PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

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1 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del IDICE (lezione PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore medio atteso o momento primo di una quantità aleatoria pag. 3. Varianza e momento secondo di una quantità aleatoria pag. 3.3 Frequenza assoluta, frequenza relativa e densita di frequenza dei valori osservati di una quantita aleatoria pag Probabilita, valore atteso e varianza delle quantitá aleatorie e loro relazione con i dati osservati pag. 10 1

2 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del PROBABILITÀ, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 VALORE MEDIO ATTESO O MOMETO PRIMO DI UA QUATITÀ ALEATORIA Per certe applicazioni non è necessario considerare la q.a. con il dettaglio di tutti i suoi valori possibili e con le corrispondenti probabilità o densità di probabilità. Il valore medio atteso, o momento primo, di una q.a. discreta o continua è un numero che sintetizza in modo appropriato la q.a. stessa. (Formula del valore medio atteso o momento primo di una q.a. Per poter sintetizzare una q.a. in modo appropriato il valore medio atteso, o E, di una q.a. si calcola utilizzando tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è dato dalle seguenti formule p ( q.a. discreta S E f d q.a. continua S [Osservazione facoltativa: dalla prima formula di risulta evidente che la dimensione fisica di è la stessa dei valori S (infatti le probabilità p ( sono numeri puri cioè privi di dimensione fisica. Es.: se la q.a. è una lunghezza (e quindi i suoi valori possibili S sono delle lunghezze, allora anche è una lunghezza (e precisamente la lunghezza media di tutti i valori possibili. Per la seconda formula di, come si vedrà più oltre, vale la stessa osservazione] (Significato applicativo del valore medio atteso di una q.a. I valori possibili di una q.a. sono distribuiti o posizionati o sparpagliati o dispersi sull asse delle ascisse. Inoltre, la posizione di ciascuno di essi è più o meno rilevante, e dà un contributo più o meno grande alla somma e all integrale che determina, a seconda della grandezza della probabilità o densità del valore stesso. Si dice allora che il valore medio atteso di una q.a. indica la posizione media della q.a. sull asse delle ascisse. Più brevemente si dice anche che il valore medio atteso è un indice di posizione di una q.a. (Proprietà del valore medio atteso di una q.a. Il valore medio atteso di una q.a. discreta o continua sintetizza in modo appropriato la q.a. stessa perché ha, fra le altre, le seguenti due proprietà: Proprietà di consistenza (verificare per esercizio S c, Proprietà di internalità Se è una q.a. degenere con { } allora: E c Per qualsiasi q.a. si ha: min S E ma S [Facoltativa, non in programma] Proprietà di compensazione delle differenze ( p 0, ( f 0 S S S :

3 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Osservazione: corrispondenza fra le formule di nel caso discreto e continuo Si noti la seguente corrispondenza fra le formule del valore medio atteso continue E p ( p P S di q.a. discrete e f d f d P( < + d S Corrispondenza indicata dalla prima freccia La sommatoria è definita in matematica soltanto per un numero finito o infinito numerabile (in questo caso è una serie di valori possibili, cioè per un insieme discreto di valori possibili. Per un insieme S continuo al posto della sommatoria si deve considerare l integrale. S Evidente. Corrispondenza indicata dalla seconda freccia Corrispondenza indicata dalla terza e quarta freccia [Facoltativa, non in programma]. L intervallo ( < + d è l intervallo infinitesimo che è il limite di un intervallo ( < + al tendere a zero la lunghezza (al limite si pone d: lim 0 ( < + ( < + d Per le q.a. continue l evento aleatorio dato dall intervallo infinitesimo ( < d S è il più piccolo evento che meglio approssima o meglio corrisponde (quarta freccia, all evento aleatorio ( con probabilità P( 0 delle q.a. discrete. Dalla corrispondenza fra i due eventi segue anche la corrispondenza (terza freccia fra le loro probabilità. (La dimensione fisica della densità di probabilità [facoltativa, non in programma] Assumiamo vera l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: quale è la dimensione fisica della densità di probabilità f (? RISPOSTA. Il secondo membro della equazione di cui sopra è la probabilità P( < + d che, in quanto probabilità, è un numero puro (cioè privo di dimensione fisica. Allora deve essere f d al primo membro della equazione. Affinché il prodotto un numero puro anche il prodotto f d sia un numero puro, f dimensione fisica di d (che è la stessa di deve avere dimensione fisica pari al reciproco della S. Esempio: se S dimensione fisica lunghezza (elevata alla prima, allora f elevata alla 1, cosicché il prodotto f, e quindi d, ha la ha la dimensione lunghezza d è un numero puro. A questo punto si ritorni a verificare quanto detto sulla dimensione di nel caso di q.a. continua. 3

