Iperbole. L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante.

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1 Iperbole L iperbole è il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi rimane costante. Vedi figura: Figura 1 Iperbole equilatera. Se i fuochi si trovano sull asse delle ascisse e l origine degli assi è il punto medio del segmento avente come estremi i due fuochi (come in figura) l equazione dell iperbole è data da: In questo caso la curva incontra l asse delle x nei due punti Gli asintoti (assi indicati in azzurro in figura) hanno equazione: Coordinate dei fuochi dell iperbole: Si trova: Se i fuochi si trovano sull asse delle ordinate e l origine degli assi è il punto medio del segmento avente come estremi i due fuochi l equazione dell iperbole è data da:. In questo caso la curva incontra l asse delle y nei due punti Gli asintoti hanno equazione: 1

2 Coordinate dei fuochi dell iperbole: Si trova: L iperbole si dice equilatera se a=b. In questo caso l equazione canonica, nel caso l asse focale si trovi sull asse x, diventa:. Mentre se l asse focale si trova sull asse y si ha: L iperbole equilatera ha gli asintoti perpendicolari tra loro ed aventi equazione. In questo caso si possono utilizzare gli asintoti come sistema di riferimento e l equazione dell iperbole diventa: 2

3 Esercizio 1 Scrivere l equazione dell iperbole equilatera riferita agli assi che passa per il punto: Svolgimento L iperbole è equilatera quindi ha equazione canonica data da: Imponendo il passaggio per P si trova: Quindi i fuochi si trovano sull asse delle ascisse e l equazione cercata è: Per verificare che i fuochi si trovano sull asse delle ascisse basta porre x=0: si trova. Questa equazione non ha soluzioni quindi l iperbole non interseca l asse y. È un iperbole equilatera quindi gli asintoti sono le due rette di equazione. I due fuochi hanno coordinate dove. 3

4 Esercizio 2 Determinare l equazione della retta tangente all iperbole nel punto. Svolgimento (METODO GENERALE) Scrivo l equazione di un fascio proprio di rette con centro P: Quindi imposto il sistema: La retta deve essere tangente quindi devo trovare m tale che la prima equazione di secondo grado del sistema abbia discriminante nullo. Notiamo che il discriminante di questa equazione è zero come dovevamo aspettarci dato che P è proprio il punto di tangenza. Sostituendo nell equazione del fascio proprio di rette con centro P ottengo la retta cercata: L equazione della retta tangente all iperbole data nel punto P vale: Svolgimento (USO DELLA FORMULA DI SDOPPIAMENTO) Poiché il punto appartiene all iperbole data infatti: Posso usare la formula di sdoppiamento. L equazione della retta tangente all iperbole per il punto dato (che appartiene anche all iperbole) è data da: 4

5 Sostituendo le coordinate del punto P si trova: Prima di disegnare il grafico dell iperbole osservo che i fuochi si trovano sull asse x infatti se x=0 si trova. Questa equazione non ha soluzioni quindi l iperbole non interseca l asse y. È un iperbole equilatera quindi gli asintoti sono le due rette di equazione coordinate dove.. I due fuochi hanno 5

6 Esercizio 3 Scrivere l equazione dell iperbole equilatera riferita agli assi che passa per il punto trovare l equazione della tangente in tale punto. Svolgimento (METODO GENERALE) L iperbole è equilatera quindi la sua equazione generica è data da: e Impongo il passaggio per P: Quindi i fuochi si trovano sull asse delle ascisse e l equazione cercata è: Per trovare la tangente alla curva nel punto P scrivo l equazione del fascio proprio di rette con centro in P: Quindi imposto il sistema: La retta deve essere tangente quindi devo trovare m tale che la prima equazione di secondo grado del sistema abbia discriminante nullo. Notiamo che il discriminante di questa equazione è zero come dovevamo aspettarci dato che P è proprio il punto di tangenza. L equazione della retta tangente all iperbole data nel punto P vale: 6

7 Svolgimento (USO DELLA FORMULA DI SDOPPIAMENTO) Poiché il punto sdoppiamento. appartiene all iperbole quindi posso usare la formula di L equazione della retta tangente all iperbole per il punto dato (che appartiene anche all iperbole) è data da: Sostituendo le so ordinate del punto P si trova: Prima di disegnare il grafico dell iperbole osservo che i fuochi si trovano sull asse x infatti se x=0 si trova. Questa equazione non ha soluzioni quindi l iperbole non interseca l asse y. È un iperbole equilatera quindi gli asintoti sono le due rette di equazione coordinate dove.. I due fuochi hanno 7

8 Esercizio 4 Determinare l equazione, riferita agli assi, dell iperbole equilatera che passa per il punto. Calcolare poi le coordinate dei vertici, dei fuochi e le equazioni degli asintoti. Svolgimento Scrivo l equazione di una generica iperbole equilatera: Sostituendo le coordinate del punto P trovo: Quindi i fuochi si trovano sull asse delle ascisse e l equazione cercata è: Ha l asse focale sull asse delle ascisse quindi i vertici si trovano sull asse delle ascisse e per trovarli basta porre y=0: Vertici: Per trovare le coordinate dei fuochi uso la relazione: Fuochi: Asintoti: 8

9 Esercizio 5 Determinare l equazione, riferita agli assi, dell iperbole equilatera che passa per il punto. Svolgimento Scrivo l equazione di una generica iperbole equilatera: Sostituendo le coordinate del punto P trovo: Quindi i fuochi si trovano sull asse delle ordinate e l equazione cercata è: Per verificare che i fuochi si trovano sull asse delle ordinate basta porre y=0: si trova. Questa equazione non ha soluzioni quindi l iperbole non interseca l asse x. È un iperbole equilatera quindi gli asintoti sono le due rette di equazione. I due fuochi hanno coordinate dove. 9

10 Esercizio 6 Determinare l equazione, riferita agli assi, dell iperbole equilatera sapendo che uno dei due fuochi ha coordinate. Svolgimento Le coordinate dei fuochi sono dove Sostituendo i dati si trova: Elevando al quadrato ambo i membri si ha: L equazione dell iperbole è: 10

11 Esercizio 7 Determinare l equazione, riferita agli assi, dell iperbole equilatera sapendo che uno dei due fuochi ha coordinate. Svolgimento Le coordinate dei fuochi sono dove Sostituendo i dati si trova: Elevando al quadrato ambo i membri si ha: Dato che i fuochi si trovano sull asse y l iperbole non interseca l asse x quindi l equazione cercata è: 11