia T 1 sopra la prima traccia α 1 del piano. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 11/27

12 Fig. 34: Retta orizzontale di un piano α, ossia retta di α parallela a π 1 Fig. 34: Retta frontale di un piano α, ossia retta di α parallela a π RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO VERTICALE α, OSSIA NORMALE A π 1 Un piano verticale α, come si è visto al n. 26, ha la seconda traccia α 2 normale alla L.T.; la retta r, per appartenere a questo, avrà la prima proiezione r coincidente con la prima traccia α 1 del piano e le tracce omonime si apparterranno, ossia T 1 sarà sopra α 1 e T 2 sopra α 2. Osservazione. Questo problema interessa quando si debba condurre per una retta un piano proiettante la stessa sopra il primo quadro e, nella risoluzione di alcuni problemi, esso ha quindi la funzione di piano ausiliario. 37. RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO NORMALE A π 2 Un piano normale al secondo quadro, come abbiamo visto al n. 27, ha la prima traccia al normale alla L.T.; la retta r, per appartenere a questo, avrà la seconda proiezione r giacente sopra la seconda traccia α 2 del piano e le tracce omonime si apparterranno, ossia T 1 sarà sopra α 1 e T 2 sopra α 2. Osservazione. Questo problema, analogamente al precedente, interessa quando si debba condurre per una retta un piano proiettante la retta stessa sul secondo quadro. Fig. 36: Retta r appartenente ad un piano normale a π 1 Fig. 37: Retta r appartenente ad un piano normale a π PUNTO P APPARTENENTE AD UN PIANO α Regola: Un punto appartiene ad un piano quando giace sopra una retta del piano, ossia quando le proiezioni del punto appartengono alle proiezioni omonime di una retta, la quale, a sua volta, ha le tracce contenute sulle tracce omonime del piano. Fra le infinite rette che passano per il punto e che giacciono sul piano si sceglie, di solito, quella orizzontale (n. 34) perché la rappresentazione risulta più semplice. La giustificazione della regola è intuitiva per quanto si è detto ai numeri 32 e 33 e perché la retta, o il fascio di rette che passano per il punto, materializzano il piano e costituiscono il sostegno del punto sul piano. Nella fig. 38, per collocare un punto P sopra il piano α basta tracciare una retta r appartenente ad α, prendendo le sue tracce T 1 e T 2 rispettivamente su α 1 e α 2, quindi prendere le proiezioni p e p rispettivamente sopra r e r e sopra una stessa normale alla L.T. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 12/27

13 Invece di una retta r qualsiasi, come si è detto, è meglio servirsi di una orizzontale. come la m della fig. 38. Fig. 38: Punto P appartenente ad un piano α 39. PUNTO P APPARTENENTE AD UN PIANO α PARALLELO ALLA L.T. Affinché il punto P sia sopra α occorre (n. 38) che sia situato sopra la retta r del piano α, ossia che le sue proiezioni p e p, oltre che essere sopra una stessa normale alla L.T., siano anche sulle proiezioni omonime r ed r della r, le cui tracce T 1 e T 2 appartengano ad α 1 ed α 2, rispettivamente. Fig. 39: Punto P appartenente ad un piano α parallelo alla L.T. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 13/27