4 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Generalizzazione per le q.a. non uniformi della regola: probabilità base altezza [Facoltativa, non in programma]. Assumiamo vera l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: Cosa ci dice, cosa significa, tale equazione? P < + tanto più RISPOSTA. Tale equazione ci dice che per il calcolo della probabilità piccola è la lunghezza dell intervallo considerato (al limite d tanto meglio il prodotto f (al limite il prodotto f d approssima il valore della probabilità P( < +. Si noti che il prodotto f (al limite il prodotto f d è la regola lunghezza di base (al limite d per altezza f densità f ( in realtà non è uniforme sull intervallo considerato ( generale l equazione f d P( d limite d tanto meglio il prodotto base per altezza f (al limite il prodotto f approssima il valore della probabilità P( < +. applicata nel caso generale in cui la < +. In tale caso < + ci dice dunque che tanto più piccolo è (al d (Interpretazione probabilistica di due formule del Calcolo differenziale: la formula del teorema del valor medio e la formula del differenziale [Facoltativa, non in programma]. Consideriamo l equazione: f d P( d < + (v. quarta freccia sopra DOMADA: Perché tale equazione è vera? PRIMA RISPOSTA. Tale equazione è vera perché è un risultato del Calcolo differenziale che si ottiene dal limite per che tende a zero dalla formula del teorema della media in forma integrale ovvero + f ( d f ( f d [, + (1 0 la cui interpretazione in Calcolo delle Probabilità è data da + f ( d P( < + P( < + d ( SECODA RISPOSTA. Alternativamente, l equazione di cui si tratta è un risultato del Calcolo differenziale che si ottiene dal limite per che tende a zero dalla formula del differenziale di una funzione F 0 F + F f + o f d (3 0 F la cui interpretazione in Calcolo delle Probabilità (con funzione di ripartizione è data da ( F + F P < + P < P < + P < + d ( 0 COCLUSIOE sia (1-(, sia (3-(, tendente a zero danno proprio l equazione: ( < + f d P d

5 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del VARIAZA E MOMETO SECODO DI UA QUATITÀ ALEATORIA (Formula della varianza σ di una q.a. Per il calcolo della varianza V, o σ, di una q.a. si utilizzano tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è data dalle seguenti formule ( p ( q.a. discreta S V σ ( f d ( q.a. continua S [Osservazione facoltativa: dalle due formule di cui sopra, e da quanto visto sulla dimensione fisica di, risulta evidente che la dimensione fisica di σ è il quadrato della dimensione fisica dei valori S. Esercizio. Se k è un numero puro (senza dimensione, dire se sono dimensionalmente corrette le espressioni: (1 kσ e + kσ (Risposta: O, ( kσ e + kσ (Risposta: SI]. (Significato applicativo della varianza σ di una q.a. In relazione al significato applicativo del valore medio atteso, si è già detto che i valori possibili S di una q.a. sono distribuiti o posizionati o sparpagliati o dispersi sull asse delle ascisse. Inoltre, si è detto che la posizione o distanza di ciascuno di essi rispetto a è più o meno rilevante a seconda della grandezza della probabilità p o densità f del valore S stesso. Allora si ha che: la varianza di una q.a. indica o misura la distanza complessiva o la dispersione complessiva o aggregata di tutti i valori possibili della q.a. rispetto alla posizione media data dal valore medio atteso. Infatti, il valore della varianza si calcola come sommatoria (o integrale delle distanze ( di ciascun valore possibile S dalla posizione media e ciascuna singola distanza dà un contributo maggiore o minore alla distanza complessiva (cioè alla f, per cui varianza a seconda che sia maggiore o minore la probabilità ciascuna singola distanza è moltiplicata (vedere le formule di σ sopra. p, o densità (Proprietà della varianza σ di una q.a. Proprietà di non negatività della varianza (la prima affermazione qui sotto è evidente; verificare la seconda per esercizio V σ 0 qa.. V σ 0 se e solo se è una q.a. degenere (Formula del momento secondo E ( di una q.a. Il momento secondo E ( di una q.a. è un numero che si calcola utilizzano tutti i valori possibili della q.a. e le corrispondenti probabilità o densità di probabilità, e precisamente è dato dalle seguenti formule (vedere la pagina seguente 5

