variabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.

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1 Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione: Sia f : A R R, con A insieme aperto di e (, y A Si pone R f( + h, y f(, y df(, y (, y = lim = h h d f(, y + h f(, y df(, y (, y = lim = h dy = h y= y se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad e rispetto ad y nel punto (, y Esempio: Utilizzando la definizione, calcolare le derivate parziali rispetto ad e rispetto ad y delle seguenti funzioni, nei punti indicati accanto: Soluzione: 3 f(, y = y, (1,; f(, y = y, (,1, ( h lim = 16 f f(1 + h, f(1, h (1, = lim h = ; h h d (8 = 16 d = 1 Talvolta (non sempre, ma certamente in presenza di funzioni elementari le precedenti derivate si possono calcolare anche nel modo seguente: Osservazione: (, y (1, = (se la variabile y è trattata come una costante ( y, = (1, = = 3 y 16 ( y, = (1, Le funzioni elementari sono derivabili parzialmente (quante volte si vuole e l insieme di definizione (comune di tutte le derivate dicesi dominio (di definizione della funzione elementare; esso è sempre un insieme aperto Il dominio di una funzione elementare potrebbe essere diverso dall insieme di definizione Per esempio per la funzione f ( y, = y, si ha ( y, = y, e (, y = insieme di definizione è [, + [ R, mentre il suo dominio è ], + [ R 5, e quindi il suo

2 Esercizio: Trovare le derivate parziali delle seguenti due funzioni ( y f(, y = e +, y f(, y = e + e per ciascuna individuare l insieme di definizione e il suo dominio Osservazione: Se una funzione f ( y, ha le derivate parziali in tutti i punti di un insieme aperto A, si possono considerare le funzioni derivata parziale (, y definite in e (, y (anch esse sono A Se queste ultime sono derivabili si potranno considerare le loro derivate parziali, cioè le funzioni derivate parziali seconde della funzione f f f f (, y, (, y, (, y, (, y Si prova (teorema di Schwarz che se le due derivate parziali f, f (, y e y f (, y sono y continue, allora sono uguali Questa circostanza certamente si verifica se f ( y, è una funzione elementare Esercizio: Calcolare tutte le derivate parziali seconde delle due funzioni 3 f ( y, = y, f( y, = y e (per ciascuna funzione verificare l uguaglianza delle due derivate miste Interpretazione geometrica della derivata parziale: Sia z = f(, y derivabile parzialmente rispetto a nel punto (, y Essendo d (, y = f(, y d =, la retta tangente alla curva avente rappresentazione cartesiana funzione z = f(, y, nel punto (, y, f(, y, è data da z = f(, y y = y (o al grafico della allo stesso modo la retta z = f(, y + (, y( ; y = y z = f(, y + (, y( y y = 6

3 è la retta tangente alla curva { =, (, z = f y, nel punto (, y, f(, y Osservazione: Il piano di equazione z = f(, y + (, y( + (, y( y y contenenendo entrambe le tangenti, sembra titolato ad essere chiamato piano tangente nel (, y, f(, y alla superficie di equazione z = f(, y Naturalmente da detto piano ci si attendono ulteriori proprietà per giustificare la suddetta denominazione Definizione: Sia z = f(, y una funzione definita in un insieme aperto A di e (, y A Si dice che f ( y, è differenziabile in (, y se R esistono le derivate parziali (, y (, ; e y f ( + h, y + k = f(, y + (, y h+ (, y k+ o( h + k In tal caso si pone f (, y = (, y, (, y e dicesi gradiente della funzione f nel punto (, y, per ( hk, (, Osservazione: La nozione di differenziabilità è la naturale generalizzazione della nozione di derivabilità per le funzioni di una sola variabile; infatti la derivabilità di una funzione ϕ ( in può esprimersi anche nel seguente modo ϕ( + h = ϕ( + ϕ ( h+ o( h La differenziabilità implica (evidentemente la continuità; proprietà che invece non è conseguenza della sola esistenza delle derivate parziali La seconda uguaglianza nella definizione di differenziabilità, dicesi formula di Taylor del prim ordine Essa è evidentemente equivalente ad una delle seguenti condizioni a f( + h, y + k f(, y + (, y h+ (, y k y lim = ; ( hk, ( hk, (, (, (, (, ( (, ( ((, (, b f y = f y + y + y y y + o y y per (, y (, y 7

