Deviazione standard delle misure : dove è la varianza e sono gli scarti quadratici

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1 ELEMENTI DI PROBABILITA Media : migliore stima del valore vero in assenza di altre info. Aumentare il numero di misure permette di approssimare meglio il valor medio e quindi ridurre l influenza degli errori casuali. Deviazione : migliore stima del massimo errore di precisione. La media della deviazione è data da: Deviazione media : assoluto;stima eccessivamente pessimistica è la media della somma delle deviazioni in valore Deviazione standard delle misure : dove è la varianza e sono gli scarti quadratici La d. s. è una valida indicazione di quanto disperse sono le misure rispetto al valore medio: Varianza :, quadrato della deviazione standard Variabile deterministica : grandezza il cui valore è prevedibile e ripetibile, descrivibile quindi mediante modelli deterministici. Variabile casuale : grandezza non prevedibile e non ripetibile. Una variabile casuale può essere: continua o discreta e prevedibile solo in forma statistica attraverso una distribuzione di probabilità. Le grandezza misurate sono considerate casuali e quindi servono modelli che forniscano dati ragionevoli. Istogramma : diagramma che mostra come i dati sono distribuiti sul campo di misura e indica le zone più probabili. Probabilità che si faccia una misura che appartenga ad un intervallo: dove è la funzione densità di probabilità. - probabilità su tutto il dominio di misura - probabilità di un valore assegnato Caso discreto : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un determinato evento, tra quelli possibili, espressi da un numero finito: dove m è il numero di evenienze del tipo di interesse o esiti positivi e n è il numero totale di soluzioni possibili, cioè dei possibili esiti. Caso continuo : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un valore della funzione, compreso tra due estremi:. Valore atteso : Varianza (prevista) : Calcolo delle probabilità : PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Linearizzazione :, esatta per variazioni infinitesime. Nel caso di misure possiamo sostituire alle variazioni le rispettive incertezze di misure ( ) ottenendo l incertezza del risultato: è il contributo all errore della funzione dovuto all errore. L incertezza viene pesata

2 dalla sensibilità della grandezza rispetto al parametro i-esimo. In forma adimensionale, l incertezza percentuale è data da: Radice della somma dei quadrati (RSS) : rappresenta una scelta ottimale, nel senso che tiene conto della probabilità che i diversi errori concorrano alla misura con il loro valore massimo: Varianza di :, cioè somma delle singole varianze delle singole variabili, ciascuna pesata con la sensibilità di per quella variabile. Disponendo di un valor medio, esprimiamo la varianza come:, in forma matriciale: I termini della matrice covarianza vengono definiti come: - Varianza per i termini diagonali (o auto-covarianza):, sempre positiva; - Covarianza per i termini extra-diagonali:, all aumentare del numero di misure tendono a 0 se scostamenti positivi e negativi hanno probabilità di presentarsi. Incertezza relativa: scriviamo dove è il coefficiente di amplificazione dell incertezza, che permette di valutare il peso relativo delle singolo incertezze senza ancora conoscerle e quindi di capire a quali elementi prestare maggiore attenzione, ragionando a incertezze relative equivalenti. Incertezza percentuale : dove è il contributo percentuale, coefficiente complessivo cioè tiene conto anche del valore atteso della variabile. Per migliorare la misura occorre bilanciare la qualità delle misure riducendo l incertezza sugli elementi più critici. Nel caso in cui la relazione sia costituita da una produttoria di potenze: secondo: CLASSIFICAZIONE DELLE INCERTEZZE. L errore percentuale sulla grandezza misurata è legato alle incertezza sulle singole misure Due possibilità di definizione del valore medio e della deviazione standard: a) Disponendo di una serie di valori: e b) Disponendo dell espressione della densità di probabilità: e Le componenti di incertezza sono classificate in relazione al metodo con il quale sono state determinate: - di tipo A: valutazione delle incertezze mediante analisi statistica di una serie di osservazioni/misure. - di tipo B: valutazione delle incertezze mediante strumenti diversi dall analisi statistica del tipo A. Incertezze di tipo A : una componente di incertezza ricavata con questo metodo è calcolata come deviazione standard, ricavata statisticamente come radice della varianza stimata e dal numero di gradi di libertà ad essa associati. L incertezza standard è. La valutazione è basata su un metodo statistico per l elaborazione dei dati.

3 Valutazione di incertezze del tipo A 1) ripetere N volte la misura (N piccolo comporta una insufficiente stima dello scarto tipo) 2) calcolare la media: 3) calcolare la stima dello scarto tipo: 4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media: Incertezze di tipo B : una componente di incertezza ottenuta con questo metodo è rappresentata da una quantità radice quadrata della varianza a sua volta determinata in base ad una ragionevole ipotesi di distribuzione di densità di probabilità, basata su tutte le informazioni disponibili. L incertezza standard è. Valutazione di incertezze di tipo B 1) individuare la distribuzione di probabilità applicabile (congruente con tutte le info disponibili) 2) calcolare il valore atteso: 3) calcolare la varianza: 4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media La densità di probabilità in un intervallo è costante al suo interno e nulla all esterno. Una valutazione di tipo B è basata sull esame di tutte le info disponibili come i risultati di precedenti misure, esperienza/informazioni del e sul sistema di misura. Poiché le info disponibili possono anche essere molto diverse è difficile ricavare un criterio unico. Si può affermare che l incertezza di tipo B sono espresse attraverso la deviazione standard della densità di probabilità che si è supposto descrivere la variabile casuale in esame. Incertezza estesa : per definire l incertezza in termini di affidabilità della misura si definisce l incertezza estesa, ottenuta moltiplicando l incertezza di misura per il fattore di copertura. L incertezza estesa della variabile è definita come:. Il fattore di copertura viene scelto sulla base del livello di confidenza desiderato per l intervallo dato da, tipicamente valori tra 2 e 3 con un rispettivo livello di confidenza rispettivamente di 95% e 99%. Si usa lo schema di variabili gaussiane poiché le medie di una variabile generalmente seguono questa distribuzione. Incertezza combinata : se tutte le misure affette da incertezza di tipo A sono acquisite con un numero di eventi elevato si possono combinare le incertezze e utilizzare direttamente il fattore di copertura valido per una variabile a distribuzione gaussiana. In generale vi sono procedure per la determinazione di queste incertezze pesando i contributi delle varie misure e le loro incertezze. Valutazione di uno strumento di misura Occorre cercare di scomporre il sistema di acquisizione e individuare i singoli elementi in modo da caratterizzare individualmente le possibili fonti di incertezza. Il processo di misura può essere suddiviso in: - dispositivi elementari (strumento generalizzato) - fasi distinte: o calibrazione (di ogni elemento): vengono definite le caratteristiche di qualità di ciascuno in termini di leggi ingresso-uscita e di incertezze; o acquisizione dei dati: fase in cui si esegue l attività di misura e si memorizzano i dati senza ulteriore manipolazione. Si ha quindi utilizzo di sensori, strumenti di misure e singoli accessori e si verificano gli effetti di installazione/carico/interferenza anche delle variabili non controllate; o trattamento dei dati: si utilizzano manipolazioni numeriche necessarie per ridurre il risultato richiesto. Determinazione dell incertezza combinata: compatibili le incertezza di tipo A e B:. Per poter applicare la combinazione, occorre rendere