14 VI. TERZO PIANO DI PROIEZIONE π 3 O PIANO DI PROFILO Per quanto i due quadri π l e π 2 siano sufficienti per servire da riferimento per qualunque punto dello spazio, è utile, talvolta, specialmente per alcune rappresentazioni particolari, prendere un terzo piano di riferimento, detto anche terzo quadro π 3 o piano di profilo, normale a π l e a π 2, mediante il quale la rappresentazione risulta più evidente. Si abbia, ad esempio, da rappresentare una figura contenuta in un rettangolo ABCD (fig. 40), situato sopra un piano normale ai due quadri π l e π 2 ; la rappresentazione solita si riduce a due segmenti A D su π l e A B su π 2, mentre la proiezione A B C D sopra il quadro di profilo π 3 risulta identica alla figura obbiettiva, con tutti i suoi particolari. Per poter rappresentare convenzionalmente il terzo quadro sul foglio da disegno, si immagina di far ruotare π 3 intorno alla retta di intersezione di π 3 con π 2 (retta che prende anche il nome di 2 a linea di terra) fino a far coincidere π 3 con π 2. Di solito si conviene eseguire la rotazione in modo che la parte anteriore di π 3 si adagi su π 2 ruotando verso sinistra. Pertanto, per ottenere la rappresentazione descrittiva, si proiettano prima di tutto i punti e le rette sui tre quadri, o si individuano sopra questi le tracce delle rette o dei piani da rappresentare, poi si eseguono le rotazioni del quadro verticale e di quello di profilo nei modi indicati, allo scopo di portarli sul piano orizzontale della rappresentazione. 40. LE TRE PROIEZIONI DEL PUNTO P Si proietta il punto P, ortogonalmente, sui tre quadri in P, P e P, indi si fanno avvenire le rotazioni descritte sopra, ricavando la rappresentazione della fig. 40, il cui schema è evidente. Fig. 40: Le tre proiezioni del punto P 41. LE TRE PROIEZIONI DELLA RETTA r Si proietta la retta r sui tre quadri in r, r e r ; nella rappresentazione convenzionale siano r e r, T 1 e T 2 i soliti elementi della retta r. Per determinare r basta pensare che questa passerà per T 1 e T 2 proiezioni rispettivamente di T 1 e T 2 sul terzo quadro; nella rappresentazione basta proiettare T 1 in T 1 e T 2 in T 2 secondo la costruzione della fig. 40. Per ricavare la terza traccia T 3 si può operare in due modi, sia pensando T 3 come intersezione di r col piano proiettante r su π 1 sia come intersezione dì r col piano proiettante r sopra π 2. Il secondo modo è preferibile perché nella rappresentazione convenzionale basta trovare T 3 T 3 (sopra r e 2 a L. T.) e condurre per esso l orizzontale che incontra r in T 3. La costruzione col primo modo, più complessa, è chiaramente indicata in figura. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 14/27

15 Fig. 41: Le tre proiezioni della retta r VII. APPLICAZIONI DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI ALLA RAPPRESENTAZIONE DI FIGURE PIANE E SOLIDE CON L USO ANCHE DEL TERZO QUADRO Come applicazione delle cose già dette, rappresentiamo in questa sezione diversi tipi di figure geometriche piane, di solidi appoggiati sul primo quadro o inclinati, oppure sovrapposti, nonché alcuni particolari oggetti che si incontrano nei diversi campi d impiego della geometria descrittiva, dalle costruzioni architettoniche alla meccanica. Sono disegnati segmenti in posizione diversa, un rettangolo orizzontale ed un triangolo verticale, in proiezione prospettica, che vengono poi rappresentati al numero successivo in proiezione ortogonale. Con le regole già date in precedenza si sono rappresentati i segmenti, il rettangolo e il triangolo di cui sopra, in proiezione ortogonale. Fig, 43 e 44: Prospettiva e proiezioni ortogonali Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 15/27

16 VIII. PROBLEMI DI POSIZIONE Finora si sono studiati i modi di rappresentare i diversi enti geometrici, il punto, la retta, il piano, anche nelle condizioni particolari in cui si possono presentare, sia separatamente, sia quando si appartengono. Nei problemi di posizione, invece, vengono studiate le situazioni spaziali reciproche di tali enti come, ad esempio, la retta che passa per due punti dati, la retta intersezione di due piani dati, ecc., problemi che si potrebbero definire di appartenenza e di intersezione insieme, nei quali, perciò, sono alla base delle varie soluzioni le condizioni di appartenenza già viste. Nei problemi di posizione non vengono prese in considerazione le questioni relative alla misura di lunghezze o di angoli, né quelle di parallelismo o di perpendicolarità. I fondamentali problemi di posizione, dei quali saranno date soluzioni anche dei casi; particolari, sono i seguenti. 65. RETTA r PASSANTE PER DUE PUNTI A E B Per la condizione di appartenenza (n. 32) le proiezioni r e r della retta si ottengono congiungendo rispettivamente A con B e A con B. Fig, 65: Retta r passante per due punti A e B RETTA r D INTERSEZIONE DI DUE PIANI α e β Per le condizioni di appartenenza. (n. 33), la retta r, dovendo essere comune ad α e a β, avrà le tracce T 1 e T 2 rispettivamente nell incontro di α 1 e β 1 e di α 2 e β 2 ; quindi le proiezioni r e r si determineranno come al n. 8. Fig : Retta r d intersezione di due piani α e β Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 16/27