4 Un importante risultato è il seguente: Le funzioni elementari sono differenziabili in ogni punto del proprio dominio ( 1 Definizione: Se la funzione f ( y, è differenziabile in (, y, l espressione (o in forma estesa dicesi (a seconda delle circostanze z = f(, y + f(, y (, y y z = f(, y + (, y( + (, y( y y equazione del piano tangente nel punto (,, (, (cartesiana z = f(, y ; oppure y f y alla superficie di equazione linearizzazione della funzione f ( y, (o approssimazione del prim ordine in un intorno di (, y (espressione che trova la sua giustificazione nel fatto che la funzione è lineare e approssima f ( y, in un intorno di (, y con un errore che è o( ( + ( y y Definizione: Se f ( y, è differenziabile in ogni punto (, y di df = (, y d + (, y dy e dicesi differenziale (primo della funzione f ( y, A, si pone Osservazione: Il differenziale primo può essere interpretato come una approssimazione di f ( + d, y+ dy f(, y (incremento della funzione nel passare dal punto (, y al punto ( + d, y + dy Esercizio: Per ciascuna delle seguenti funzioni a Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto la cui ascissa e ordinata è indicata accanto; b Linearizzare la funzione (o equivalentemente scrivere la formula di Taylor del prim ordine nel punto indicato accanto ( 1 In realtà questo risultato è ovvia conseguenza del seguente teorema che però in questo corso sarà poco utilizzato Teorema (Condizione sufficiente per la differenziabilità: Sia z = f(, y una funzione definita in un insieme aperto A di e sia (, y A Se esistono le derivate parziali in A e queste sono continue in (, y allora la funzione è R differenziabile in (, y 8

5 f(, y = e sin y, (,; f(, y = 3 3 y, (1,; y f(, y = e +, (,; f(, y = sin + ycos, (, ; f(, y = y, (1,; f(, y = y, (, Soluzione: Si ha e sin y =, (, ( e sin y (, = =, ( e sin y (, = = 1 e quindi a z = y è l equazione del piano tangente alla superficie z = e sin y nel punto (,, b e sin y = y+ o( + y è la formula di Taylor del prim ordine (o più brevemente e sin y y, e quindi la funzione (, y y è la linearizzazione della funzione in un intorno del punto (, Teorema della derivabilità della funzione composta; Sia f ( y, una funzione definita in un aperto e differenziabile in A (, y A Sia inoltre ϕ : I R derivabile in t I e tale che ϕ( I A e ϕ ( t = (, y Allora 1 La funzione f ( ϕ ( t è derivabile in ; t d f ( ϕ( t = f ( ϕ( t ϕ ( t dt t= t Osservazione: Se come spesso accade la funzione ϕ ( t ha rappresentazione { = t (, y= yt (, allora la precedente formula diventa d d dy f( ϕ( t = +, dt dt dt t ϕ ( t t ϕ ( t t che formalmente si ricava immediatamente dalla rappresentazione del differenziale primo Dinostrazione (facoltativa: Dalla differenziabilità della funzione f ( y, in ϕ ( t segue donde f ϕ t f ϕ t f ϕ t ϕ t ϕ t o ϕ t ϕ t ( ( ( ( = ( ( ( ( ( + ( ( (, f( ϕ( t f( ϕ( t ϕ( t ϕ( t o( ϕ( t ϕ( t ϕ( t ϕ( t = f( ϕ( t + t t t t t t t t ϕ( ϕ( Passando al limite per t t, segue immediatamente l asserto Esercizi: Calcolare la derivata della funzione f ( ϕ ( t utilizzando il teorema della derivazione della funzione composta; notare che in questi esercizi la derivata può essere calcolata anche direttamente 9

