7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza

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1 7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti geometrici è stabilito mediante il concetto di misura, che permette di associare numeri a grandezze geometriche (in particolare, lunghezze). Tramite misure di lunghezza, è noto che i numeri si possono rappresentare su una retta orientata su cui si siano fissati un punto O ed un segmento scelto come unità di misura: In tale rappresentazione, i numeri razionali non coprono tutta la retta, sulla quale restano buchi non occupati da alcun numero razionale. Ricorrendo ai numeri irrazionali, si stabilisce invece una corrispondenza biunivoca tra R ela retta: ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e, viceversa, ogni punto sulla retta rappresenta un numero reale. Fissate nel piano due rette perpendicolari orientate, che costituiscono un cosiddetto riferimento cartesiano, un analogo procedimento consente di stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali. Di conseguenza, ogni punto risulta etichettato da una coppia ordinata di numeri, detti coordinate cartesiane del punto, e si potrà quindi parlare dell uno parlando dell altra, identificando cioè ogni punto con la coppia delle proprie coordinate. Le coordinate di un generico punto P sono di solito indicate con x e y e l identificazione si esprime scrivendo P (x, y). N.B. La coppia di numeri (x, y) è ordinata, nelsensocheèimportantedistinguerla dalla coppia (y,x) in cui i numeri x e y sono scritti in ordine inverso. 1

2 La prima coordinata di un punto P è detta ascissa di P, la seconda è detta ordinata di P; di conseguenza, le rette del riferimento cartesiano fissato, che sono dette assi di riferimento, si distinguono in asse delle ascisse (o asse x) e asse delle ordinate (o asse y). Le quattro regioni in cui gli assi di riferimento dividono il piano sono detti quadranti. Il punto O diincontrodegliassidiriferimentovienechiamatoorigine del riferimento ed ha coordinate entrambe nulle: O (0, 0). Il piano in cui si sia fissato un riferimento cartesiano viene brevemente detto piano cartesiano. L introduzione di coordinate nel piano ha importanti conseguenze. Molte grandezze geometriche possono esprimersi in termini di coordinate mediante formule algebriche: la distanza d (P 1,P ) tra due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P (x,y ), che è definita come la lunghezza del segmento P 1 P, è data da q d (P 1,P )= (x x 1 ) +(y y 1 ) il punto medio M del segmento che unisce i punti P 1 (x 1,y 1 ) e P (x,y ), che è definito come il punto di tale segmento equidistante dai suoi estremi, ha coordinate x M = x 1 + x e y M = y 1 + y. Insiemi di punti possono essere descritti descrivendo le loro coordinate. In quest ottica, acquistano rilevanza i cosiddetti luoghi geometrici, ossia gli insiemi di punti le cui coordinate soddisfano una certa proprietà (detta proprietà caratteristica del luogo); tipicamente, la proprietà caratteristica di un luogo è un equazione contenente le coordinate: il luogo corrispondente è allora l insieme di tutti e soli i punti le cui coordinate sono soluzione dell equazione.

3 7.1 Retta Una qualsiasi equazione di 1 grado nelle incognite x e y ax + by + c =0 con a e b non entrambi nulli rappresenta una retta nel piano e, viceversa, ogni retta del piano è rappresentata da un equazione di 1 grado nelle incognite x e y. A seconda del valore dei coecienti a, b, c si ottiene una retta piuttosto che un altra. Per disegnare una retta sono sucienti due suoi punti: nota l equazione della retta, è allora suciente determinarne due soluzioni; ad esempio, se allora r : 6x 3y =1 x y =x /3 1 5/3 i punti P 0, 1 3 e Q 1, 5 3 appartengono ad r. La retta ax + by + c =0è parallela all asse y se e solo se b =0,mentreè parallela all asse x seesolosea =0; inoltre, passa per l origine O (0, 0) se e solo se c =0. La bisettrice dei quadranti I e III ha equazione y = x, mentre la bisettrice dei quadranti II e IV ha equazione y = x. Se una retta non è parallela all asse y, la sua equazione ax + by + c =0 può essere esplicitata rispetto a y (in quanto deve essere b 6= 0)escritta quindi nella forma esplicita y = mx + q che ha rilevanza per il significato assunto dai coecienti m e q: m è detto coeciente angolare della retta e misura la sua inclinazione rispetto all asse x; più precisamente, con riferimento alle nozioni introdotte nel Capitolo 8, si ha m =tan dove è l angolo antiorario che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse q èdettoordinata all origine e coincide con l ordinata del punto in cui la retta interseca l asse x. 3