6 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del E S S p f d ( q.a. discreta ( q.a. continua [Osservazione facoltativa: dalle due formule di cui sopra risulta evidente che la dimensione fisica E è il quadrato della dimensione fisica dei valori S ] di ( Il momento secondo permette di calcolare la varianza con una formula alternativa a quella data dalla sua definizione già vista. Inoltre il momento secondo coincide con la varianza nel caso particolare ma importante qui sotto specificato. (Formula della varianza scritta con il momento secondo e sua conseguenza Si dimostra che per le q.a. discrete e continue si ha V σ E da cui segue che il riquadro sinistro qui sotto implica quello destro e viceversa 0 E( E σ (Dimostrazione della formula della varianza scritta con il momento secondo [facoltativa, non in programma] Consideriamo il caso discreto (la dimostrazione è la stessa, mutatis mutandis, nel caso continuo. ( p S S V( ( p S ( p p p + + p p p + S S S p + S p ( S ( ( E E E (poiché: p (, p 1 S S (Scarto quadratico medio o deviazione standard σ di una q.a. Lo scarto quadratico medio o deviazione standard di una q.a. discreta o continua è la radice quadrata (positiva della varianza, ovvero è V σ σ 0 Il significato applicativo di σ è lo stesso della varianza σ. La differenza stà nella dimensione fisica. [Osservazione facoltativa: la dimensione fisica di σ, al contrario di quanto accade con la varianza, è la stessa dimensione fisica di S e di. Pertanto, se k è un numero puro (senza dimensione, allora: (a è dimensionalmente corretta l espressione kσ (che compare negli intervalli di confidenza, invece: (b è dimensionalmente scorretta l espressione kσ ]. 6

7 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del FREQUEZA ASSOLUTA, FREQUEZA RELATIVA E DESITA DI FREQUEZA DEI VALORI OSSERVATI DI UA QUATITA ALEATORIA Tutti i più importanti risultati teorico-matematici delle teorie delle scienze fisiche ( e quindi anche del calcolo delle probabilità si basano direttamente o indirettamente sull operazione matematica di limite che, a sua volta, coinvolge due nozioni di infinito, e precisamente: (I la nozione di infinito numerabile nel caso del limite per ( 1,,... { } (II la nozione di infinito più che numerabile nel caso del limite per 0 (, 0. Tuttavia, al di fuori della matematica, bisogna rinunciare all aiuto e all utilità della nozione matematica di infinito, ciò in particolare nelle due seguenti importanti circostanze: (III la verifica empirica dei risultati delle teorie delle scienze fisiche si basa sui valori osservati delle quantità coinvolte e tali valori, per quanto osservati in grande numero, saranno sempre in numero finito. (IV l applicazione in campo tecnologico ed industriale dei risultati delle teorie delle scienze fisiche si basa anch essa sui valori osservati delle quantità coinvolte e tali valori, per quanto osservati in grande numero, saranno sempre in numero finito. Inoltre a tal proposito, va tenuto presente che di tutti gli infiniti (e più che numerabili numeri dell asse reale (, che si dovrebbero scorrere per valutare il limite per 0 (, 0, la stragrande maggioranza di essi non potrà mai essere osservato misurando il valore delle quantità fisiche, infatti: (V per qualsiasi quantità fisica non potranno mai essere osservati valori dell asse reale 1 (, con un numero infinito di cifre decimali, p.es , (che sono 6 numeri reali razionali, o π , e (che sono numeri reali irrazionali. (VI dei numeri dell asse reale (, che restano, cioè quelli con un numero finito di cifre decimali, si potranno osservare solo quelli il cui numero finito di cifre decimali è abbastanza piccolo da poter essere, p. es., scritto a mano in tempo ragionevole od essere contenuto nei registri o nelle parole (word dei computer che hanno, ovviamente word length e memory size ( cioè capacità di immagazzinamento o memorizzazione finita. Tutto ciò premesso, ed a riprova del fatto che la nozione matematica di limite e di infinito risponde comunque ad una effettiva necessità dell indagine scientifica, nelle due importanti circostanze (III e (IV di cui sopra spesso si imita le nozione matematica di limite per ( 1,,... con una nozione empirica di limite per abbastanza grande. Ciò si fa anche { } nel calcolo delle probabilità, e ciò dà luogo alla seguente tabella di corrispondenza fra nozioni o quantità teoriche (che possono coinvolgere direttamente o indirettamente la nozione matematica di limite e le corrispondenti nozioni o quantità empiriche che invece possono coinvolgere, direttamente o indirettamente, la nozione empirica di limite abbastanza grande. ozioni teoriche per una q.a. ozioni empiriche per una q.a. ( Probabilità di un evento A P A Frequenza relativa di un evento A P A Densità di probabilità di f Densità di frequenza di f, Valore medio atteso Valore osservato della media campionaria Varianza σ Valore osservato della varianza campionaria s 7