17 68. RETTA r D INTERSEZIONE DI DUE PIANI α e β, ESSENDO β PARALLELO A π 2 La retta d intersezione del piano α qualsiasi e del piano β frontale, giacendo sopra questo ultimo, è parallela al secondo quadro, ossia è una retta frontale. Perciò (n. 14) la seconda traccia della retta è all infinito, mentre la prima T 1 si trova facilmente nell incontro delle prime tracce α 1 e β 1 dei piani dati. Fig. 68: Retta r d intersezione di due piani α e β, essendo β parallelo a π PIANO α PASSANTE PER TRE PUNTI A, B, C Questo problema si risolve facilmente conducendo la retta f per due punti dati, ad esempio A e B (n. 65). Sopra tale retta si prenda un punto D e si tracci la retta r passante per C e D; il piano passante per le due rette r e f è quello cercato. È evidente che si può prendere, al posto del punto D, il punto A o il punto B, ma la libertà di una opportuna scelta di D può condurre ad un disegno più chiaro. Perciò tracciate f per A e B e f per A e B, si fissa un punto D sopra f, quindi D su f in corrispondenza alla normale alla linea di terra condotta per D ; le proiezioni della retta r passante per C e D si ricavano come si è fatto per la f. Individuando, nel solito modo, le tracce delle rette f ed r, si ricavano le tracce α1 ed α2 del piano cercato congiungendo rispettivamente T 1f con T 1r e T 2f con T 2r. Fig. 79: Piano α passante per tre punti A, B, C Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 17/27

18 IX. RIBALTAMENTO E RADDRIZZAMENTO Il ribaltamento di un piano α sopra un altro piano β è l operazione per mezzo della quale si porta il piano α a sovrapporsi a β, mediante la rotazione del primo intorno alla retta di intersezione dei due piani. Nei successivi problemi, i ribaltamenti si eseguono sempre sopra uno dei quadri. Ribaltando il piano α si intendono trascinati con α, nella rotazione, tutti gli elementi geometrici contenuti in α. I problemi sul ribaltamento hanno avuto origine dalla necessità di procurarsi la vera forma delle figure situate sopra piani qualsiasi, le cui proiezioni sui quadri, in generale, danno di esse immagini deformate. L operazione inversa del ribaltamento si dice raddrizzamento o rialzamento ed è utile per trovare le proiezioni di una figura piana disegnando prima la figura vera sul piano raddrizzato. Si conviene di indicare con lettere fra parentesi i simboli degli elementi ribaltati. 96. RIBALTARE UN PIANO α VERTICALE (AUSILIARIO) SOPRA π 1 Facendo ruotare il piano α attorno alla sua prima traccia al fino a sovrapporlo a π 1 la sua seconda traccia α 2 viene a trovarsi sopra π 1 e si indica con (α 2 ); sarà (α 2 ) normale ad α 1 che è restata ferma nella rotazione. Fig. 96: Ribaltare un piano α verticale (ausiliario) sopra π RIBALTARE UN PIANO VERTICALE AUSILIARIO β E UNA SUA RETTA s, SOPRA π 1 Ribaltando il piano β sopra π 1 come al n. 96, si ribalta con esso anche la retta s che gli appartiene. Mentre la prima traccia T 1s della retta resta ferma, la seconda traccia T 2s giacente sulla seconda traccia β 2 del piano ruota con questa, rimanendo alla stessa distanza dal punto T 2s d incontro di β 2 e di β 1 sulla L.T. In altre parole il ribaltamento (s) della retta s si ha congiungendo T 1s col punto (T 2s ) che è ottenuto riportando T 2s T 2s in T 2s (T 2s ) con un arco di cerchio centrando in T 2s. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 18/27