4 È naturale aspettarsi che parallelismo e perpendicolarità tra due rette possano essere espressi in termini dei loro coecienti angolari, in quanto essi ne caratterizzano l inclinazione. In eetti, si dimostra che due rette y = m 1 x + q 1 ed y = m x + q sono paralleleseesolosehannolostessocoeciente angolare, ossia m 1 = m perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coecienti angolari vale 1, ossia m 1 = 1. m Dunque y = mx + q e y = 1 x + q (con q generico) rappresentano m rispettivamente la generica retta parallela e la generica perpendicolare a y = mx. La retta passante per il punto P 0 (x 0,y 0 ) ed avente coeciente angolare m ha equazione y y 0 = m (x x 0 ). () La retta passante per i due punti P 1 (x 1,y 1 ) e P (x,y ) ha equazione y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ) () se x 6= x 1 (altrimenti, si tratta della retta x = x 1, parallela all asse y). Esempio Si voglia determinare l equazione della retta parallela alla bisettrice dei quadranti II e IV e passante per il punto P (1, ). La bisettrice y = x ha coeciente angolare m = 1, che è anche il coeciente angolare di qualunque retta ad essa parallela. La retta di cui dobbiamo determinare l equazione ha dunque coeciente angolare m = 1 e passa per il punto P (1, ). Laformula() con x 0 =1e y 0 = fornisce allora y () = (x 1) y + = x +1 y = x 1. Esempio Si voglia scrivere l equazione della retta r passante per i punti P 1 (1, 1) e P (5, ), verificando poi se R (9, 5) e Q (, 1) appartengono ad r. Dalla formula () con x 1 =1, y 1 = 1, x =5ed y =, si ottiene subito y +1 = +1 (x 1) 51 y = 3 4 (x 1) 1 y = 3 4 x

5 Dunque un punto P (x, y) appartiene ad r se e solo se le sue coordinate (x, y) soddisfano tale equazione. In particolare, R (9, 5) appartiene ad r perché =5,mentreQ (, 1) non appartiene ad r perché = 1 4 6= Coniche I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di grado nelle incognite x e y Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F =0 sono detti coniche (eventualmente degeneri). A seconda del valore dei coefficienti A, B, C, D, E, F le coniche si classificano in parabole, ellissi (tra cui le circonferenze) o iperboli. Nel seguito, richiameremo solo alcuni casi particolari. 7.3 Intersezione di curve Le soluzioni del sistema tra le equazioni di due o più curve coincidono con le coordinate di tutti e soli i punti di intersezione di tali curve. Infatti, risolvendo il sistema, si determinano le coppie (x, y) che soddisfano tutte le sue equazioni, cioè le coordinate di quei punti che appartengono a tutte le curve considerate. 7.4 Parabola I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di grado del tipo y = ax + bx + c con a 6=0 sono curve dette parabole (con asse parallelo all asse delle ordinate). Una parabola ha uno dei seguenti andamenti a seconda del segno del coeciente a 6= 0e, in ogni caso, ammette una retta parallela all asse y come asse di simmetria, detto asse della parabola. Il sistema ½ y = ax + bx + c x =0 ha sempre l unica soluzione (0,c), che rappresenta quindi il punto di intersezione della parabola y = ax + bx + c con l asse delle ordinate x =0. 5

6 Data la parabola P : y = ax + bx + c, le eventuali soluzioni del sistema ½ y = ax + bx + c y =0 rappresentano le possibili intersezioni tra P e l asse delle ascisse y =0;si tratta quindi di studiare l equazione ax + bx + c =0, il cui discriminante = b 4ac viene anche detto discriminante di P, esipotrannoallora presentare le seguenti situazioni: < 0 no intersezioni =0 1 intersezione > 0 intersezioni L asse della parabola y = ax + bx + c ha equazione x = b a () mentre il punto V di intersezione tra parabola ed asse ha coordinate e viene detto vertice della parabola. V µ b a, 4a La parabola y = ax + bx + c passa per l origine O (0, 0) se e solo se c =0, mentre ha il vertice sull asse y se e solo se b =0. Stabilito (in base al segno di a) se rivolge la sua concavità verso l alto piuttosto che verso il basso, per disegnare una parabola ci accontenta in genere di posizionarne il vertice e le eventuali intersezioni con gli assi coordinati. Esempio Si vuole determinare l equazione della parabola con asse x = 1 e passante per i punti P (0, ) e Q (, 0). 6