4 - se il contributo è di tipo A si usa la deviazione standard della media, quindi l incertezza della media non è estesa: ; - se il contributo è di tipo B occorre determinare una deviazione standard ipotizzando la densità di probabilità corrispondente. In assenza di indicazioni si può assumere l distribuzione uniforme: dove è la semi-ampiezza del rettangolo corrispondente. Mediante il teorema del limite centrale si può dimostrare che trattare l incertezza standard combinata come una grandezza a distribuzione gaussiana ed estesa con il coefficiente di copertura necessario per ottenere il livello di confidenza richiesto,, è valido indipendentemente dalla tipologia delle incertezze combinate o dalla distribuzione assunta per le incertezze di tipo B. CALIBRAZIONE E REGRESSIONE La calibrazione è l operazione che permette di mettere in relazione l uscita di uno strumento con l ingresso attraverso l impiego di una misura nota, certa e precisa dell ingresso stesso. La calibrazione può essere: - Diretta, quando le uscite dello strumento vengono confrontate con ingressi noti (standard); - Indiretta confrontando le uscite con quelle fornite da uno strumento già calibrato(quando non si conosce con esattezza l ingresso). (L accuratezza dello strumento utilizzato per confronto deve essere un ordine superiore di quella dello strumento da tarare: ) Modalità di prova : la calibrazione prevede l applicazione di ingressi sull intero campo di misura dello strumento. La conoscenza dei fenomeni fisici coinvolti permette di valutare a priori quale metodo utilizzare. Gli ingressi possono essere applicati in maniera sequenziale o casuale: - prova sequenziale prevede la variazione progressiva dell ingresso sull intervallo desiderato in salita (upscale) e in discesa (down-scale): ogni applicazione dell ingresso consiste in un incremento/decremento del precedente. Vantaggio prova: capacità di evidenziare effetti di isteresi. - prova casuale prevede la somministrazione degli ingressi in un ordine casuale, non prestabilito: ogni applicazione dell ingresso è indipendente dal precedente. Vantaggio: permette di minimizzare gli effetti indesiderati come le interferenze sugli ingressi o l isteresi. Regressione di dati sperimentali : è pratica comune correlare dati mediante la regressione (fitting) di funzioni matematiche, come polinomi di basso ordine o esponenziali. Una funzione comunemente utilizzata a questo scopo è la retta: le regressioni lineari sono infatti molto spesso appropriate per l interpretazione di dati. Spesso si cerca di ricondursi a questo tipo di fitting. Nel caso polinomiale generico, la funzione di regressione assume la forma:, che in forma matriciale: L errore per ogni punto è: L errore quadratico totale è: ; sfruttando la forma matriciale: La procedura di regressione ai minimi quadrati prevede di minimizzare l errore totale trovando il punto di stazionarietà rispetto ai parametri. Scriveremo quindi equazioni del tipo:, che con la notazione matriciale: in forma più compatta.

5 La matrice risolutiva ed il vettore di termini noti hanno una struttura ben precisa (sottintesa la sommatoria): Altro modo di calcolare: Per i diversi ordini avremo: - 0, ne consegue Il valore medio di una serie è il valore che minimizza la somma degli scarti quadratici - 1, il procedimento consiste in dove - 2 Un indicatore sintetico della qualità della regressione è il coefficiente di regressione ottenuto come: dove da cui: - se tutti i punti giacciono sulla retta; - se i punti hanno una distribuzione casuale. Una buona correlazione presenta un coefficiente di regressione superiore a Regressione lineare con trasformazione: le coordinate logaritmiche consentono la semplificazione dell interpretazione dei dati permettendo la visualizzazione degli stessi in forma rettilinea. Esaminiamo un equazione esponenziale:. Applicando il logaritmo ad entrambi i termini otteniamo:. Poiché è una costante abbiamo ottenuto una relazione lineare tra e. Eseguendo quindi il logaritmo delle misure, otteniamo un problema di regressione nella forma lineare canonica: con e. Vi sono 3 possibili schemi operativi: 1) Regressione totale, utilizzando tutti i valori disponibili; 2) Regressioni indipendenti sui singoli cicli di scarico e valutazione dei valori medi e delle deviazioni standard dei coefficienti di regressione (fornisce un indicazione di incertezza per i coefficienti); 3) Regressione sui valori medi per ogni punto di ingresso (è la più coerente con la formulazione). Risultati identici se i punti di misura sono gli stessi per tutti i cicli. Operare una regressione su punti multipli non è corretto dal punto di vista teorico. Un approccio formalmente più corretto potrebbe essere: - Ricondurre le misure multiple al loro valore medio e alla rispettiva incertezza; - Effettuare una regressione sui valor medi; - Propagare l incertezza delle misure sui coefficienti della regressione.

6 Incertezze sui coefficienti di regressione: nella teoria alla base della regressione si assume che le misure non siano affette da incertezza. Avendo a che fare con misure reali bisogna fare attenzione al loro propagarsi ai coefficienti della regressione. La presenza di questi errori comporta la propagazione di un incertezza sui coefficienti della regressione lineare. Assumendo che tutte le misure siano affette da incertezza, le incertezze sui coefficienti della regressione sono date dalle seguenti espressioni: La curva diventa:, per cui la stima dell uscita fornita dalla retta di regressione può collocarsi in qualsiasi punto all interno di una banda la cui ampiezza è minima allo zero e massima all estremo superiore. Incertezza della Calibrazione: è opportuno utilizzare un campo simmetrico per la regressione mediante un riferimento d appoggio centrato sul campo di misure. L incertezza è minore nella zona centrale del campo di misura Incertezze su misure x: l errore dovuto ad una incertezza in x può essere trasformato in un errore dovuto ad una incertezza equivalente in y semplicemente moltiplicandolo per il coefficiente di pendenza della regressione lineare: : incertezza y equivalente. Incertezze su misure x e y: possiamo combinare le incertezza dei due casi separati ottenendo un incertezza equivalente per le misure in y: Calibrazione e taratura La taratura è l insieme delle operazioni che stabiliscono, sotto condizioni specificare, la relazione tra i valori indicati da uno strumento di misurazione, o da un sistema di misurazione, o i valori rappresentati da un campione materiale e i corrispondenti valori noti di un misurando. È il procedimento che determina come i segnali di uscita degli strumenti sono legati alle misure dei misurando e i valori nominali dei campioni materiali alle misure delle grandezze da essi riprodotte. Lo scopo della taratura è quello di qualificare il sistema di misura, legando la grandezza di ingresso con quella di uscita. - I dati vengono trascritti/registrati in tabelle - I dati registrati vengono elaborati mediante una regressione (lineare) in modo da ottenere la curva di calibrazione in forma analitica: - La relazione viene risolta rispetto all ingresso di misura. Il legame così definito è chiamato curva di taratura dello strumento (utilizzata durante la misura):. La curva di taratura permette di ricavare la misura da assegnare al misurando per ogni valore di lettura fornito da un dispositivo di misurazione. Tale curva è una relazione biunivoca tra ogni valore fornito dallo strumento e il corrispondente valore da assegnare al misurando. Oltre alla curva di taratura può essere utile il diagramma di taratura per determinati valori delle grandezze di influenza (ricavato a partire dalla curva di taratura con l aggiunta della banda di incertezza). Permette di ricavare da ogni valore di lettura fornito da un dispositivo, per misurazione e/o regolazione, la misura da assegnare al misurando. Esso definisce una fascia di possibili valori del misurando corrispondenti ad un uscita dello strumento. È costituito da un intervallo la cui semiampiezza è l incertezza strumentale, che rappresenta l incertezza associata al valore dato dalla curva di taratura per garantire la compatibilità della misura corrispondente alla lettura effettuata. Passi del procedimento: 1) Acquisire le coppie di valori ingresso/uscita sull intero campo di misura; 2) Mettere i punti in grafico;

