2. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA

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1 . SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA Esempi 1. Un auto viaggia lungo un percorso rettilineo, con velocità costante uguale a 70 km/h. Scrivere la legge oraria s= s(t) e rappresentarla graficamente. 1. Scriviamo la legge del moto, che è un moto rettilineo uniforme (spostamenti uguali in tempi uguali): s(t) = 70t, dove t è espresso in ore e s in Km.. Rappresentiamo lo spostamento in un grafico spazio tempo, facendo coincidere con l origine la posizione al tempo 0 (s(0) = 0): fig sign fis 1 Come ci aspettavamo, il grafico è una semiretta, e la velocità è presente nel grafico come coefficiente angolare della semiretta: m = 70 (attenzione a non confondere il grafico della legge oraria con la traiettoria dell auto!). In questo caso la velocità media calcolata in qualunque intervallo di tempo e la velocità istantanea coincidono e valgono tutte 70 km/h: =70, che corrisponde al valore della derivata della funzione s(t) = 70t per qualunque valore di t.. Una particella si muove su una retta seguendo la legge oraria. Calcolare la velocità media della particella ogni secondi di moto. Calcolare le velocità della particella agli istanti t =, t = 4 e t=6. Rappresentiamo graficamente la legge del moto, che in questo caso è una parabola: 1

2 fig sign fis La particella si muove con velocità non costante: nei primi secondi percorre metri ( successivi secondi ne percorre 6, negli ulteriori ne percorre 10 ( : la velocità aumenta. I valori delle velocità medie coincidono con le pendenze dei segmenti tratteggiati nel grafico, e quindi con i coefficienti angolari delle rette secanti OA, AB, BC. Cerchiamo ora la velocità istantanea, per esempio all istante t =. Restringiamo l intervallo, calcoliamo la velocità media nell intervallo [, +h], con h piccolo quanto vogliamo., nei fig sign fis 3 (Nella rappresentazione grafica si è dovuto zoomare sul grafico vicino ad A, per poter vedere distinte la retta tratteggiata secante e quella blu tangente). Più h è piccolo, più il punto Q si avvicina ad A, il segmento AQ si confonde con l arco AQ della parabola e il coefficiente angolare della secante AQ si avvicina a quello della tangente al grafico della parabola in A:la velocità media si avvicina ad un valore limite, che chiamiamo velocità istantanea della particella per t=, e coincide con il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto A: la velocità istantanea è la derivata dello spostamento s(t) per t =, e coincide con la pendenza puntuale del grafico nel punto A. Calcoliamo allora la velocità istantanea in A, calcolando il limite del rapporto incrementale relativo a t= e ad un incremento h qualsiasi, quando h tende a 0:

3 : la velocità istantanea in A vale m/s. Verifica se hai capito Completa il problema precedente, calcolando la velocità istantanea della particella agli istanti 4 e 6. Quanto fatto per calcolare una velocità istantanea si può ripetere per tutte le grandezze che si ottengono come rapporto di due variabili che dipendono una dall altra: se y è una variabile che dipende dalla variabile x, allora il rapporto tra gli incrementi corrisponde ad una variazione media della y relativa all intervallo x; il limite di tale rapporto per x tendente a 0, cioè la derivata, corrisponde ad una variazione istantanea (che ha un significato letterale quando la variabile indipendente è il tempo, come spesso accade in fisica e nelle discipline tecniche). Del resto, è proprio questo il significato che abbiamo introdotto all inizio, per definire la derivata come pendenza del grafico di una funzione in un punto, a partire dalla pendenza media del grafico in un intervallo. 3. QUANDO LA DERIVATA NON ESISTE 1. Punti angolosi In figura 1 è rappresentato il grafico della funzione : fig 1 Nei punti A e B non esiste una retta tangente, ma due distinte rette tangenti, una destra e una sinistra, che si intersecano formando tra loro un angolo non nullo (fig. 13): 3