7 Tale equazione sarà del tipo y = ax + bx + c e si tratta quindi di determinare a, b, c in modo che le condizioni richieste siano soddisfatte. La parabola passa per P e Q seesoloselelorocoordinateneverificanol equazione,ossia =c e 0=a4+b+c. Inoltre, anché la retta x = 1 sia asse della parabola, dalla formula () segue che a e b devono essere tali che b a = 1, ossia b = a. Siccome la parabola in questione soddisfa simultaneamente le tre condizioni imposte, le equazioni in cui esse sono state tradotte vanno considerate a sistema: c = 4a +b + c =0 b = a. Sostituendo la prima e l ultima equazione nella seconda, si ha 4a a =0, cioè a =1. Il sistema ha quindi l unica soluzione a =1,b = 1,c = e l equazione cercata è dunque y = x x. 7.5 Iperbole equilatera I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di grado del tipo xy = k con k 6= 0 sono curve dette iperboli equilatere (riferite ai propri asintoti). Un iperboleequilateraèformatadaduerami che hanno uno dei seguenti andamenti a seconda del segno del termine k 6= 0e, in ogni caso, ammette le bisettrici dei quadranti come assi di simmetria gliassicoordinaticomeasintoti 1. 1 Ricordiamo che, intuitivamente parlando, una retta è asintoto per una curva se quest ultima le si avvicina indefinitamente senza raggiungerla. 7

8 Le intersezioni tra un iperbole equilatera e la bisettrice dei quadranti in cui giacciono i suoi rami sono detti vertici dell iperbole. Esempio Si vogliano determinare gli eventuali punti di intersezione tra l iperbole xy =3e la parabola y =x 3x +. Le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra due curve sono le soluzioni del sistema delle loro equazioni, ossia ½ xy =3 y =x 3x +. Sostituendo la seconda equazione nella prima, si ottiene x x 3x + = 3 x 3 3x +x 3 = 0 x (x 3) + x 3 = 0 x +1 (x 3) = 0 che ha l unica soluzione x = 3, la quale, sostituita in una qualsiasi delle equazioni delsistema,forniscepoiy =. L iperbole e la parabola si intersecano dunque nell unico punto P 3,. 7.6 Circonferenza I luoghi geometrici rappresentati da equazioni di grado del tipo x + y + ax + by + c =0 con a 4 + b c>0 4 sono circonferenze, e viceversa. Per disegnare una circonferenza èsuciente posizionarne il centro C e conoscerne il raggio r; si può dimostrare che µ C a, b r a ed r = 4 + b c. ( ) 4 La circonferenza x + y + ax + by + c =0passa per l origine O (0, 0) se e solo se c =0. La circonferenza di centro C (, ) e raggio r>0 ha equazione (x ) +(y ) = r. ( ) In particolare, x + y =1rappresenta la circonferenza con centro nell origine e raggio 1. Osserviamo che, se a 4 + b 4 c =0, allora il luogo geometrico di equazione x + y + ax + by + c =0si riduce al solo punto a, b. 8

9 Esempio Data la circonferenza x + y +x y =0di centro C (, ) e raggio r 0, si vuole scrivere l equazione della circonferenza ad essa concentrica ed avente raggio doppio. Dalle formule ( ) si ricava q q = = 1, 1 = = 1 4 e r = = 5 4. La circonferenza cercata ha dunque centro C q 1, 1 e raggio 5 4 formula ( ), haequazione (x +1) + y 1 = x +x +1+y y = 5 x + y +xy 3 4 = 0. µ q 5 4 e, per la Esercizi 1. Dato il fascio di rette (k 1) x+(k +)y +k =0, determinare k in modo che la retta corrispondente sia parallela all asse delle ascisse [k =1] abbia coeciente angolare [k = 5] Per k 6=, la generica retta del fascio si scrive y = k1 k+ x k k+ ed ha quindi coeciente angolare m = k1. La condizione di parallelismo con l asse y =0è m =0. Si tratta dunque di determinare k anché sia k1 =0(nel primo caso) e = (nel secondo caso). k+ k1 k+. Scrivere l equazione della retta r passante per i punti O (0, 0) e P (5, ). Verificare poi se R (15, 6) e Q (0, 7) appartengono alla retta r. r : y = 5x; solo R appartiene ad r 3. Determinare il valore del parametro k per cui la retta ( + k) x+(k 1) y+ 3 k =0 passa per il punto P (0, ) [k = 1] è parallela all asse x [k = ] è perpendicolare alla retta r :xy +5=0 [k = 5] k+ è parallela alla retta per i punti A (, 1) e B (1, 3) determina con gli assi cartesiani un triangolo di area 1 [k = 8] k =