19 Fig. 97: Ribaltare un piano verticale ausiliario β e una sua retta s, sopra π RIBALTARE UN PIANO α QUALSIASI SOPRA π 1 Nella rotazione del piano α, tutti i punti della prima traccia α 1, come O, restano fermi, mentre la seconda traccia α 2 ruota; il problema è quello di trovare la posizione su π 1 della retta (α 2 ) ribaltamento di α 2, sapendo che essa passerà per O; in definitiva basterà trovare il ribaltamento (A) di un altro punto A di α 2 perché poi, congiungendo O con (A), si trova (α 2 ). L operazione può essere eseguita in due modi: Primo metodo: Si prenda un punto A sopra α 2 e si conduca per esso la retta m normale ad α 1, che incontra al in Q: essa avrà la prima proiezione m normale ad α 1, Il triangolo spaziale OQA è rettangolo in Q, con OQ e QA cateti e OA ipotenusa; nella rotazione intorno al cateto OQ, il cateto QA si ribalta in Q(A) rimanendo normale ad OQ. Pertanto il punto (A) si troverà su m, normale ad OQ, alla distanza O(A) == OA e si troverà quindi nel punto di incontro di m con l arco di cerchio di centro O e raggio OA. Congiungendo, come si è detto, O con (A), si ha il ribaltamento (α 2 ) cercato. Secondo metodo: Si prenda un punto B (in figura, distinto da A per non creare confusione con la costruzione precedente) e si conduca ancora una retta n normale ad α 1, che incontrerà α 1 in R: essa avrà la prima proiezione n normale ad α 1. Il triangolo spaziale RB B è rettangolo in B, con RB e B B cateti e RB ipotenusa. Ribaltandolo in B (B)*R su π 1 il cateto RB si mantiene fermo, il cateto B B va in B (B)* rimanendo normale al precedente e la sua lunghezza, uguale a B B, si riporta col compasso centrando in B ; l ipotenusa che si ottiene congiungendo R con (B)*, rappresenta la distanza spaziale di B da R, per cui centrando in R con raggio = R(B)* si traccia l arco che taglia in (B) la (n) == n ; la congiungente O(B) è la (α 2 ) cercata. Osservazione: Fra i due metodi, quello più comodo è evidentemente il primo, quando l incontro delle tracce è nei limiti del foglio da disegno. Fig. 98: Ribaltare un piano α qualsiasi sopra π 1 Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 19/27

20 99. RIBALTARE, SU π 1 UNA RETTA r APPARTENENTE AD UN PIANO α Con uno dei metodi indicati al n.98, si ribalti il piano α su π 1 ; con esso si ribalterà anche la retta r. La prima traccia di questa resta ferma mentre la seconda traccia T 2 seguirà α 2 nel ribaltamento e il punto (T 2 ) si troverà alla stessa distanza di T 2 da O; è facile perciò trovarne la posizione su (α 2 ) col compasso. Il segmento T 1 (T 2 ) rappresenta anche la vera lunghezza del segmento T 1 T 2. Fig. 99: Ribaltare, su π 1 una retta r appartenente ad un piano α 100. RIBALTARE SU π 1 UNA RETTA APPARTENENTE AD UN PIANO α PARALLELO ALLA L.T. Nella figura si è usato necessariamente il secondo metodo di ribaltamento di cui al n. 98, perché le tracce α 1 ed α 2 del piano α sono fra loro parallele. Con procedimento analogo a quello indicato per il problema n. 99, ossia facendo ruotare il piano intorno ad α 1 e quindi la retta r intorno alla sua prima traccia T 1 si è trovato il ribaltamento (T 2 ) della seconda traccia della r, indi il ribaltamento (r) cercato. Fig. 100: Ribaltare su π 1 una retta appartenente ad un piano α parallelo alla L.T RIBALTAMENTO, SU π 1 DI UN PUNTO A DEL PIANO α Nei problemi precedenti si sono ribaltati punti particolari giacenti sulle tracce di un piano α. Vediamo ora come si deve procedere quando il punto è in posizione generica, come il punto A della fig Sappiamo già che per materializzare un punto sopra un piano occorre pensarlo come appartenente ad una retta del piano (n. 38) che, per comodità, si prende orizzontale. Nel caso della fig. 101 si consideri la retta s, orizzontale che ha s parallela ad α 1 e s parallela alla L.T. Ribaltando il piano α sopra π 1 la orizzontale ribaltata (s) rimane parallela ad α 1 e per trovarne la posizione basta ribaltare un suo punto ad esempio la sua seconda traccia T 2s, nel solito modo (n. 98); il punto (A) ribaltato si troverà sopra (s) e sulla normale ad α 1 condotta per A come si è visto al n. 98. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 20/27

21 101. RIBALTAMENTO, SU π 1 DI UN TRIANGOLO GIACENTE SOPRA UN PIANO α Partendo dalla solita rappresentazione del piano e dei vertici A, B, C del triangolo che sta sul piano α (vertici sostenuti sul piano dalle rispettive orizzontali s, r e f del piano α), si ribalta la seconda traccia α 2 del piano α nel solito modo (n. 98) sopra π 1, nonché le orizzontali precedenti e i punti A, B, C che si trovano su di esse come al n. 101 ricavando i ribaltamenti di questi ultimi (A), (B), (C). Essi rappresentano i vertici del triangolo spaziale che appare così nella sua vera forma. Fig. 101: Ribaltamento, su π 1 di un triangolo giacente sopra un piano α 102. RIBALTAMENTO, SU π 1 DI UN RETTANGOLO GIACENTE SOPRA PIANO VERTICALE α Il procedimento seguito è quello stesso del numero precedente, ribaltando α 2 in (α 2 ) come al n.96. Indi si individuano i vertici nel ribaltamento per mezzo delle solite orizzontali e si ottiene la figura ribaltata (A) (B) (C) (D). Fig. 102: Ribaltamento, su π 1 di un rettangolo giacente sopra piano verticale α Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 21/27