7 3) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni; 4) Calcolare e tracciare la retta di regressione; 5) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni alla retta di regressione; 6) Calcolare e tracciare l intervallo di confidenza. Inserire i punti in un grafico permette di evidenziare comportamenti anomali come punti discutibili o differenze di comportamento tra i vari cicli di carico. Linerità Errore di linearità: valore massimo delle deviazioni delle misure dalla retta di regressione: oppure, dove è esteso alle sole curve di carico. Isteresi : proprietà di un materiale di fornire valori di lettura diversi in corrispondenza di un medesimo misurando, quando questo viene letto per valori crescenti e per valori decrescenti. Il valore dell isteresi è la differenza dei valori di lettura ottenuti in corrispondenza dello stesso misurando quando questo viene fatto variare per valori crescenti e decrescenti. Errore di isteresi: valore massimo delle differenze tra il valore di carico e scarico in corrispondenza di un punto di misura (per cicli di carico e scarico regolari): oppure Ripetibilità: calcolo dell intervallo di dispersione per ciascun punto di carico a parità di modalità di presentazione dell ingresso. L indicatore della ripetibilità dello strumento è, è il fondo scala, il cui risultato dipende dalla modalità di carico. Utilizzo degli strumenti : le regole di comportamento prevedono anche un controllo sulle condizioni ambientali durante l esecuzione della misura, corretto riscaldamento della strumentazione prima della misura, un accurata installazione per evitare sollecitazioni non volute, la corretta manutenzione e il corretto immagazzinamento quando non utilizzato. Azzeramento: insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per imporre di fornire un valore di lettura nullo, in corrispondenza ad uno stato di riferimento specifico del misurando. Messa a punto (in un punto): insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per ottenere determinati valori di lettura in corrispondenza di particolari valori noti del misurando. Necessaria per mantenere il livello di qualità generale. Calibrazione periodica : le procedure di qualità richiedono una calibrazione periodica e di documenti che attestino il livello di qualità stesso. Il documento di calibrazione deve contenere i riferimenti meteorologici, i dati rilevati e i coefficienti della calibrazione con le relative incertezze. Periodicamente sono necessarie anche verifiche sulle caratteristiche principali (ripetibilità, isteresi, ecc.). SISTEMI DI ACQUISIZIONE DATI Segnale analogico : può essere rappresentato mediante una funzione del tempo che gode delle seguenti caratteristiche: - La funzione deve essere continua nel tempo )definita per ogni valore del dominio anche per istanti temporali infinitamente vicini); - La funzione deve essere continua in valore (diminuendo l intervallo temporale che seoara due valori la loro differenza diminuisce regolarmente e con continuità) Segnale digitale : è costituito da una funzione tempo discreta e quantizzata. Tale funzione risulta: - definita solamente in un insieme numerabile di istanti equispaziati ; - dotata di un codominio costituito da un insieme discreto di valori:.

8 Pregi dei segnali digitali: - Resistenza al rumore: maggiore robustezza ai disturbi rispetto ai segnali analogici. Questi ultimi, infatti, sono costituiti da funzioni continue sensibili al rumore che determina una variazione del valore del segnale, qualunque sia l ampiezza e la potenza del rumore. I segnali digitali presentano un numero finito di valori separati da una fascia proibita : se il rumore non ha ampiezza e potenza tali da determinare un superamento della fascia proibita che separa due valori contigui non si riscontra alcuna alterazione del valore. - Elaborazione: i segnali digitali possono essere elaborati più facilmente di quelli analogici poiché sono intrinsecamente compatibili con i sistemi di calcolo. Per elaborare matematicamente i segnali analogici si deve ricorrere a circuiti appositamente realizzati mediante i quali è possibile realizzare solo operazioni relativamente semplici. I segnali numerici possono invece essere elaborati mediante microprocessori che possono eseguire operazioni necessarie senza richiedere appesantimenti dell hardware circuitale. Si operano approssimazioni della codifica e dell aritmetica in forma finita. - Registrazione: e registrati in maniera più fedele e stabile rispetto a quelli analogici. La conversione A/D richiede tre fasi successive: - Campionamento discretizzazione del tempo del segnale - Quantizzazione discretizzazione dell ampiezza - Codifica uso di parole binarie per esprimere il valore del segnale. Campionamento: campionare un segnale analogico significa prelevare da questo una successione temporale di valori costituita dalla sequenza dei valori istantanei assunti dal segnale in corrispondenza di particolari valori di tempo detti istanti di campionamento e il suo reciproco viene detto frequenza di campionamento. Un modello matematico del campionamento può essere definito come prodotto del segnale con una serie di funzioni di campionamento :. Il risultato è una serie di valori corrispondenti all ampiezza del segnale nell istante del campionamento Teorema del campionamento : per campionare al meglio il segnale occorre fissare una frequenza di campionamento in modo da ridurre gli errori che inevitabilmente si compiono. Il campionamento infatti provoca una perdita di informazioni del segnale analogico sul valore assunto in tutti gli istanti di tempo diversi da quelli di campionamento. Il teorema detta le condizioni perché non si abbia una perdita di info: se un segnale è campionato con una frequenza almeno doppia rispetto al suo massimo contenuto in frequenza il campionamento non introduce errori:. Campionando a frequenza la banda di frequenza ammissibile è. Si identifica quindi la frequenza di Nyquist come. Aliasing : se il criterio non fosse rispettato, si incorrerebbe nel fenomeno di aliasing, dove il contributo energetico delle frequenze per le quali il teorema di campionamento non è rispettato appaiono a frequenza inferiore e si confondono con quelle presenti in quella parte dello spettro. In questo caso si parla di sottocampionamento. L aliasing si manifesta anche nel dominio delle frequenze: il picco della sinusoide appare ad una frequenza inferiore a quella reale. Risultano delle frequenze che non esistono realmente nella banda delle frequenze ammissibili, ma sono le immagini (alias) delle stesse componenti al di fuori della banda stessa. In assenza di un termine di confronto, non si è in grado di dire se quello che si visualizza sia reale o apparente, per questo bisogna cercare di evitare l aliasing. Ogni componente armonica per cui non valga il teorema del campionamento è soggetta ad aliasing. L effetto è però diverso per segnali a frequenza diversa e su uno stesso segnale varia con la frequenza di campionamento. Se non si conosce completamente e a priori lo spettro del segnale non si può prevedere l alterazione della frequenza e in ogni caso non è possibile rimuovere l effetto di aliasing. Consideriamo una generica sinusoide. Si può esprimere la frequenza in multipli della frequenza di Nyquist: dove è un numero intero (nullo se il teorema del campionamento è verificato) e due fattori è un numero frazionario. La sinusoide campionata diventa:. Siccome e sono numeri interi per ogni valore intero dei. Si distinguono due casi:

9 - Se è un numero pari, per ogni valore assunto da dove la frequenza apparente frequenza con la pendenza corretta ma traslata di - Se è un numero dispari, dipendente dal valore di rappresenta una retta di ridotta e cambiata di segno. dove la frequenza apparente rappresenta una retta con pendenza Teoremi di convoluzione Si può vedere il campionamento come il prodotto nel tempo della funzione originale per una sequenza di impulsi di campionamento. Bisogna quindi ragionare sui fattori che concorrono nel mantenere o modificare la frequenza della funzione prodotta. In questo modo si può giustificare razionalmente il fattore che dimezza la banda osservabile rispetto a quella di campionamento. La trasformata di Fourier di un segnale e la sua anti trasformata sono date da:. Si può ricorrere al teorema di convoluzione per dimostrare quanto detto sopra e capire se e quando lo spettro di una funzione campionata corrisponde a quello della funzione continua originaria, almeno per la zona di interesse. Teorema della convoluzione : la trasformata di un segnale campionato è data dalla convoluzione della trasformata del segnale continuo e di quella della funzione di campionamento. Possiamo dunque affermare che: Teorema della convoluzione in frequenza : il prodotto di due funzioni nel tempo ha come trasformata la convoluzione delle rispettive trasformate: dove. La convoluzione prevede l integrale del prodotto delle due funzioni una volta che una di esse sia stata ritardata in frequenza della quantità e ribaltata rispetto all asse delle frequenze. Il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla quale far agire le due operazioni menzionate. Teorema della convoluzione nel tempo : il prodotto di due funzioni in frequenza ha come anti trasformata la convoluzione delle rispettive storie temporali: Sintesi : la risposta di un sistema lineare caratterizzato dalla funzione di trasferimento, a sua volta trasformata della risposta impulsiva, ad una forzante, è data dall antitrasformata del prodotto dove, o in alternativa dalla convoluzione della risposta impulsiva e delle storia temporale del carico:. Metodi per evitare l aliasing : il fenomeno dell aliasing non è rimuovibile e pertanto deve essere evitato a priori, infatti i filtri che si possono utilizzare possono elaborare il segnale ma non influire sull aliasing. Vi sono 2 modi per evitare il fenomeno: - Alzare la frequenza di campionamento fino a rispettare il teorema del campionamento (sempre che il segnale sia a banda limitata) - Inserire un filtro passa-basso a monte del convertitore A/D in modo da creare artificialmente una banda limitata Sovracampionamento : serve solo se il trasduttore utilizzato ha banda passante limitata. Alcuni trasduttori presentano caratteristiche dinamiche analoghe a quelle di un filtro passa-basso (strumenti con smorzamenti che arrivano vicino a quello critico). Se il campionamento avviene ad una frequenza più alta di quella propria del trasduttore il segnale sarà automaticamente limitato in frequenza dalla banda passante del trasduttore stesso. L eccesso di campionamento può essere rimosso mediante una decimazione della storia temporale Filtraggio : prevede l utilizzo di filtri passa-basso, chiamati filtri anti-aliasing che attenuano tutte le armoniche del segnale superiori ad una frequenza caratteristica, detta frequenza di taglio. Questa deve essere definita con