10 P appartiene alla retta se e solo se le sue coordinate (0, ) ne soddisfano l equazione, ossia è (k 1) + 3 k =0. Per k 6= 1, la retta si può scrivere y = +k 3k +k k1 x k1 ed ha quindi coeciente angolare m = k1. La condizione di parallelismo con l asse x è m =0. La condizione di perpendicolarità alla retta r è m = 1, essendo il coeciente angolare di r. La retta per A e B è y = 3 x+ 7 3 e la condizione di parallelismo ³ ³ con essa è quindi m = 3. La retta interseca gli assi nei punti 0, k3 k1 e k3 +k, 0 ; il triangolo rettangolo individuato ha allora area data da 1 k3 k3 k1 +k. 4. Scrivere l equazione dell asse del segmento di estremi A (1, ) e B, 1. Si ricordi che l asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare e passante per il suo punto medio. [8x 4y +1=0] 5. Trovare l equazione della retta parallela alla bisettrice dei quadranti I e III e passante per il punto di intersezione tra le rette r : x + y 4=0ed s : x 3y +4=0. [y = x] 6. Che cosa rappresenta l espressione xy =3? Descriverne le caratteristiche. [iperbole equilatera con asintoti gli assi cartesiani everticiv 1 3, 3 ev 3, 3 7. Dopo aver disegnato la curva xy =1,trovareisuoipuntidiintersezione con la retta x y +1=0. Le coordinate degli eventuali ½ punti di intersezione delle due curve sono xy =1 le soluzioni del sistema La seconda equazione si scrive x y +1=0. y = x +1. Sostituendo nella prima si ha x + x =1, che ha le soluzioni x 1 = 1+ 5 e x = 51. Le corrispondenti ordinate sono fornite ad esempio dalla seconda equazione: y 1 = x 1 +1 e y = x +1. ³ ³ 51 hp , 1 5,P, i Trovare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y passante per i punti (1, 0), (, 1), (5, ) e disegnarla nel piano cartesiano. Imponendo che le coordinate dei punti soddisfinol equazione della generica 0=ab + c parabola y = ax + bx + c, si ottiene il sistema 1=4a +b + c in =5a +5b + c cui le incognite sono i coecienti della parabola cercata. y = 9 x x

11 9. Trovare l equazione della parabola con asse parallelo all asse y passante per l origine e con vertice V (, 4); disegnarla poi nel piano cartesiano. Imponendo che la generica parabola passante ½ per l origine y = ax + bx b abbia vertice in (, 4) si ottiene il sistema a = y = x b 4a = 4. 4x 10. Determinare la lunghezza della corda staccata dalla parabola y = x + 5x 6 sulla retta di equazione x + y +1=0. Si tratta di calcolare la lunghezza del segmento che ha per estremi i punti di intersezione tra parabola e retta Scrivere l equazione della parabola y = ax + bx + c che taglia l asse y nel punto di ordinata e che passa per A (, 1) e B (4, ). y = 1 4 x x + 1. Un quadrato ha un vertice in (1, 0) elesuediagonalisiintersecanonel punto 3, 3. Determinare le coordinate degli altri tre vertici, il perimetro P del quadrato, le aree S 1 ed S dei cerchi inscritto e circoscritto. Si ricordi che il cerchio inscritto ha per raggio la metà del lato del quadrato, mentre il cerchio circoscritto ha per raggio la metà della diagonale. (0, ), (3, 1), (, 3) ; P =4 5; S1 = 5 4,S = Scrivere le equazioni delle circonferenze aventi il centro sull asse delle a- scisse, passanti per l origine degli assi e con raggio r =. b =0 Le tre condizioni si traducono nel sistema c =0 a 4 + b 4 c =4. x + y +4x =0;x + y 4x =0 14. Scrivere le equazioni delle rette tangenti la circonferenza di equazione x + y 6x y +9=0 nei punti in cui questa incontra l asse delle ascisse. La circonferenza data( incontra l asse delle ascisse nei punti in cui è y = x + y 6x y +9=0 0; siccome il sistema ammette la soluzione y =0 doppia (3, 0), l asse delle ascisse è l unica tangente cercata. [y =0] 15. Data l equazione x + y 4x 4y +8=0, verificare se essa rappresenta una circonferenza. Poiché è punto. 8=0, non si tratta di una circonferenza, bensì di un [No] 11

12 16. Verificare se si intersecano le curve di equazioni x + y = 1 4 e y = x + x +1. Senza ricorrere all impostazione analitica del problema tramite il sistema tra le due equazioni, si vede subito come la prima equazione rappresenti una circonferenza con centro l origine e raggio r = 1, mentre la seconda è l equazione di una parabola con concavità rivolta verso l alto, con vertice V 1, 4 3 e che interseca l asse delle ordinate in un punto C (0, 1). Le due curve sono quindi esterne l una rispetto all altra e non hanno punti in comune. [No] 1