1) a c - > 0 si ha un ellisse; 2) a c - 4. = 0 si ha una parabola; 3) a c - 4. < 0 si ha un iperbole.

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1 1 Generalità sulle coniche AVVERTENZA QUESTI APPUNTI CONTENGONO DELLE NOTE INTRODUTTIVE SULLE CONICHE. QUESTE NOTE HANNO UN CARATTERE INTUITIVO, NON RIGOROSO E NON ESAUSTIVO. ESSE SONO STATE SCRITTE SOLO PER DARE AL LETTORE UN'IDEA GENERALE E INTUITIVA DELLE CONICHE, AL FINE DI RENDERE PIÙ AGEVOLE UN PIÙ APPROFONDITO STUDIO DELL'ARGOMENTO. QUINDI PER MAGGIORI DETTAGLI E MAGGIORE PRECISIONE SI RIMANDA AL LIBRO DI TESTO. Come già detto in altri appunti, le coniche sono delle curve piane che si ottengono dall intersezione di un cono circolare indefinito a due falde e un piano che lo interseca. Si è già detto anche che le coniche si dividono in circonferenze, ellissi, paraole e iperoli. Nel caso in cui il piano intersechi il cono nel suo vertice, allora si ha una conica degenere, ossia un punto (ossia il vertice) o una retta (ossia una generatrice del cono) o una coppia di rette che si intersecano in un punto (ossia due rette generatrici del cono). NOTA: considereremo coniche degeneri anche una coppia di rette parallele o anche nessun punto, anche se né l una né l altra cosa si possono ottenere dall intersezione di un cono indefinito a due falde con un piano. Si può dimostrare che una conica in geometria analitica è rappresentata da un equazione di grado nelle variaili x e y. Viceversa, una qualunque equazione di grado nelle variaili x e y rappresenta una conica o una conica degenere. L equazione generale di una conica è la seguente: a x + xy + c y + d x + e y + f = 0 (al variare dei parametri a,, c, d, e, f nell insieme dei numeri reali). Questa equazione, al variare dei suddetti parametri, rappresenta tutte le possiili coniche e tutte le possiili coniche degeneri. (Nota: esiste un criterio per stailire quando un equazione di questo tipo rappresenta una conica degenere oppure non degenere. Noi non approfondiremo questo discorso). Nel caso in cui questa equazione rappresenta una conica non degenere, si può dimostrare che se: 1) a c - > 0 si ha un ellisse; 4 ) a c - 4 3) a c - 4 = 0 si ha una paraola; < 0 si ha un iperole. NOTA, con qualche semplicissimo passaggio algerico possiamo riscrivere le precedenti formule rendendole ancora più facili da ricordare. Facendo ciò possiamo scrivere che se: 1) 4 a c < 0 si ha un ellisse; ) 4 a c = 0 si ha una paraola; 3) 4 a c > 0 si ha un iperole. ESEMPI Nella figura seguente è rappresentata la conica di equazione: x xy y 3 x + y + 1 = 0 Si noti che a = 1, = -, c = -1. In questo caso 4 a c = 8 > 0, quindi si ha un iperole.

2 Nella figura seguente è rappresentata la conica di equazione: x xy +3 y 3 x + y - 16 = 0 Si noti che a =, = -, c = 3. In questo caso 4 a c = -0 < 0, quindi si ha un ellisse. Nella figura seguente è rappresentata la conica di equazione: x - 4 xy + 4 * y + * x 5 = 0 Si noti che a = 1, = -4, c = 4. In questo caso 4 a c = 0, quindi si ha una paraola. Nella figura seguente è rappresentata la conica di equazione: x - 4 xy + 4 * y + * x 5 = 0 Essa, da come si può notare nella figura seguente, consiste in una coppia di rette parallele.

3 3 Circonferenza Dato un punto C (che chiamiamo centro) e dato un numero positivo k, si definisce circonferenza di centro C e di raggio k l insieme di tutti i punti del piano che hanno distanza k dal centro. In figura si ha come esempio una circonferenza di centro l origine e di raggio. Questa circonferenza ha equazione x + y = 4. In generale si può dimostrare molto facilmente che tutte le circonferenze di centro l origine e di raggio r hanno equazione x + y = r. Come si vedrà nel paragrafo seguente, una circonferenza può essere vista come una particolare ellisse. Ellisse Dati due punti distinti F 1 e F (che chiamiamo fuochi) e dato un numero positivo k, l insieme dei punti P del piano tali che F 1 P + F P = k, si dice ellisse. In figura è rappresentato un esempio di ellisse in cui k corrisponde al numero 6. Il segmento AB (ossia il segmento avente per estremi i due punti dell ellisse che hanno la massima distanza) si chiama asse maggiore dell ellisse. Si può dimostrare facilmente che la lunghezza dell asse maggiore dell ellisse è proprio k. Nella figura seguente, il segmento AB è l asse maggiore dell ellisse e la sua lunghezza è 6.