10 attenzione in funzione delle caratteristiche del filtro, del segnale da acquisire, dell intervallo di frequenze di interesse e le caratteristiche del sistema di acquisizione, compresi i condizionatori. Si assume come frequenza di Nyquist quella per cui il contributo armonico sia ridotto ad un livello assegnato confrontabile con il rumore che caratterizza il sistema di misura. Due tipologie di problemi: - Regolato il filtro, determinare la frequenza di campionamento per evitare aliasing; - Trovare la frequenza, multipla di quella di taglio, a partire dalla quale si può ritenere di aver cancellato i contributi armonici. Un filtro ideale ha pendenza costante dopo la frequenza di taglio, ma ciò è irreale. Il segnale in uscita non potrà avere ampiezza inferiore al rumore dello strumento e diventerà circa costante. Non ha senso campionare con frequenze troppo elevate perché il contributo armonico del segnale filtrato sarebbe sostituito da rumore. In più, possono essere presenti rumori non causati da filtro ma da elementi precedenti, maggiormente visibili se il filtro è di ottima qualità. Scelta la frequenza di taglio, nota la retta di attenuazione e l attenuazione richiesta, sarà opportuno scegliere come frequenza di Nyquist l intersezione del segmento attenuante con la retta orizzontale ad attenuazione pari a del rapporto per cui:. Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing ma la sua ampiezza sarà trascurabile e dell ordine del rumore. La frequenza di campionamento sarà ovviamente:. Finestra di osservazione : se si osserva un fenomeno per passi di campionamento, la finestra di osservazione è ed equivale ad applicare al segnale una finestra uniforme avente valore unitario nel periodo di osservazione e nullo all esterno. Il numero di campionamenti della storia è pari ad. Il contenuto in frequenza è dato dalla forma digitale della trasformata di Fourier che è anch essa definita da valori complessi. La trasformata di un segnale reale è simmetrica per la parte reale e antisimmetrica per quella immaginaria ed è definita per un campo di frequenze definita in base alla frequenza di Nyquist. Tra lo e si hanno punti spaziati in frequenza di:. L inverso del tempo di osservazione fornisce la distanza tra i picchi della trasformata digitale, quindi la risoluzione in frequenza:. Esiste un legame tra la frequenza di acquisizione e il passo in frequenza della trasformata: l espressione della trasformata si semplifica: con e. Aumentando la frequenza di campionamento si allarga la band di frequenze osservabili. Aumentando il tempo di osservazione (a parità di frequenze di campionamento) aumenta la risoluzione in frequenza. Anche in questo caso si può ricorrere al teorema della convoluzione moltiplicando il segnale campionato con la funzione che descrive la finestra di osservazione. La base della campana è inversamente proporzionale alla lunghezza della finestra di osservazione. Aumentare la dimensione della finestra temporale comporta la riduzione della base e l incremento dell altezza del lobo principale. Supponendo di avere una funzione sinusoidale correttamente campionata e osservata, la trasformata si ottiene associando quella del segnale campionato con quella della funzione di finestratura. L effetto risultante è la riproduzione su ciascun picco della trasformata della funzione finestra. L energia associata ad una frequenza viene distribuita su un intervallo di frequenze tanto più ampio quanto più breve del è la finestra di osservazione: questo è il fenomeno del Leakage, che non si presenta solo per le sinusoidi con periodicità sottomultiplo intero del periodo di osservazione. Leakage : rimedio costituito dall uso di finestre temporali sul segnale misurato, in modo da ridurre il fenomeno ma non eliminarlo del tutto. Le finestre comunemente utilizzate hanno equazioni nella forma:. Il problema non è trascurabile poiché tutte le armoniche subiscono questo effetto distribuendo l energia su una banda di frequenza più ampia. Si commettono quindi errori sia nell identificazione delle frequenze dei picchi che nel loro smorzamento. L effetto è noto anche con il nome di Smearing. Per i transitori il problema è

11 meno sentito a patto di utilizzare una finestra di osservazione abbastanza lunga da contenere tutto il fenomeno. In questo caso bisogna però utilizzare delle finestre di tipo esponenziale. Discretizzazione della frequenza : l utilizzo di uno spettro equivale ad effettuare un campionamento del dominio delle frequenza. Supponendo di avere una storia temporale (discreta e a banda limitata), ottenuta campionando un segnale non periodico, il corrispondente spettro, a differenza di quello originale, sarà infinto e periodico (discreto in frequenza). Per analizzare gli effetti della digitalizzazione in frequenza occorre applicare il teorema di convoluzione nel tempo, avendo infatti il prodotto nel dominio delle frequenze. Nel tempo la convoluzione replica la funzione in corrispondenza di tutti i picchi a distanza pari al tempo di osservazione: la funzione è quindi periodicizzata. La periodicizzazione nel tempo è quindi un fenomeno duale rispetto alla replica delle immagini in frequenza a seguito del campionamento. In questo caso però non c è pericolo di un fenomeno come l aliasing in quanto le descrizioni dei due domini e dei due processi di discretizzazione sono coerenti, tuttavia resta il problema della continuità della funzione. Quantizzazione Con una proporzione tra un campo di valori in ingresso e uscita è possibile effettuare la quantizzazione e intrinsecamente richiedere dei limiti per i valori in ingresso e uscita. Da una parte si avranno il valore minimo e massimo della tensione in ingresso, dall altra il numero binario minimo e massimo il uscita. Sono disponibili due alternative: - Campo unipolare o Ingresso: estremo inferiore nullo ed estremo superiore o Uscita: - Campo bipolare o Ingresso: estremo inferiore ed estremo superiore (simmetrico) o Uscita: Il campo di misura viene suddiviso in un numero finito di intervalli contigui. Si possono avere due alternative principali: - Suddivisione in intervalli di ampiezza costante: quantizzazione uniforme - Suddivisione in intervalli di ampiezza diverse: quantizzazione NON uniforme La quantizzazione consiste nell attribuzione del segnale ad un livello tra quelli disponibili, quindi tutti i valori compresi tra i due estremi dell intervallo verrà assegnato un singolo numero binario. Questo comporta un limite di risoluzione. Il numero di intervalli in cui suddividere il campo di misura è arbitrario, ma per consuetudine, operndo con sistemi binari, si adotta un valore di potenza di 2 in ragione del numero di bits utilizzati per la codifica del segnale. Incertezza di quantizzazione : tutti i valori che rientrano nell intervallo vengono associati ad uno stesso valore digitale e la misura così ottenuta è affetta dall errore di quantizzazione e ha come valore massimo metà del quanto:. La distribuzione di probabilità è uniforme. L incertezza può essere ridotta riducendo il campo di misura o aumentando il numero degli intervalli in cui questo viene suddiviso. Essendo costante, assume un peso relativo più o meno importante a seconda del valore della misura: tanto più piccola rispetto al fondo scala tanto maggiore è il valore dell incertezza relativa di quantizzazione. Per cercare di contenere l incertezza di quantizzazione a livelli accettabili si possono utilizzare quantizzazioni non uniformi: - Quantizzazione uniforme: l errore relativo dell incertezza non è uniforme sul campo di misura;