8 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del Cominciamo ad illustrare con un semplice esempio numerico le prime nozioni di questo paragrafo. Subito dopo daremo le definizioni formali generali. Si consideri, p.es., la q.a. punteggio risultante dal lancio di un dado regolare a sei facce ovvero la q.a. seguente 1,,3,,5,6 p 16 Si facciano, p.es., lanci del dado e si osservino i quattro punteggi ottenuti. Indicando con i l i-esimo punteggio ottenuto, si ottenga p.es. 1, 3, 3 6, 3 Si hanno allora le seguenti nozioni di: insieme S dei valori osservati: S {,3,6} S { 1,,3,,5,6} (1* (dove l indice di S indica il numero dei valori osservati. n di ciascun valore osservato frequenza assoluta n 1, n ( 3, n ( 6 1 (* (dove l indice di n ( indica il numero dei valori osservati. frequenza relativa p (dove l indice di di ciascun valore osservato : n 1 n ( 3 p, p ( 3, ( 6 n 6 1 p (3* p indica il numero dei valori osservati. frequenza relativa P ( A dell evento aleatorio { 3, 6} n( 3 n( { 3, 6} A : P A P p p (* cioè, P A è la somma delle frequenze relative dei valori osservati che appartengono ad A. (dove l indice di P A indica il numero dei valori osservati. Come si vede immediatamente da quanto sopra, la frequenza relativa ha le stesse tre proprietà fondamentali della probabilità, ovvero: (Proprietà delle frequenze relative Proprietà di non negatività: la frequenza relativa non è mai minore di zero (poiché il numeratore è n, con n se e solo se non è mai stato osservato, vedasi (*-(3* sopra; 0 0 Proprietà di normalizzazione: la frequenza relativa non è mai maggiore di uno (poiché il n n se e solo se è stato l unico valore osservato in tutte le numeratore è, con osservazioni, vedasi (*-(3* sopra Proprietà di additività: la frequenza relativa di un evento aleatorio è la somma delle frequenze relative dei valori osservati che compongono l evento (cioè dei valori osservati che soddisfano la condizione che definisce l evento stesso, vedasi (* sopra. Seguono le definizioni formali generali delle nozioni di cui all esempio numerico precedente: 8

9 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (Frequenza assoluta di un valore osservato di una q.a. discreta o continua Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di una quantità aleatoria discreta o continua, si dice frequenza assoluta del valore il numero delle volte che si è ripetuto negli valori osservati. Simbologia: frequenza assoluta di : n ( (Frequenza relativa di un valore osservato di una q.a. Definizione: Dati valori osservati t si dice frequenza relativa di osservati. Simbologia: frequenza relativa di : ( t 1,... la sua frequenza assoluta n discreta o continua di una quantità aleatoria discreta o continua, P ( p n divisa per il numero degli valori [ota bene facoltativo: al passare da valori osservati a + 1, la frequenza relativa di non può (salvo che nel caso particolare (c qui sotto rimanere costante. Infatti, si hanno solo tre casi: (a se al passare da a 1 si ha n n n p > p (b se al passare da a 1 si ha (c se al passare da a 1 si ha + + 1, allora n n< e n+ 1 n+ 1, allora p < p n n e n + 1 n+ 1, allora p p + ] 1 1 (Frequenza relativa di un evento aleatorio A di una q.a. discreta o continua Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di una quantità aleatoria, la frequenza relativa P ( A di un evento aleatorio A è la somma delle frequenze relative p dei valori osservati che appartengono all evento, ovvero dei valori osservati che soddisfano la condizione che definisce l evento stesso. Simbologia: frequenza relativa di un evento aleatorio A di una q.a. dove il numeratore P A p A S A S discreta o continua: n n A n A è la frequenza assoluta dei valori osservati che appartengono ad A n ( A n A S ([Facoltativo, non in programma]. Densità di frequenza dell evento aleatorio A ( < + di una q.a. continua di una quantità aleatoria continua, la densità Definizione: Dati valori osservati t ( t 1,... di frequenza (relativa f, dell evento aleatorio A ( n ( A f, < + è il valore 9