4 4 Contemporaneamente, il segmento CD (ossia il segmento perpendicolare ad AB e passante per il suo punto medio), si chiama asse minore dell ellisse (vedi figura seguente). I due assi si incontrano in un punto detto centro dell ellisse. L eccentricità di un ellisse è un parametro che misura quanto un ellisse sia schiacciata. Questo parametro si indica con la lettera e ed è dato dal seguente rapporto: e = ( Lunghezza asse maggiore) ( Lunghezza asse minore) Lunghezza asse maggiore Il parametro e è un numero compreso tra zero e 1. Se e è molto prossimo a zero, vuol dire che la lunghezza dell asse maggiore è quasi uguale alla lunghezza dell asse minore e quindi l ellisse è molto simile ad una circonferenza (vedi figura a sinistra). Se invece e è molto prossimo ad 1, allora l asse minore è molto più corto dell asse maggiore e quindi l ellisse è molto schiacciata. ELLISSE CON ECCENTRICITÀ = ELLISSE CON ECCENTRICITÀ =

5 5 Si noti, ancora, che minore è l eccentricità e più i due fuochi tendono a coincidere. Se l eccentricità è proprio zero, allora i due fuochi coincidono con il centro e l ellisse diventa una circonferenza. Per questo una circonferenza si può considerare come un ellisse con eccentricità uguale a zero. In generale, si potree dimostrare facilmente che l'equazione di un'ellisse che aia il centro nell'origine che aia i fuochi sull'asse x e che aia il semiasse maggiore uguale ad "a" (per semiasse maggiore si intende la metà dell'asse maggiore) e il semiasse minore uguale a "" (per semiasse minore si intende la metà dell'asse minore) è del tipo: x a y + = 1 (equazione canonica dell'ellisse) x y IN FIGURA: ELLISSE DI EQUAZIONE + = 1 Concludiamo dicendo che, posto come si è detto: a = lunghezza del semiasse maggiore e =lunghezza del semiasse minore l'eccentricità dell'ellisse si può definire equivalentemente con la formula e = 5 3 a a Iperole Dati due punti distinti F 1 e F (che chiamiamo fuochi) e dato un numero positivo k, l insieme dei punti P del piano tali che si dice iperole. F 1 P - F P = k, Ricordiamo che le due stanghette verticali che racchiudono F 1 P - F P significano valore assoluto di F 1 P - F P. In altre parole, con la formula F 1 P - P considerare mentre dovremo considerare F = k si intende che dovremo F 1 P - F P = k nel caso in cui F 1 P sia maggiore di F P, F 1 P. F P - F 1 P = k nel caso in cui F P sia maggiore di Ancora più semplicemente, in termini intuitivi, possiamo dire che se P si trova vicino a F e lontano da F 1, allora calcoliamo vicino a F 1 e lontano da F, allora calcoliamo F 1 P - P F F P - P F 1., mentre se P si trova

6 6 L'iperole, a differenza delle altre coniche, ha la particolarità di essere costituita da due "pezzi" disgiunti, detti rami dell'iperole. IN FIGURA: UN'IPERBOLE IN CUI SI HA CHE F 1 P - F P = 6 L'iperole ha un'altra particolarità: gli asintoti. Un asintoto è una retta a cui l'iperole si avvicina indefinitamente senza mai toccarla. Un'iperole ha sempre asintoti. L'iperole ha vertici che sono i punti di intersezione tra i due rami dell'iperole e la retta passante per i fuochi. Nella figura seguente i vertici sono denotati con V 1 e V. Il segmento di estremi V 1 e V si dice asse trasverso. Si potree dimostrare che, data l'iperole generata dalla relazione F 1 P - F P = k, l'asse trasverso misura k.

7 7 NELL'ESEMPIO DELLA FIGURA, L'ASSE TRASVERSO MISURA 6. Il punto medio dell'asse trasverso è detto centro dell'iperole. IN FIGURA ABBIAMO UN'IPERBOLE IN CUI IL CENTRO DELL'IPERBOLE COINCIDE CON L'ORIGINE. L'iperole ha un secondo asse detto asse non trasverso che si trova nel seguente modo: a) si considerano le due rette tangenti ai vertici;

8 8 ) esse intersecheranno i due asintoti in 4 punti; c) unendo questi quattro punti si forma un rettangolo; d) allora l'asse trasverso e l'asse non trasverso sono i due segmenti (perpendicolari e paralleli rispettivamente alla ase e all'altezza del rettangolo) che dividono il rettangolo in 4 parti uguali.

9 9 Si dice eccentricità dell'iperole il parametro che misura quanto l'iperole sia "schiacciata" e si calcola con la formula: ( Lunghezza asse trasverso) + ( Lunghezza asse non trasverso) e =. Lunghezza asse trasverso L'eccentricità dell'iperole è sempre un numero maggiore di 1. Se l'iperole è molto "schiacciata" allora l'asse trasverso è molto più lungo dell'asse non trasverso, quindi (come si può constatare riflettendo un po' sulla precedente formula) l'eccentricità è di poco maggiore di 1 (ossia è "piccola"). In altre parole un'eccentricità piccola determina un'iperole molto "schiacciata". Viceversa, un'eccentricità più grande determina un'iperole poco schiacciata. ECCENTRICITÀ = ECCENTRICITÀ = In generale, si potree dimostrare facilmente che l'equazione di un'iperole che aia il centro nell'origine, che aia i fuochi sull'asse x e che aia il semiasse trasverso uguale ad "a" (per semiasse trasverso si intende la metà dell'asse trasverso) e il semiasse non trasverso uguale a "" (per semiasse non trasverso si intende la metà dell'asse non trasverso) è del tipo: x y = 1 (equazione canonica dell'iperole) a IN FIGURA: CON a INDICHIAMO LA MISURA DEL SEMIASSE TRASVERSO, MENTRE CON INDICHIAMO LA MISURA DEL SEMIASSE NON TRASVERSO. IN QUESTO CASO a =4 E =3.

10 10 x y IN FIGURA: IPERBOLE DI EQUAZIONE = Concludiamo dicendo che, posto come si è detto: a = lunghezza del semiasse trasverso e =lunghezza del semiasse non trasverso l'eccentricità dell'iperole si può definire equivalentemente con la formula e = a + a.