12 - Quantizzazione non uniforme: l errore relativo dell incertezza è uniforme sul campo di misura. Risoluzione : l incertezza di quantizzazione corrisponde alla risoluzione, cioè la minima variazione della grandezza in ingresso apprezzabile da quantizzatore. Corrisponde al valore del bit meno significativo e viene detta least significant bit (LSB). La risoluzione tende a crescere all aumentare del numero di bits a parità di campo di misura Un altro problema tipico è costituito dalla presenza nel segnale di un valore costante che obbliga ad adeguare il fondo scala al valore massimo. La componente costante può essere rimossa con un opportuno circuito di condizionamento analogico: un filtro passa-alto che rimuova solo la componente costante (modalità AC) o un circuito di offset per aggiungere/togliere una tensione costante pari al valore medio del segnale. Si preferisce la prima soluzione. Togliendo la parte costante si fa in modo che la risoluzione operi solamente sulla parte dinamica del segnale. Naturalmente un alto numero di bits risolve a monte il problema. Conversione di unità fisiche : alla codifica deve sempre essere applicata la relazione di conversione, basata sul fondo scala, per associare alle ordinate il valore fisico della misura di tensione corrispondente:. Si determina la misura in unità fisiche mediante l utilizzo del coefficiente di taratura:. Ci sono diversi motivi per cui il funzionamento di un convertitore AD si discosta da quello nominale, come le imperfezioni nella realizzazione del convertitore DA che produce il segnale di confronto. Se la risoluzione del convertitore è elevata e la quantità della componentistica buona, la differenza tra la funzione a gradini e quella nominale è piccola. L ampiezza della fascia di non linearità definisce il massimo scostamento della caratteristica reale da una retta. In presenza di forte non linearità differenziale un gradino può essere totalmente assorbito da quelli adiacenti, in questo modo il codice relativo al gradino scomparso non sarà presente all uscita. Tempo di quantizzazione : i circuiti AD richiedono un tempo finito per completare la loro funzione e quindi la conversione ha inizio al tempo e finisce dopo secondi. Durante questo tempo è indispensabile che il segnale da convertire presenti delle fluttuazioni minime, altrimenti potrebbe rendere imprecisa o addirittura impossibile la conversione stessa. Per eliminare questo problema si utilizza un dispositivo che congela il segnale per il tempo necessario al completamento della quantizzazione: il mantenitore o sample/hold. Il circuito mantiene in uscita il valore del segnale nell istante nominale di campionamento utilizzando un condensatore come dispositivo di memorizzazione. Il sistema di acquisizione viene programmato in modo che il circuito S/H si attivi subito prima del convertitore memorizzando la tensione. Questa verrà poi inviata al convertitore mediante la scarica del condensatore. Dopo la chiusura del circuito occorre attendere la completa ricarica prima di poter riattivare il mantenimento. A questa circuiteria sono legati dei problemi dovuti alla progressiva perdita di carica del condensatore che porta ad una caduta di tensione in uscita. Codifica : consiste nell associare ad ogni intervallo in sui è stato suddiviso il campo di misura un codice binario che lo identifichi univocamente. Il numero di bits determina il numero massimo di intervalli in cui è possibile suddividere il campo, pertanto influisce sulla risoluzione e quindi sull entità dell incertezza di quantizzazione. Convertitori Convertitore A/D o ADC : è l elemento fondamentale di qualsiasi sistema di acquisizione dati: con una cadenza temporale fissata esegue l operazione di Conversione (quantizzazione+codifica). Le caratteristiche principali sono: - Risoluzione (numero di bits, errore di quantizzazione) - Velocità (tempo di conversione dal dato analogico al digitale) - Fondo-scala (dinamica di ingresso, unipolare/bipolare) Il convertitore può essere visto come un sistema costituito da 4 elementi principali: - un convertitore DA con ingresso a bits che rende in uscita un segnale analogico il cui valore è proporzionale al prodotto tra il valore numerico posto al suo ingresso e il quanto; - una unità logica di controllo che può variare il valore numerico secondo una particolare strategia; - un generatore di tensione campione; - un comparatore.

13 CONVERTITORE A/D INTEGRATORE: La strategia di ricerca più semplice è quella di un contatore. All inizio della conversione l Unità Logica di controllo (ULC) dispone gli N bits della parola al valore nullo e avvia un ciclo di passi durante il quale incrementa il contatore in ingresso al convertitore DA. Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni: - Incrementa di 1 il contatore (integra); - Genera l uscita analogica corrispondente; - Se la differenza tra la tensione prodotta e quella da misurare è al disotto della soglia del comparatore (data dall errore di discretizzazione) il ciclo si conclude e la parola binaria viene memorizzata. CONVERTITORE A/D AD APPROSSIMAZIONI: Più efficiente è il convertitore a successive approssimazioni che opera mediante una ricerca binaria del valore attuata a passi sempre più fini. All inizio della conversione l Unità Logica di Controllo (ULC) dispone gli N bits della parole al valore nullo e avvia un ciclo di N passi che scandisce i bits a partire da quello più significativo (MSB). Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni: - Pone ad 1 il bit corrispondente al ciclo; - Verifica se la tensione prodotta da un DAC a fronte della parola binaria; - Se la tensione di riferimento risulta superiore lascia il bit al valore 1, altrimenti lo mette a 0; - Alla fine del ciclo la parola binaria è completa CONVERTITORE A/D ISTANTANEO: Il convertitore flash opera come circuito quantizzatore/codificatore. Il dispositivo può essere costituito da un partitore resistivo che genera le tensioni corrispondenti agli estremi degli intervalli in cui è stato suddiviso il campo di misura, da una schiera di comparatori analogici e da una rete che ha il compito di eseguire la codifica del valore di uscita. Funzionamento: la sequenza di resistenze realizza una caduta di tensione progressiva. Queste tensioni vengono confrontate dalla schiera di comparti tori con la tensione da misurare, ottenendo un valore alto o basso. I due compartitori con uscita discorde sono a cavallo della misura: la misura infatti ricade nell intervallo delle tensioni di codifica corrispondenti alla loro posizione nella schiera. La rete combinatoria ha il compito di codificare tale informazione nel formato binario prescelto. Questi convertitori sono in grado di fornire le prestazioni più elevate, ad un costo ovviamente più elevato; data la complessità dello schema non può avere una risoluzione troppo alta (tipicamente 4-8 bits) CONVERTITORE D/A Consente di generare un segnale continuo nel tempo, ma sempre discreto per ampiezza, a partire da un numero binario. Può essere costituito da un sommatore che combina tanti segnali quanti sono i bits del convertitore, ciascuno pesato con il rapporto tra una opportuna resistenza di canale e una resistenza di controreazione (se il bit è nullo il circuito è aperto). Per avere un comportamento lineare servono resistenze correttamente scalate. CONVERTITORE D/A A SCALA DI RESISTENZE: è composto da resistenze tutte uguali (anziché di peso relativo ). Questa architettura rende possibile una maggiore precisione del convertitore e quindi anche del convertitore AD nel quale venga inserito. Sistema di acquisizione dati : utilizzano la componentistica descritta per consentire l acquisizione multicanale. I componenti principali sono: - convertitore AD; - circuito di amplificazione; - multiplexer (commutatori di canale); - circuito di memoria SH. Anche filtri anti aliasing etc. Questi elementi possono essere organizzati in architetture diverse per ottenere possibilità operative e prestazioni differenti. Due soli elementi restano in posizioni prestabilite: il trasduttore (primo) e il convertitore AD (ultimo). Il filtro anti-aliasing (AA) deve operare su un segnale di analogia con l ingresso quindi prima di elementi che ne modifichino la storia temporale. L hardware AD è fisicamente disgiunto dal computer che svolge i compiti di programmazione, memorizzazione, visualizzazione e manipolazione. Sono possibili collegamenti a Bus interno (schede acquisizione dati) o a collegamento esterno (con protocolli di comunicazione). Vantaggi del primo:

14 - costo e dimensioni contenuti in quanto il dispositivo di acquisizione non necessita né un proprio contenitore né una propria alimentazione (fornita direttamente dal PC); - maggiore velocità di trasferimento dati dall acquisizione al PC. Vantaggi del secondo: - completa indipendenza dei sottosistemi; - possibilità di misure remote. Multiplexer (MUX) : permette di mettere in continuità elettrica uno degli interessi di un sistema multicanale con l unica linea in ingresso al convertitore analogico/digitale. Collega ciclicamente un ingresso con l uscita seguendo una temporizzazione programmata che consente l acquisizione multicanale. Il circuito SH e quello amplificatore possono essere posizionati indifferentemente prima o dopo il MUX, mentre il filtro AA (uno per canale) deve essere posizionato prima. Vi è la possibilità di adeguare il condizionamento al singolo canale senza perdere tempo se l amplificatore viene posto a monte del MUX (anziché a monte del convertitore). Acquisizione multicanale : con la struttura precedentemente descritta si ha un ritardo tra l acquisizione di un canale e quello successivo pari alla somma dei tempi di conversione e di commutazione del Multiplexer. Il collegamento sequenziale dei canali in ingresso con un unico convertitore comporta un ritardo progressivo nell acquisizione. Per effettuare misure contemporanee su tutti i canali ci sono due tecniche: - scheda SH e AD per ogni canale; - scheda a soli SH multipli prima del MUX ad attivazione contemporanea. Metodi di ingresso : le schede spesso presentano due modalità di utilizzo: differenziale e a riferimento unico. Se la scheda è di quest ultimo tipo allora tutti i segnali che gli vengono collegati devono condividere la stessa linea di terra. Può risultare più conveniente misurare la differenza tra le due linee, alta e bassa, del segnale di ingresso, usando così la modalità differenziale. LA presenza di un rumore fluttuante o di un offset stazionario, comune alle due linee, viene cancellata dal segnale prima della lettura da parte dell AD. Tuttavia questa modalità riduce (dimezza) il numero di ingressi disponibili. Software : ogni componente della scheda di acquisizione deve essere istruito su come e quando fare le operazioni richieste. I comandi vengono comunicati alla scheda mediante la scrittura di codici particolari in apposite posizioni della memoria, dette registri. ANALISI IN FREQUENZA L analisi in frequenza è utile perché: - semplifica i problemi; - si ha una distribuzione delle energie lungo lo spettro; - si possono individuare segnali di piccola ampiezza, specialmente a frequenze elevate. Ciò significa che si ha la necessità di utilizzare schemi opportuni per recuperare sensibilità alle frequenze elevate. Trasformata di Fourier : permette di scomporre un segnale nelle sue due componenti armoniche. L integrale di Fourier definisce la trasformazione più generale tra tempo e frequenza: Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione e quindi può essere invertita:. Le funzioni coinvolte sono continue, complesse e infinite nel tempo e nella frequenza anche se tipicamente si rappresentano in. Condizioni di esistenza: -, sufficiente ma non necessaria - e con decrescente per crescente.

15 Se almeno una di queste condizioni è soddisfatta è possibile trasformare in e viceversa. La trasformata di Fourier è un potente mezzo per l analisi dei segnali permettendo di risolvere un problema analiticamente più semplice di quello originale. L integrale è la generalizzazione del concetto di serie dal discreto al continuo, la serie può pertanto essere vista come un caso particolare dell integrale. Di seguito ci si limiterà a trattare funzioni temporali reali. Il contenuto in frequenza, cioè la serie o l integrale di Fourier, è una funzione complessa della frequenza, discreta la prima, continua la seconda. Rappresentazione : vi sono vati tipi di rappresentazione: - Re/Im vs frequenza; - Im vs Re (diagramma di Nyquist); - Ampiezza/fase vs frequenza dove l ampiezza è e la fase. Normalmente in quest ultimo caso si rappresenta il semipiano a frequenze positive. Se si vuole mantenere l integrale sotteso dalla curva (energia) occorre raddoppiare il valore dell ampiezza. Derivazione : Si può dimostrare che c è una relazione tra la trasformata di una variabile e la sua derivata:. Questa proprietà può essere applicata ai sistemi dinamici di tipo che in frequenza assumono questa forma. Ne risulta un equazione facilmente risolvibile per ogni frequenza di definizione del carico esterno, non occorre integrare le equazioni di equilibrio dinamico ma risolvere una serie di sistemi lineari a coefficienti complessi. Il generale un sistema dinamico lineare si scrive con una relazione ingressouscita, introducendo la funzione di trasferimento del sistema. Si ricorda che la trasformata di Fourier coincide con l intersezione della trasformata di Laplace con il piano immaginario, o parte reale si s nulla:. La funzione di trasferimento non è altro che la risposta ad un ingresso unitario in frequenza, quindi è la trasformata della risposta temporale ad una forzante impulsiva. Distribuzione di energia : la rappresentazione in scala logaritmica in frequenza rispetto a quella temporale permette di evidenziare le armoniche superiori e il loro rapporto con la frequenza fondamentale, altrimenti scarsamente apprezzabili. Serie di Fourier : si può usare su una funzione continua e periodica nel dominio del tempo la cui trasformata diviene infinita e discreta nel dominio della frequenza con passo : Trasformata discreta : si applica ad una funzione periodica e discreta nel dominio del tempo la cui trasformata nel dominio della frequenza ( ) e periodica (di periodo ): oppure Trasformate notevoli : La trasformata di una funzione scatola (finestra di osservazione) nulla all esterno dell intervallo di valore all interno e agli estremi ha la seguente forma: che risulta essere una funzione

16 smorzata, continua, infinita ad ampiezza decrescente. I punti di zero sono equispaziati, il primo è ad una frequenza pari all inverso della dimensione temporale della scatola. Considerazioni nel campo complesso : la trasformata può essere vista sotto forma di vettori controrotanti complessi:. Il termine esponenziale che compare all interno dell integrale nella trasformata corrisponde ad una rotazione. Essendo negativo, per pulsazione positiva, equivale ad una rotazione all indietro di un angolo pari a quello spazzato da un segnale di periodicità/frequenza. Se nel segnale c è una componente di periodicità la rotazione uguaglia l angolo percorso dall origine del tempo, il segnale viene quindi riportato ad una fase coerente con quella iniziale e l integrale porta all ampiezza. Per componenti con periodicità diversa la rotazione porta ad una fase non coerente con quella iniziale e l integrale è nullo. Algoritmo digitale : normalmente si esamina il semi spettro a frequenze positive. Per la rappresentazione occorre: - Generare la base di frequenze discrete; - Scalare le ampiezze della trasformata in modo da renderla indipendente dal numero di acquisizioni - Recuperare l energia dello spettro moltiplicando per 2 i coefficienti delle frequenze non nulle. L algoritmo è indipendente da tutti i parametri di acquisizione quali il passo temporale, il numero di punti o la risoluzione in frequenza. In realtà la trasformata si applica a due domini generici. La funzione continua corrispondente alla trasformata digitale è la densità spettrale che si ottiene dividendo i dati con il passo di discretizzazione della frequenza. Slow Pourier Transform (SFT) :. Il calcolo della trasformata discrete equivale al prodotto di una matrice di rotazione per il vettore dei dati:. L ampiezza di ogni rotazione è definita dal prodotto degli indici di tempo e frequenza. La matrice dei termini risulta essere simmetrica. Le rotazioni sono a modulo 360, cioè si ripetono, quindi le rotazioni che compaiono nella matrice si ripetono anch esse. Se ne notano un numero diverso pari al numero dei dati in ingresso. Questa considerazione è alla base degli algoritmi veloci di trasformazione. TRASDUTTORI I trasduttori sono una parte essenziale di un sistema di misura. Per la realizzazione di un trasduttore è necessario sfruttare un principio fisico di trasformazione di energia, cioè una conversione di forma energetica da quella originale ad una più conveniente da elaborare. Le forme disponibili di energia sono: acustica, chimica, elettrica, magnetica, meccanica, nucleare, ottica, termica. I principi più comunemente utilizzati nell ambito delle misure meccaniche sono: - Variazione di resistenza; - Induttanza; - Capacità; - Piezoelettricità. Misure di resistenza : per un filo di materiale conduttore si definiscono: - resistività specifica; - lunghezza specifica; - sezione. La resistenza elettrica è esprimibile come:. Avendo a disposizione un generatore di corrente calibrato ed un misuratore di tensione si è in grado di misurare la resistenza del filo. Attraverso una misura differenziale di resistenza si possono quindi rilevare variazioni di resistività del materiale, lunghezza e sezione del filo prodotte da un fenomeno qualsiasi. Variazione di resistività : la resistività varia con diversi parametri, risulta quindi difficile isolare l effetto di interesse. Eventuali variazioni dovute a questo effetto dovranno essere tenute in conto.