4 fig 13 La funzione in questi punti non è derivabile, perché non esiste un unico valore per la derivata, ma esistono due numeri diversi (i coefficienti angolari delle due rette tangenti), che vengono chiamati derivata destra e derivata sinistra. A e B si chiamano punti angolosi.. Punti a tangente verticale e cuspidi Può succedere che una funzione, in un punto del suo grafico, possieda una sola retta tangente, ma perpendicolare all asse x: anche in questo caso la funzione non è derivabile in quel punto,perché le rette perpendicolari all asse x non hanno coefficiente angolare(fig. 14, 15): fig14: il punto (, 1) è un punto a tangente verticale. La funzione rappresentata nel grafico è relativo al punto 1 troveremmo. Se calcolassimo il limite del rapporto incrementale 4

5 fig 15: il punto (1, 0) è un punto di cuspide. La funzione rappresentata nel grafico è in questo caso il limite del rapporto incrementale è.. Anche Verifica se hai capito: 1. Traccia il grafico della funzione, e stabilisci se l origine è un punto di cuspide o un punto angoloso. 4. LA FUNZIONE DERIVATA Consideriamo ancora la funzione, che possiede la retta tangente, e quindi la derivata, in ogni punto del suo dominio. Anziché calcolare il valore della derivata per un valore particolare di x, come abbiamo fatto nell esempio 3, proviamo a calcolare la derivata per un generico punto x: Riferiamoci alla fig. 16: P(x, x ), Q((x+h),(x+h) ), fig 16 ; 5

6 Se Q tende a P, h tende a 0, e x + h (dove la variabile è h, non x) tende a x. Abbiamo ottenuto questo risultato: qualunque valore assuma x, la derivata della funzione x. in x vale La funzione y = x, che ad ogni valore di x associa la derivata della funzione in quel punto, si chiama funzione derivata della f, e si indica con y, o f (x):. La funzione f(x) si chiama primitiva. Verifica se hai capito: 1. Utilizzando la funzione derivata della funzione trovata prima calcola il coefficiente angolare della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa 7.. Calcola la derivata della funzione per x =. 3. Trova la funzione derivata della funzione, e poi calcola la derivata di tale funzione per x = LE FUNZIONI DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Con passaggi di calcolo analoghi a quelli che abbiamo fatto per la parabola, si possono determinare le funzioni derivate delle altre funzioni che conosciamo (i calcoli sono più complessi e li omettiamo). Ecco la tabella delle derivate delle funzioni elementari, tutte derivabili in ogni punto del loro dominio: y = f(x) y = f (x) 1 y = mx+q, con m R y = m y = x n, con n y = nx n-1 3 y = x, con R y = x -1 4 y = e x y = e x 5 y = a x, con a R+ y = a x ln(a) 6 y = lnx Y = 1/x 7 y = log a x, con a R+ y = 8 y = sen (x) y = cos (x) 9 y = cos(x) y = -sen(x) 10 y = tan (x) y = 6. LE FUNZIONI DERIVATE DI SOMME, PRODOTTI, QUOZIENTI DI FUNZIONI 1. Derivata della somma: 6

7 . Derivata del prodotto: Caso particolare: 3. Derivata del quoziente: Caso particolare: Esempi: 1. Calcolare la derivata della funzione E la somma di quattro addendi, ognuno dei quali costituito dal prodotto di una costante per una potenza: Quindi:. Calcolare la derivata della funzione. Riscriviamo la funzione, trasformando la radice quadrata in potenza con esponente 1/, e derivandola come una potenza con esponente reale: 3. Ricaviamo la derivata della y = tanx (riga 10 della tabella) scrivendo la funzione tangente come rapporto tra seno e coseno, e utilizzando la formula per la derivata del quoziente: senx y cos x cos x cos x senx ( senx) cos x sen x cos y' cos x cos x cos x sen x 1 tg x x cos x 4. Un automezzo parte da fermo, con accelerazione costante uguale a 8 m/s. Qual è la sua velocità dopo 5 secondi? Scriviamo la legge oraria del moto uniformemente accelerato dell automezzo: spostamento rispetto al tempo:. La velocità ad ogni istante è data dalla funzione derivata dello. Quindi la velocità per t = 5 è di 40 m/s. 7