6 a f(, y e + y 3 =, ϕ ( t = ((1 t t, t ; b c f(, y = arctan, y Soluzione: a Essendo = t ϕ( t = ; d y = 3t + 1 t = e f ( y, = + y, ϕ( t = ; y = 1 + t f ( y, t = y, ϕ( t = t+ log(1 + t i + e j + y + y + y + y e = e, e = e, ϕ ( t = (1 t,3 t si ha d f (1 (1 (1 ( ( t e t t + t t t t t t t (1 t e + ϕ (3 t e + = + = [] dt Derivata direzionale e interpretazione geometrica del gradiente: Sia z = f(, y una funzione differenziabile in un aperto, (E ben noto che la retta per rt ( = (, y + tuv (, (, y A e ( uv, un versore di R (cioè un vettore di modulo 1 A (, y parallela al versore ( uv,, ha rappresentazione parametrica Ora la funzione f ( rt ( è evidentemente definita in un intorno di, inoltre è derivabile e per il teorema della derivazione della funzione composta si ha d f (( rt = f (((, r uv ( = f (, y (, uv dt t= d f (( r t dt t= dicesi derivata direzionale della funzione z = f(, y nel punto (, y nella direzione del versore (, e si denota con il simbolo D f(, y Si ha dunque uv ( uv, ( D f(, y = f(, y ( u, v = f(, y cosθ, ( uv, dove θ è l angolo compreso tra i vettori f (, y e ( uv, Da quest ultima uguaglianza segue: Le derivate direzionali nelle direzioni dei versori i e j sono rispettivamente le derivate parziali rispetto a e y rispettivamente (Interpretazione geometrica del gradiente Se f(, y (,, D(, f(, y assume il uv massimo valore quando (, è parallelo e ha lo stesso verso di f (, y (in questo caso infatti si uv ha θ = ; pertanto nella direzione di f (, y, la funzione z = f(, y è crescente nel punto (, y e ha la massima variazione Esercizio (facoltativo: Sia z = f(, y la planimetria di un territorio Individuare un percorso che 1

7 inizi da (, y, f(, y e lungo il quale in ogni punto la direzione è quella in cui la pendenza è massima Soluzione: Si assume che la proiezione del percorso nel piano (, y abbia rappresentazione parametrica { = t (, y= yt (, allora si dovrà avere d = λ( t ( (, t y( t dt dy (, t y ( t = λ( t f( (, t y( t = / dy f d = λ( t ( (, t y( t dt ( In definitiva se quest ultima equazione differenziale ha soluzione, il percorso che ha come proiezione nel piano il grafico di una soluzione dell equazione differenziale con condizione iniziale y ( y = ha le caratteristiche richieste Esercizio: Calcolare la derivata direzionale della funzione f ( y, y = e nel punto (1,1 nella direzione del versore individuato dal vettore (1, 3 In quale direzione si ha la massima variazione della funzione nel punto ( 1,1? Formula di Taylor del second ordine: Sia z = f(, y una funzione dotata di derivate parziali seconde continue in un aperto, (, y A Allora sussiste la seguente uguaglianza A f(, y = f(, y + (, y( + (, y( y y + 1 f f f (, y( (, y( ( y y (, y( y y o((, y (, y per (, y (, y Dimostrazione (Facoltativa: Sia (, y B((, y, r A + e gt ( f( (, y t (, y y (ques ultima certamente definita e derivabile due volte nell intervallo [,1] = +, Posto rt ( = (, y + t (, y y si ha: g( = f(, y, g(1 = f(, y ( ( = ( (, e quindi g f y y y g t f r t y y ( = (, (,, f f f g ( t = ( rt ( ( + ( rt ( ( ( y y + ( rt ( ( y y Ora per la formula di Taylor del second ordine esiste t [,1] tale che g(1 = g( + g ( + g ( t = g( + g ( + g ( + ( g ( t g ( 11

8 e dunque l asserto, non appena si osserva che evidentemente g ( t g ( = o((, y (, y Esercizio: Per le funzioni di pagina 9, per le quali si è scritta la formula di Taylor del prim ordine, scrivere la formula di Taylor del second ordine, e utilizzando il lemma che segue dire se la corrispondente forma quadratica è definita positiva, definita negativa oppure indefinita Prima di fornire alcune interessanti applicazioni della formula di Taylor, si premette il seguente Lemma: Siano abc,, numeri reali Allora considerata la funzione ϕ ( h, k = ah + bhk + ck (è denominata forma quadratica in due variabili si ha: 1 b ac< e b ac< e a > ϕ h k ( ah bhk ck (, = + + > per ( hk, (, ; a < ϕ h k ( ah bhk ck (, = + + < per ( hk, (, ; 3 b ac> ϕ( h, k ( = ah + bhk + ck assume valori sia strettamente positivi che strettamente negativi 4 b ac= e a > (risp qualche ( hk, ( assume valore a < ϕ h k ( ah bhk ck (, = + + (risp e in h h Dimostrazione: Sia ( hk, (, Se è k si ha ϕ( hk, = k a + b + c, donde essendo k k il primo fattore sempre positivo e il secondo fattore un polinomio di secondo grado (in h, l asserto k segue non appena si ricorda quanto è noto sul segno di tali polinomi Se è necessariamente k =, deve essere h, e allora l asserto si ottiene utilizzando sostanzialmente lo stesso argomento 1