17 Variazioni di sezione : la variazione di sezione avviene sotto carico, ma la strizione della sezione è un effetto secondario, quindi non è il metodo migliore per ottenere un elevata sensibilità. Quando presente se ne può tenere conto. Variazione di dimensione : la variazione di lunghezza può essere dovuta a una modifica della geometria per spostamento relativo (potenziometro) o a una deformazione (estensimetro). Variazione di resistenza per partizione : la variazione della geometria determina lo spostamento di un contatto mobile su una piastra resistiva. La resistenza ai capi di uscita dipende in maniera lineare dalla posizione della slitta. Questo principio viene sfruttato per realizzare i potenziometri, tuttavia nelle realizzazioni pratiche non è detto che il legame resistenza/posizione sia perfettamente lineare: utilizzare il potenziometro come partitore di tensione:. Risulta più pratico ai fini della misura di tensione. Lo zero (posizione con uscita nulla) è ad un estremo. Per il potenziamento lineare la tensione in uscita varia linearmente con la posizione, la linearità è garantita in termini differenziali:. Vi sono però dei problemi di carico in uscita. Variazione di resistenza : differenziando l espressione della resistenza e rapportando il risultato al valore nominale si ha:. Il termine è dato dalla strizione conseguente l applicazione del carico. Se la deformazione longitudinale è. Se per semplicità si assume un conduttore a sezione circolare di diametro nominale dopo la trasformazione il diametro sarà:. Da queste espressioni si ricava il termine scritta come: che viene espresso in termini finiti anziché differenziali:, trascurando gli infinitesimi del secondo ordine. La variazione di resistenza percentuale può quindi essere. La strizione aumenta la sensibilità del filo alla deformazione imposta. Si può definire il fattore di sensibilità del sensore di deformazione come rapporto tra le variazioni di resistenza percentuale e la deformazione: come, pertanto si può esprimere la variazione di resistenza percentuale. Il fattore di sensibilità è una caratteristica del materiale e per quelli più comunemente utilizzati per il rilievo di deformazioni varia da 2 a 4 (semiconduttori hanno valori maggiori). In assenza di una variazione della resistività (quindi a temperatura costante). Risulta però problematico misurare la deformazione attraverso una misura differenziale di resistenza. Misure di capacità : i trasduttori capacitivi rilevano la capacità di un condensatore a seguito del movimento relativo delle armature, quindi possono essere impiegati sia per la trasduzione dello spostamento che della grandezza che lo determina, oltre che per identificare il dielettrico frapposto: dove è la capacità, è la costante dielettrica dell aria, è la costante dielettrica del materiale frapposto tra le due armature, è l area delle armature, è la distanza tra le due armature. Le principali caratteristiche di questi sistemi di misura: - il sistema risponde al movimento medio degli elettrodi; - non è necessario avere contatto tra sensore e sistema, le forze esercitate sono rigorosamente trascurabili; - libertà nella scelta del dielettrico in relazione alle applicazioni specifiche; - la variazione percentuale della capacità può essere facilmente resa grande; - nel caso di sensori di spostamento, bassa sensibilità trasversale e fondo scala limitati (effetti di bordo sul flusso); - il livello di rumore è molto basso e il rapporto segnale/rumore è ottimo (alta risoluzione); - banda passante elevata; - la tecnologia è a basso costo, stabile e non richiede complessi circuiti di condizionamento. Nelle applicazioni di acquisizione di profili la dimensione del sensore determina la risoluzione spaziale (più sottile meglio è). Induzione magnetica : il flusso magnetico prodotto da un magnete permanente, montato su un equipaggio mobile, accoppia il campo elettrico prodotto da un circuito primario, opportunamente alimentato, con due avvolgimenti secondari. In questi vengono indotte delle tensioni secondarie dipendenti dalla posizione del magnete permanente.

18 Piezoelettricità : i piezoelettrici sono materiali, naturali o sintetici, che presentano un asimmetria nella struttura elettrica, possono esibire un comportamento piezoelettrico diretto e inverso. L effetto piezoelettrico diretto si ha quando la deformazione determina la produzione di cariche e se questa è prodotta da forze esterne, la produzione di materiale ne determina la contrazione. L effetto piezoelettrico inverso invece si ha quando una tensione applicata al materiale ne determina la contrazione. Se il piezoelettrico è vincolato ad una struttura vi esercita delle forze distribuite lungo i bordi, permettendo di esercitare un azione di controllo sulla struttura; se no bilanciate introducono un momento che permette di controllare la flessione. Il legame costitutivo esteso nelle ipotesi di linearità è: dove sono i tensori si sforzo e deformazione in forma vettoriale, il vettore di campo e spostamento elettrico, la matrice costitutiva elastica valutata a campo elettrico costante, la matrice di caratterizzazione piezoelettrica (permettività elettrica), la matrice delle costanti dielettriche valutata a deformazione costante. Gli apici indicano rispettivamente che le matrici sono state valutate con campo elettrico costante (elettrodi cortocircuitati) e a deformazione costante (struttura vincolata). Il legame costitutivo generalizzato prevede l uso di termini elettrici oltre a quelli meccanici vi sono diverse forme del legame. Per la misura di forze e deformazioni di solito si utilizza. Un materiale piezoelettrico molto diffuso è lo PZT che ha modulo elastico di circa e densità di. Un piezoelettrico come il PVDF ha un modulo elastico molto ridotto, circa e una densità di. Il coefficiente piezoelettrico di attenuazione è inferiore ai materiali piezoelettrici ma quello di sensibilità è superiore. Sono estremamente sottili e sono disponibili solamente i modi longitudinali e trasversali. I piezoelettrici presentano un uscita di carica elevata in rapporto alle deformazioni che rimangono molto piccole. Trovano largo impiego per applicazioni dinamiche con intervallo di misura molto esteso, tipicamente dell ordine di. Si trovano invece poco adatti per misure statiche in quanto la carica generata dall applicazione del disturbo decade nel tempo con una costante di scarica che dipende dal piezoelettrico stesso o dal circuito di misura. A differenza del precedente tipo di misurazione elettrica, i piezoelettrici necessitano di adeguati circuiti di condizionamento e dispositivi analogici di conversione carica-tensione per poter essere di utilità pratica. Questi circuiti servono a convertire un segnale di tensione, amplificarlo e ad effettuare un filtraggio analogico. Sono possibili due soluzioni diverse: l utilizzo di dispositivi esterni o a integrazione microelettrica (ICP). Il primo modo presenta le seguenti caratteristiche: - segnale in uscita ad alta impedenza, per evitare problemi di carico si rende necessario un circuito che produca un uscita a bassa impedenza; - vi è la necessità di dispositivi esterni da mantenere; - i sensori possono essere sottoposti ad alte temperature ( ); - requisiti di alta qualità su tutti i dispositivi inoltre, per ridurre la sensibilità alle interferenze radio ed elettromagnetiche sono richiesti cavi a basso rumore; - è possibile modificare le caratteristiche dello strumento (sensitività e campo di frequenza) agendo sull elettronica di condizionamento; - modalità di impiego sempre meno diffusa nella normale sperimentazione di laboratorio perché i dispositivi sono costosi sia per acquisto che per gestione. Oggi sono molto diffusi trasduttori piezoelettrici con integrati microcircuiti che permettono si semplificare il condizionamento necessario. La microelettronica integrata ha circuiti piccoli, meno costosi e con prestazioni migliori e offrono una semplicità di impiego maggiore. Sono infatti disponibili sistemi di acquisizione in grado di leggere direttamente i sensori ICP, in alternativa viene richiesto solamente un generatore di corrente esterno. Ponte di Wheatstone per misure differenziali Risulta frequente il caso di una misura che porta ad un valore piccolo come differenza tra due valori elevati, il che comporta un problema di precisione e una doppia misura. Il ponte di Wheatstone risolve il problema realizzando una misura differenziale: la variazione della tensione in uscita è proporzionale alla variazione della grandezza che ha sbilanciato il ponte stesso. Questi è costituito da 4 lati i cui vertici opposti (A-C) vengono alimentati da un generatore ì, la misura differenziale avviene tra gli altri due vertici (B-D). Di seguito si analizzerà il ponte prendendo in esame il caso di sole resistenze, ma può essere utilizzato anche per misure differenziali di capacità. La corrente del tratto B-D è nulla e quindi implica che la corrente che passa per D e B passi da A e C per il loro lato senza essere modificata ( ). Siano la corrente che passa per D è pari a essendo queste in serie.. La tensione misurata a cavallo di B e D sarà: è la tensione che alimenta A e D. Analogamente la corrente per B sarà

