Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

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1 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo, si può determinre un intorno del numero, tle che per ogni pprtenente tle intorno, escluso l più il numero, si verifichi il ite scritto sopr. Dobbimo quindi risolvere l seguente disequzione: ε Per ( ) ( ), = = quindi, l disequzione dt divent:, ε equivlente l sistem: ε ε le cui soluzioni sono: ( ε ) ( ε ) che formno effettivmente un intorno completo del punto. Ciò signific che per ogni ε si può determinre un intorno di, tle che per ogni pprtenente tle intorno, escluso il numero, risulti: = 16

2 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile ) Verificre che risult: 1 = 1 Dobbimo quindi risolvere l disequzione: 1 1 ε e vedere se le eventuli soluzioni formno effettivmente un intorno completo del numero. Dopo semplici pssggi mtemtici, l disequzione dt può essere scritt come segue: ε con. Dto che è sempre positivo, l ultim disequzione scritt equivle : che risolvendo si h: ε (. ) ε ε ε ε e deve essere: ε, per cui, se considerimo vlori di ε bbstnz piccoli, per esempio ε 1, l disequzione (. ) non mmette soluzioni e perciò possimo dire che il vlore = 1 non è il ite dell funzione ssegnt per. ) Verificre che risult: Risolvimo l disequzione: 4 = ε che è equivlente : 17

3 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile 1 ε, con 1 le cui soluzioni sono: ε 1 ε 1 ε 1 ε che formno un intorno completo del numero 1, qulunque si ε. In definitiv, il ite dto è verificto. Definizione. Diremo che, per che tende d sinistr l funzione f () tende l ite finito, se fissto un numero positivoε rbitrrimente piccolo, è possibile determinre un intorno sinistro del punto, tle che per ogni pprtenente tle intorno, diverso d, risult: f () ε Tutto ciò si esprime scrivendo: f ( ) = Se l intorno di cui si prl in quest definizione è un intorno destro del punto, llor si dice che il numero è il ite destro dell funzione per che tende d, e si scrive: f ( ) = E importnte ricordre che un funzione mmette ite in un punto soltnto qundo in questo punto esiste il ite sinistro e destro e questi due iti sono uguli. Definizione. Si y = f () un funzione rele definit in tutti i punti di un intorno di, escluso l più il punto stesso. Diremo che per tendente d l funzione tende d ( o ), qundo, in corrispondenz di un numero positivo, rbitrrimente grnde, è possibile determinre un intorno completo del punto, tle che per ogni pprtenete tle intorno, escluso, risult: 18

4 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile f ( ) Tutto ciò si può esprimere scrivendo: f ( ) = Se nell intorno di vle l condizione: llor si scrive: f ( ) f ( ) = mentre, se nello stesso intorno vle l condizione: f ( ) si dirà che f ( ) = Esercizi svolti Limiti 1) Verificre che risult: 1 = In bse ll definizione 1,, dobbimo imporre l seguente condizione: con ed numero positivo fissto picere. 1 1, Studimo il segno del numertore: 19

5 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Studimo il segno del denomintore: per ogni rele. In definitiv, l soluzione dell disequzione frtt form un intorno completo dello zero, qulunque si, quindi l funzione dt h per ite per. ) Verificre che risult: 1 ( 1) = In bse ll definizione ( 1),, dobbimo imporre l seguente condizione: con 1 ed numero positivo fissto picere. ( 1) (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) Studimo il segno del numertore:. (1 ) 1 4 (1 ) 1 (1 ) Studimo il segno del denomintore: 4 ( 1) per nessun vlore di rele. In definitiv, l soluzione dell disequzione frtt form un intorno completo di 1, qulunque si, quindi l funzione dt h per ite per 1. ) Verificre che risult: = In bse ll definizione, dobbimo imporre l seguente condizione:, con ed numero positivo fissto scelt.

6 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile 1., Risolvimo l prim disequzione: Anlizzimo il segno del numertore: Anlizzimo il segno del denomintore: L disequzione frtt è soddisftt per pprtenente l seguente intervllo: = X, Risolvimo or l second disequzione: Studimo il segno del numertore: Studimo il segno del denomintore: L disequzione frtt è soddisftt per pprtenente l seguente intervllo: =, X In definitiv, l disequzione di prtenz è soddisftt per pprtenente ll intervllo = I,, che form un intorno completo di, qulunque si. Quindi, l funzione dt mmette il ite per. Definizione 4. Diremo che per tendente ll infinito l funzione tende l ite, qundo, in corrispondenz d un numero positivo ε fissto picere, esiste un numero positivo N tle che per ogni vlore di soddisfcente ll condizione:

7 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile N, i corrispondenti vlori dell funzione soddisfno ll disequzione: Per esprimere tutto ciò, si scrive: f () ε (. ) f ( ) = Se l disequzione (. ) è soddisftt per N, llor si scrive: f ( ) = mentre, se è soddisftt per N, llor si scrive: f ( ) = Definizione. Diremo che per tendente ll infinito l funzione f () h per ite l infinito qundo, in corrispondenz d un numero positivo fissto picere, esiste un numero positivo N tle che per ogni soddisfcente l disequzione: N, i corrispondenti vlori dell f () soddisfno ll disequzione: f ( ). Se invece per N, risult sempre f ( ), oppure f ( ), llor si dirà che esistono rispettivmente i iti: f ( ) =, f ( ) = Se per N risult sempre f ( ), oppure f ( ), oppure f ( ), llor si dirà che esistono rispettivmente i iti: f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =. Se, invece, per N risult sempre f ( ), oppure f ( ), oppure f ( ), llor si dirà che esistono rispettivmente i iti:

8 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =. Esercizi svolti Limiti 1) Verificre che risult: In bse ll definizione 4 = 1 4, dobbimo dimostrre che l disequzione: 4 1 ε (.4 ) qulunque si ε positivo, è soddisftt per vlori dell che risultno, in vlore ssoluto, mggiori di un certo numero positivo N. Risolvendo l (.4 ), si h: ε, 4ε ε. 4ε In definitiv, l (.4 ) è soddisftt per ε. 4ε Perciò, posto ε N = si not che l (.4 ) è soddisftt per N, quindi l 4ε funzione dt h per ite per. ) Verificre che risult: 1 =

9 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile In bse ll definizione, dobbimo risolvere l disequzione: 1, con numero positivo fissto rbitrrimente che possimo considerre mggiore di uno. (. ) Risolvendo quest disequzione si trov che ess è soddisftt per: 1 (.6 ) Il numero 1 è negtivo perché è 1 e perciò, posto N = (1 ), si not, tenendo presente l (.6 ), l disequzione (. ) è soddisftt per: N quindi possimo dire che vle il ite dell funzione dt. ) Verificre che risult: log = con numero mggiore di uno. In bse ll definizione che risult soddisftt per : e quindi, posto, dobbimo risolvere l disequzione: log (.7 ) N =, possimo dire che l (.7 ) è soddisftt per N, il che prov che vle il ite dell funzione dt.. Teoremi sui iti delle funzioni In questo prgrfo enunceremo i teoremi sui iti delle funzioni omettendo le reltive dimostrzioni. 4

10 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Teorem dell unicità del ite Dt un funzione f () unico. y =, definit in un intervllo ] b [,, il ite, per, è Teorem dell permnenz del segno Si f () un funzione d un vribile rele. Se esiste finito e non nullo il ite dell funzione f (), per tendente l numero, llor esiste un intorno di per ogni del qule, escluso l più, l funzione f () ssume lo stesso segno del suo ite. Criterio di confronto Se f ( ), ϕ ( ), g( ) sono tre funzioni definite nello stesso intervllo, escluso l più un punto di questo, e se per ogni risult: f ( ) ϕ ( ) g( ) e se inoltre è: llor risult: f ( ) = ϕ ( ) = l g( ) = l Operzioni sui iti di funzioni f due funzioni definite nello stesso intervllo ] b [ Sino ( ) ed h( ) ed i loro rispettivi iti finiti, per, cioè:, e sino

11 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile f ( ) =, h( ) = In bse queste ipotesi, vlgono i seguenti teoremi: Teorem dell ddizione Il ite dell funzione, somm di due funzioni, è l somm dei iti, cioè: [ f ) h( ) ] = f ( ) h( ) = ( Teorem dell sottrzione Il ite dell funzione, differenz di due funzioni, è l somm dei iti, cioè: [ f ) h( ) ] = f ( ) h( ) = ( Teorem dell moltipliczione Il ite dell funzione, prodotto di due funzioni, è il prodotto dei iti, cioè: f ( ) h( ) = Teorem dell divisione Il ite dell funzione, rpporto di due funzioni, è ugule l rpporto dei iti, supposti h ( ) ed diversi d zero, cioè: f ( ) = h( ) f ( ) h( ) = Teorem dell potenz Il ite dell funzione potenz ennesim di un funzione dt, è ugule ll potenz del ite, cioè: ( n n { f ) } = f( ) = n 6

12 Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile 7