10 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del (continua dalla pag. precedente ovvero, è la frequenza relativa di A per unità di lunghezza di. Allora, per definizione, la densità di frequenza f è tale che n A n A f, P ( A P ( < + ovvero f, è tale, nel caso di q.a. continua, la frequenza relativa di un evento dato da un intervallo è rappresentata dall area che si ottiene con la regola lunghezza di base ( per altezza che è data da dalla densità di frequenza f stessa.,, 3. PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI Ritorniamo all esempio numerico iniziale del paragrafo 3.3 precedente ed osserviamo che: (A con soli lanci non si possono ottenere S 1,, 3,, 5, 6, si tutti i valori possibili { } otterrà invece un insieme di valori S S, nell esempio S,3,6 S 1,,3,,5,6 { } { } (B analogamente le frequenze relative p dei valori osservati non possono essere tutte uguali ad 16 (anche se il dado è effettivamente regolare; nell esempio tali frequenze relative sono state n 1 n ( 3 n ( 6 1 p, p ( 3, p ( 6 (C E tuttavia intuitivo che al crescere del numero dei lanci, diciamo per, ovvero con un numero sufficientemente grande di lanci, si abbia prima o poi S S 1,,3,,5,6 { } e che (se il dado è effettivamente regolare per le frequenze relative si ottenga prima o poi circa p 16 p ( S { 1,,3,,5,6} (5* (se ciò non accadesse dovremmo concludere che il dado non è regolare dove p è la probabilità di S. La formula (5* è un caso particolare della seguente proprietà empirica generale delle frequenze relative comportamento asintotico delle frequenze relative. (Comportamento asintotico delle frequenze relative Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia [ ] p p S S (6*, dove, per le ragioni che si sono dette, non indica un limite in senso matematico. Ciò si interpreta nel senso che per sufficientemente grande c è da attendersi che la frequenza relativa dei valori osservati tenda empiricamente alla (e quindi dia una stima attendibile della probabilità dei valori stessi. [Due osservazioni facoltative, nel caso di una q.a. continua: (a l espressione tra parentesi in (6*, ovvero [ S S, ], alla luce delle considerazioni iniziali su limite e infinito dovrebbe porre un problema per le q.a. continue, quale? (b nel caso di una q.a. continua la frequenza relativa P dei valori che cadono in un dato intervallo tende empiricamente alla probabilità dell intervallo ovvero P < + P < + ] 10

11 statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA , lezione del Inoltre da (A e (B di cui sopra si ha anche che: se con i valori osservati si calcola la media dei valori osservati stessi si avrà in generale p S p S f ( d S Ma, per (6* si ha in generale anche che: (Relazione fra valore medio atteso di una q.a. e la media dei valori osservati Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia p S p S f ( d S Ovvero, per sufficientemente grande, c è da attendersi che la media dei valori osservati tenda empiricamente al (e quindi dia una stima attendibile del valore medio atteso della q.a. considerata. [Osservazione facoltativa: si noti che l integrale in alto a destra è in realtà esso stesso una somma per. Si unisca questa osservazione con il quesito (a del riquadro sul Comportamento asintotico delle frequenze relative e con la natura necessariamente empirica di qualsiasi limite che coinvolga valori osservati, per concludere che il problema sollevato in (a non è un problema] Analogamente da (A e (B di cui sopra si ha che: se con i valori osservati si calcola la varianza dei valori osservati stessi, si avrà in generale s ( p σ ( ( S s ( p S ( f d σ S Ma, per (6* si ha in generale anche che: (Relazione fra varianza σ di una q.a. e la varianza dei valori osservati Per, ovvero per sufficientemente grande, c è da attendersi che si abbia s ( p σ ( ( S s ( p S ( f d σ S Ovvero, per sufficientemente grande, c è da attendersi che la varianza dei valori osservati tenda empiricamente alla (e quindi dia una stima attendibile della varianza σ della q.a. considerata. [Osservazione facoltativa: circa l integrale sopra a destra vale la stessa osservazione fatta nel riquadro precedente relativo alla relazione fra di una q.a. e ] s 11