19 . La condizione di bilanciamento è, bisogna quindi scegliere le resistenze in modo che. Configurazione a quarto di ponte : nel caso vi sia solo una resistenza variabile si ha tale configurazione per cui. Se il ponte è bilanciato e si utilizzano resistenze uguali allora che risulta essere una relazione non lineare tra e. Questo legame può essere linea rizzato nell ipotesi che la variazione sia notevolmente inferiore al valore della resistenza nominale:. Il ponte risulta particolarmente utile quando si intende misurare una piccola variazione percentuale. La relazione è praticamente lineare fino a microdeformazioni. Configurazione a ponte intero : nel caso più generale. Nell ipotesi di ponte bilanciato, resistenze uguali, e variazioni piccole si può semplificare ottenendo. Risulta ovvio che le relazioni del quarto di ponte sia una generalizzazione di quest ultima. I contributi di lati opposti si sommano se uguali (raddoppiano) o si annullano se opposti. I contibuti di due lati adiacenti si sommano se opposti o si annullano se uguali. Misure strutturali I trasduttori tipici per queste misure sono: - potenziometri, LVDT, encoder; - estensimetri elettrici; - celle di carico; - accelerometri. Le misure di spostamento eseguite a contatto, ovvero la misura del movimento relativo di due parti del sensore, necessitano degli strumenti al primo posto nel precedente elenco, mentre per quelle esterne si utilizzano trasduttori capacitivi che possono misurare il movimento relativo tra sensore e oggetto di misura. Potenziometro : di ordine zero, visti come traduttori isolati, si comportano come precedentemente descritto e mediante la misura della tensione, a fronte di quella di alimentazione, riescono a fornire una misura di spostamento:. Alcune varianti permettono di adattare le caratteristiche del trasduttore. L uso di un filo a spirale permette di aumentare la resistenza riducendo i problemi di potenza, la risoluzione risulta finita (numero di spire). Se invece si utilizza uno strato resistivo in teoria si potrebbe ottenere una risoluzione infinita. Esistono potenziometri angolari che s aggiungono a quelli lineari comunemente utilizzati per gli spostamenti. Questi permettono di eseguire misure lineari per grandi e grandissimi spostamenti: potenziometro a filo. In questo caso il filo serve a disaccoppiare sensore e oggetto di misura nella direzione perpendicolare al filo, ma presenta difficoltà di allineamento. Trasformatore differenziale lineare : comunemente abbreviato con LVDT odc-lvdt, il trasformatore differenziale lineare è uno strumento elettromagnetico. L avvolgimento primario è alimentato in corrente alternata fornita da un oscillatore. Il flusso magnetico prodotto si accoppia attraverso l equipaggio mobile, sul quale è fissato, con gli avvolgimenti secondari: la mutua induttanza tra le bobine esterne dipende dalla posizione di quelle interne. La differenza delle tensioni indotte, collegate in serie e in opposizione, è proporzionale allo scostamento dell equipaggio mobile dalla posizione centrale. Il LVDT ha i seguenti vantaggi: robustezza meccanica e ambientale; basso attrito, quindi alta sensibilità e risoluzione; vita a fatica virtualmente infinita, con adeguata manutenzione; sensibilità incrociata praticamente nulla; misura assoluta: ripetibilità dello zero. Valori tipici: Portata: Sensibilità: Linearità:

20 Una variante è RVDT che si basa sugli stessi principi ma con una geometria più complessa. Ha un campo di linearità abbastanza limitato che può essere aumentato riducendo la portata. Valori tipici: Portata: Sensibilità: Linearità: Trasduttori capacitivi : la capacità può essere fatta variare con la distanza degli elettrodi o variando le due aree affacciate. Il dielettrico frapposto può anche non far parte dello strumento. Hanno i seguenti vantaggi: elevata sensibilità e stabilità, poco sensibili alle variazioni di temperatura, target non conduttore; mentre gli svantaggi: sensibile alle variazioni di capacità del cavo, sensibili alle variazioni delle caratteristiche del dielettrico, elevata impedenza. Valori tipici: Portata: Sensibilità: Risoluzione: Linearità: Encoder : il segnale di uscita è costituito da una successione di N impulsi per (N=numero di incisioni). Risulta essere un trasduttore sui generis in quanto l uscita non è in analogia con l ingresso e non trasformata alcunché: genera eventi (impulsi). Lo strumento di misura è il contatore di impulsi. Il numero massimo di impulsi dipende dal diametro del disco: Si ha il problema della saturazione del contatore (roll-over). La risoluzione angolare è data dal numero di incisioni sul giro (N impulsi sul giro). Il conteggio degli impulsi fornisce la rotazione. Possono essere utilizzati per misurare la velocità angolare di un albero misurando anche : È preferibile mettere a monte del contatore un circuito di interfaccia per i canali dell encoder che: trasformi gli impulsi ad onda quadra in impulsi one-shot; eventualmente moltiplichi il conteggio per 2 o 4; determini il verso di rotazione. - Monodirezionale : presenta due piste A e Z. Sulla prima vengono incisi N impulsi per giro, mentre sulla seconda ne viene impresso uno solo per giro. Non è in grado di fornire indicazioni sul verso di rotazione dell albero. - Bidirezionale : presenta tre uscite A,B e Z. La differenza con il modello monodirezionale è che tra l uscita A e l uscita B, ugualmente incise da N impulsi per giro, c è del ritardo. Se A è in anticipo su B la rotazione è oraria, altrimenti è antioraria. Lo sfasamento serve pertanto a determinare il verso di rotazione. Encoder assoluto : questo è uno strumento digitale costituito da un disco codificato con n piste che vengono lette simultaneamente da foto-rilevatori indipendenti fornenti un uscita in codice. Per ogni settore angolare si ha un codice differente a seguito del mascheramento selettivo delle piste. Il numero di settori angolari è. LA codifica binaria è semplice ma può dare falsa lettura quando un rilevatore è a cavallo della transizione, la codifica Gray consiste in un riordino delle posizioni. Il vantaggio è che l errore di lettura di un bit non comporta una discontinuità dell uscita, ma vi è necessità di decodificare la misura. A parità di tecnologia la collocazione delle tacche più corte sulla corona esterna consente una risoluzione maggiore. La capacità del cavo limita la frequenza limite del segnale di ingresso poiché all uscita le onde quadre vengono arrotondate. Misure di velocità : si utilizzano Pick-up magnetici o ottici abbinati a frequenzimetri. Risulta un analogo dell encoder in quanto le tacche sono riportate sull oggetto in movimento. Solo in casi particolari si raggiunge una discreta risoluzione. Misure di accelerazione: si utilizzano accelerometri piezoelettrici, piezoresistivi e servo accelerometri.