ES.2.3. è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita

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1 ES Distribuzione normale La funzione N(x; µ, σ 2 = 1 e 1 2( x µ σ 2 2πσ 2 si chiama densità di probabilità normale (o semplicemente curva normale con parametri µ e σ 2. La funzione è simmetrica rispetto all asse x = µ, raggiunge il suo valore massimo 1 2πσ 2 in x = µ ed ha due punti di flesso in x = µ σ e µ + σ. Ha una forma convessa per x < µ σ, concava tra µ σ e µ + σ e ancora convessa per x > µ + σ. I valori della funzione sono sempre positivi, sebbene decrescano molto velocemente al tendere di x verso ±. Per qualunque valore dei parametri µ e σ 2, l area sotto una curva normale + N(x; µ, σ 2 dx è pari ad 1. Una variabile aleatoria X che assume valori su tutta la retta si dice distribuita normalmente con parametri µ e σ 2 (X N(µ, σ 2, se P (X x = x f(x; µ, σ 2 dx, cioè se la probabilità che X assuma un valore inferiore o uguale a x può essere calcolato valutando l area tra la curva normale e la semiretta (, x. Da ciò si ricava che la probabilità con cui X assume valori compresi in un intervallo (a, b può essere calcolato mediante una differenza tra aree: P (a < X < b = P (X < b P (X < a = 1 b N(x; µ, σ 2 dx a N(x; µ, σ 2 dx. (1

2 È possibile dimostrare che i parametri µ e σ 2 sono rispettivamente il valore atteso e la varianza di una variabile aleatoria normalmente distribuita con parametri µ e σ 2. Precisamente, se X N(µ, σ 2, allora EX = σ 2 X = + + Inoltre, se X N(µ, σ 2, allora xn(x; µ, σ 2 dx = µ (x µ 2 N(x; µ, σ 2 dx = σ 2 Z = X µ σ N(0, 1, (2 cioè la variabile aleatoria standardizzata Z si distribuisce normalmente con valore atteso pari a 0 e varianza pari ad 1. Indicando con Φ(x = x N(x; 0, 1dx la funzione che restituisce il valore delle aree sottostanti una curva normale standardizzata, è facile rendersi conto che, se X N(µ, σ 2, allora P (X < x = P ( X µ < x µ σ σ = Φ(x µ σ. In altre parole, è sufficiente conoscere il valore che Φ(z assume per ogni z per calcolare un qualunque area sotto una normale N(µ, σ 2. Qui di seguito vengono tabulati alcuni valori che Φ assume (per gli altri, consultare la tavola della normale standardizzata: x Φ(x Esempio. Supponiamo che l altezza di una popolazione di studenti universitari sia distribuita normalmente con media µ = 170 cm e varianza σ 2 = 25 cm 2 o, in altre parole, supponiamo che estraendo casualmente 2

3 un individuo da tale popolazione la probabilità che egli abbia un altezza inferiore a x è data da P (X < x = x N(x; 170, 25. La probabilità che abbia un altezza inferiore a 170 cm può essere calcolata usando la tavola di Φ(z sopraesposta, infatti P (X < 170 = P ( X < = P (Z < 0 = Φ(0 = 0.5, 5 mentre la probabilità che il soggetto estratto abbia un altezza compresa tra 165 cm e 175 cm può essere calcolata nel seguente modo P (165 < X < 175 =P (X < 175 P (X < 165 =P ( X < P ( X < =P (Z < 1 P (Z < 1 = = o, ancora, la probabilità che il soggetto estratto abbia un altezza superiore a 180 cm è data da P (X > 180 =1 P (X < 180 = 1 P ( X < 5 5 =1 P (Z < 2 = 1 Φ(2 = = Approssimazione normale di probabilità binomiali Supponiamo di avere a che fare con una sequenza di n prove bernoulliane con probabilità di successo pari a p e sia X la variabile aleatoria che registra il numero di successi. Se n è molto elevato, la probabilità b ( n P (a X b = p x (1 p n k k è approssimabile dall area P (a X b b+0.5 a 0.5 k=a N(x; np, np(1 pdx = Φ e tale approssimazione migliora all aumentare di n. 3 ( ( b np a 0.5 np Φ np(1 p np(1 p