22 RADDRIZZAMENTO DI UN PIANO α È l operazione inversa del ribaltamento e serve per ricavare le proiezioni sui quadri di una figura disegnata sopra un piano a qualsiasi. Si pensa allora di rappresentare la figura nella sua vera forma sopra il ribaltamento di α sul quadro orizzontale, indi di rialzare il piano a fino a portarlo nella giacitura voluta e da questa posizione trarre le due proiezioni sui quadri. Le operazioni che si debbono fare sono quelle del ribaltamento, pensando però di eseguirle in senso inverso RADDRIZZAMENTO, DA π 1 DI UN CERCHIO GIACENTE SOPRA UN PIANO α La fig. 103 rappresenta il rialzamento di un piano in posizione particolare, ossia parallelo alla L.T., per il quale è quindi necessario l uso del piano di profilo. Il piano pensato su π 1 ruota intorno ad α1 fino ad assumere la posizione α, individuabile facilmente per mezzo della terza traccia α 3, rispetto alla quale si ottengono le proiezioni della figura, punto per punto, tenendo presente quanto si è detto nei problemi relativi al ribaltamento. Osservazione: Come si è già detto, nel caso di una figura giacente sopra un piano α qualsiasi, si pensa tale piano ribaltato sopra π 1 si disegna su tale ribaltamento la figura voluta nella sua vera forma, indi si raddrizza il piano α con l operazione inversa di quella relativa al ribaltamento (ossia, n. 101, da (α 2 ) si passa ad α 2 ) e si ricavano poi le proiezioni prime e seconde. Fig. 103: Raddrizzamento, da π 1 di un cerchio giacente sopra un piano α Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 22/27

23 X. RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI 125. RAPPRESENTAZIONE DI SOLIDI REGOLARI AD ASSE VERTICALE Sono rappresentati: a) una piramide retta su base quadrata; b) un cono retto; c) un cubo con sovrastante sfera; d) un parallelepipedo. Tutti i solidi rappresentati, ad eccezione della sfera, hanno la base sopra il primo quadro, la quale risulta in prima proiezione nella sua vera forma. Nella rappresentazione del cono è anche indicato il modo di individuare un punto P della superficie conica: esso può essere pensato come appartenente ad una generatrice g del cono, oppure alla circonferenza c ottenuta sezionando il cono con un piano orizzontale σ. Di conseguenza le proiezioni P e P di P, oltre che essere sopra una stessa normale alla L.T., debbono anche stare sulle proiezioni omonime della generatrice g o della circonferenza c. Le altre rappresentazioni non hanno bisogno di spiegazioni, essendo i solidi tutti regolari. Fig. 125: Rappresentazione di solidi regolari ad asse verticale 127. SEZIONE DI PIRAMIDE RETTA, APPOGGIATA SU π 1 CON UN PIANO α NORMALE A π 2 Rappresentata in prima e in seconda proiezione la piramide, nonché le tracce di α, si ricavino D, E, F, seconde proiezioni dei punti di incontro degli spigoli con α e successivamente le loro prime proiezioni D, E, F che dovranno trovarsi sulle prime proiezioni degli spigoli stessi. La prima proiezione della sezione sarà il triangolo D E F mentre la seconda proiezione sarà evidentemente il segmento D F. Per trovare la vera sezione basta eseguire il ribaltamento di questa sopra uno dei quadri; nella fig. 127 si è ribaltato il piano α sopra π 2 (analogamente al n. 102 ove però il ribaltamento è stato fatto sopra π 1 ) indi si è trovata la vera rappresentazione della sezione triangolare (D)(E)(F) con la costruzione nota ed evidente sulla figura. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 23/27