4 3 Esercizi 1. Il ritardo (in minuti con cui gli autobus della compagnia A si presentano al capolinea si distribuisce normalmente con media pari a 10 minuti e varianza pari a 9 minuti. Aspettando un autobus al suo capolinea, (a si calcoli la probabilità che un autobus della compagnia A arrivi in anticipo (b si calcoli la probabilità che arrivi con più di 20 minuti di ritardo (c è stabilito un margine di tolleranza di 5 minuti rispetto all orario ufficiale di arrivo: si calcoli la probabilità che l autobus arrivi entro il margine di tolleranza (d arrivano 4 autobus al capolinea: si calcoli la probabilità che almeno uno arrivi in anticipo. (e se la varianza dei ritardi non può essere cambiata, quanto dovrebbe essere il ritardo medio degli autobus della compagnia A affinchè almeno il 60% degli autobus arrivi in anticipo? (f Gli autobus della compagnia B sono in media puntuali, ma i loro ritardi si distribuiscono normalmente con una varianza pari a 36; si calcoli la probabilità con cui un autobus della compagnia B arrivi con più di 10 minuti di ritardo; (g sapendo che gli autobus delle compagnie A e B sono rispettivamente il 25% e il 75% di quelli che circolano in città, qual è la probabilità che un autobus arrivato in ritardo appartenga alla compagnia A? Soluzioni (a P (X < 0 = Φ( 10/3 = Φ( 3.33 = 1 Φ(3.33 = = (b P (X > 20 = 1 P (X < 20 = 1 Φ((20 10/3 = 1 Φ(3.33 = (c P ( X < 5 = P ( 5 < X < 5 = P (X < 5 P (X < 5 = Φ((5 10/3 Φ(( 5 10/3 = Φ( 1.67 Φ( 5 = 1 Φ( = = (d 1 ( =

5 (e per avere 0.60 P (X < 0 = P ( X µ < 0 µ = Φ(µ/3 si deve 3 3 avere µ 0.26 ovvero µ = (f P (X > 10 B = 1 Φ( 10 = = (g P (A = 0.25, P (B = 0.75, inoltre P (X > 0 B = Φ(0 = 0.5, quindi P (X > 0 AP (A P (A X > 0 = P (X > 0 AP (A + P (X > 0 BP (B ( = ( = La probabilità che in una centrale elettrica vi siano dei guasti all impianto nell arco di una giornata è pari a p = Si calcoli: (a il numero atteso di giorni in cui si verificherà un guasto nel corso dell anno (b la probabilità che il numero di giorni in cui si verifica un guasto sia compreso tra 7 e 21 (c la probabilità che il numero di giorni in cui si verifica un guasto sia compreso tra 1 e 9 giorni Soluzioni (a EX = = 3.65 (b P (7 X 21 Φ ( ( Φ = (c P (1 X 9 Φ ( ( Φ = Il controllo di qualità di una fabbrica di giocattoli prevede che un lotto di pezzi sia ispezionato integralmente se, campionandone il 10%, almeno un decimo dei giocattoli campionati è difettosa. Supponendo che la probabilità che un pezzo sia difettoso sia pari a p = 0.05: (a si calcoli la probabilità con cui un lotto di 1000 pezzi debba essere ispezionato integralmente (b si calcoli la probabilità che un lotto di 1000 pezzi che ne contiene 200 difettosi, non sia ispezionato integralmente Soluzioni 5

6 (a si ottiene (b si ottiene: P (X 10 = P (X < 10 = 9 k=0 Φ 100 k=10 ( 100 k ( ( 200 ( 800 k 100 k ( k ( k Φ ( = ( k ( k k k=0 ( ( Φ Φ = =

7 P (Z < z z