24 Fig. 127: Sezione di piramide retta, appoggiata su π 1 con un piano α normale a π SEZIONE DI PIRAMIDE RETTA, APPOGGIATA SU π 1 CON UN PIANO α NORMALE A π 2 CHE TAGLIA ANCHE LA BASE È analogo al caso precedente ma col piano α che taglia anche la base. Si risolve come al n.127. Il piano α incontra la base C D H secondo il segmento A B della prima traccia α l e gli spigoli CV e DV nei punti E ed F le cui seconde proiezioni si individuano subito in E ed F, quindi, successivamente, le prime proiezioni in E ed F sopra C V e D V. Per ricavare la vera forma della sezione basta eseguire il ribaltamento di questa sul secondo quadro con il solito procedimento, ricavando la figura (A)(B)(E)(F) cercata. Fig. 128: Sezione di piramide retta, appoggiata su π 1 con un piano α normale a π 2 che taglia anche la base Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 24/27

25 130. SEZIONE DI CILINDRO RETTO, AVENTE UNA BASE SU π 1 CON UN PIANO α NORMALE A π 2 Il procedimento è analogo al n. 127, considerando i punti A, B, C... della sezione come appartenenti alle generatrici del cilindro. Nella fig. 130, in basso, è anche rappresentato lo sviluppo della superficie laterale situata al disotto del piano α, che si ottiene stendendo sopra il piano del disegno la superficie stessa, dopo averla tagliata lungo la generatrice E E, ossia riportando E E pari allo sviluppo della circonferenza di base e le successive ordinate uguali ai corrispondenti segmenti di generatrice SEZIONE DI PRISMA RETTO, APPOGGIATO SU π 1 CON UN PIANO a NORMALE A π 2 Il procedimento è analogo a quello indicato a proposito del n.127. Fig. 130: Sezione di cilindro retto, avente una base su π 1 con un piano α normale a π 2 Fig. 133: Sezione di prisma retto, avente una base su π 1 con un piano α normale a π 2 Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 25/27

26 XI. SEZIONI CONICHE Prima di parlare delle sezioni coniche occorre generalizzare il concetto di superficie conica. Dicesi superficie conica circolare quella individuata dalle rette che passano per i punti di una circonferenza (direttrice) e per un punto fisso (vertice) non complanare con questa. Quando il vertice giace sulla retta (asse) passante per il centro della circonferenza direttrice e normale al piano di questa, la superficie conica si dice rotonda o di rotazione perché essa si può anche pensare ottenuta facendo ruotare rigidamente intorno al asse una retta (generatrice) passante per il vertice. Tutte le generatrici si incontrano nel vertice, il quale le divide in due semirette che appartengono ognuna ad una delle due falde distinte della superficie conica. In particolare una superficie cilindrica si può sempre pensare come una superficie conica il cui vertice è un punto improprio (v. Introduzione). Dicesi sezione conica, o semplicemente conica, la figura ottenuta tagliando una superficie conica con un piano non passante per il vertice (Fig A). Essa prende il nome di: a) ellisse quando il piano taglia tutte le generatrici di una falda; la linea è chiusa e diventa una circonferenza se il piano è normale all asse del cono; b) parabola quando il piano taglia una falda essendo parallelo ad una sola generatrice; la linea è aperta; c) iperbole quando il piano taglia entrambe le falde essendo parallelo a due generatrici e la linea è aperta e costituita da due rami distinti. Se il piano passa per il vertice le sezioni coniche degenerano rispettivamente in un punto, una retta e due rette. Nel caso di una superficie cilindrica la sezione con un piano non parallelo all asse, che taglia quindi tutte le generatrici, è sempre una ellisse (Fig B). Fig. A. Sezioni di un cono con un piano: A) posizione dei vari piani; B) piano perpendicolare all asse del cono, sezione circolare; C) piano formante con l asse un angolo minore di 90 (maggiore però della semiapertura del cono), sezione ellittica; D) piano parallelo ad una generatrice, sezione parabolica; E) piano formante con l asse un angolo minore della semiapertura del cono, sezione iperbolica. Fig. B. Sezioni di un cilindro con un piano a) piano parallelo all asse, sezione rettangolare b) piano perpendicolare all asse, sezione circolare c) piano inclinato rispetto all asse, sezione ellittica. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 26/27

27 Per ottenere graficamente le sezioni coniche è necessario procedere con le proiezioni ortogonali applicando il metodo delle generatrici (Fig E) o il metodo dei piani di sezione ausiliari (Fig D). Fig. C. Sezione di un cono retto, ottenuta con il metodo delle generatrici. Fig. D. Sezione di un cono retto, ottenuta con il metodo dei piani di sezione ausiliari. Appunti di Geometria Descrittiva - Pag. 27/27