SELEZIONE DI ESERCIZI DI ELETTROSTATICA.

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1 Fisica geneale II, a.a. 13/14 SELEZIONE DI ESEIZI DI ELETTOSTATIA..1. Un pocesso elettolitico divide 1.3 mg di Nal (massa di una mole = 59 g) in Na + e l. Le caiche positive vengono allontanate da quelle negative sino a che la foza di attazione ta caiche di segno opposto si iduce a 1 N. La distanza d ta caiche positive e negative è di cica (A) 1 km () 1 km () 4 km (D) km (E) 1 km SOLUZIONE. Ogni ione pota una caica pai, in modulo, alla caica elementae. Il pocesso elettolitico foma dove N A è il numeo di Avogado ( ). La caica di una mole di elettoni (e ) è il Faada (con F maiuscolo e simbolo F!) pai a La caica degli ioni positivi/negativi in 1.3 mg di Nal vale in valoe assoluto Deve quindi essee A.. Te caiche elettiche q A, q = q sono poste ai vetici di un tiangolo isoscele di vetice A, altezza AH = 1 cm e base = 6 cm. Se q = 5 n e il campo elettico nel baicento M si annulla la caica q A vale: (A) () 1. n ().89 n (D) 8.64 n (E).5 n M SOLUZIONE. oichè q = q, E = E ; il vettoe E +E è veticale e ha A modulo pai a E +E = E cos(). Il campo elettico E A ceato da q A deve soddisfae la elazione: E E A H E e le popietà del baicento: H Utilizzando questi valoi nell espessione di E A otteniamo:.3. Le coodinate (in meti) dei punti A della figua sono ipotate in tabella. Nel punto è posta una caica q = 9 n e la caica in è scelta in A modo che il campo elettico nel punto O (,) sia nullo. La caica 3 q A vale 3 4 (A) 3 n () 4 n () 6.75 n (D) 7. n (E) n O A 1

2 Fisica geneale II, a.a. 13/14 E O A SOLUZIONE. oichè il campo elettico podotto in O da una caica posta in è dietto lungo la etta tatteggiata, i campi E ed E A podotti in O dalle caiche q e q A devono dae come isultante un vettoe giacente sulla etta:.4. Una caica Q è distibuita all inteno di una sfea di aggio con densità vaiabile =, dove è la distanza dal cento della sfea e costante. a) alcolae l espessione della caica Q () in funzione di ; b) calcolae. SOLUZIONE. Un guscio sfeico di aggio < e spessoe d ha un volume pai a e contiene quindi una caica dq pai a L espessione della caica in funzione del aggio si ottiene integando l espessione pecedente: Imponendo che la caica totale distibuita nella sfea valga Q si ottiene l espessione della costante : e l espessione pecedente può essee scitta come.5. Un asta sottile che pota complessivamente una caica Q =.5 n viene cuvata a foma di semicechio di aggio =.77 m mantenendo unifome la densità della caica stessa. Il campo elettico nel cento del semicechio vale (A) 5.73 V/m ().87 V/m () V/m (D).716 V/m (E).358 V/m O SOLUZIONE. La densità lineae di caica sulla semiciconfeenza è E de Ogni tatto dl = dϑ pota una caica e cea in O un campo elettico pai a O dl d di cui, pe la simmetia del poblema, la componente oizzontale si annulla mente solo la componente veticale de sin(ϑ) contibuisce al campo totale E. etanto, integando sulla semiciconfeenza:

3 Fisica geneale II, a.a. 13/14 [ ].6. Due fili conduttoi cicolai (1 e ) caichi hanno i centi sull asse delle e appatengono a piani paalleli a z. aggi () dei fili, ascisse ( ) dei centi e z caiche (q) note sono ipotate in tabella. Il campo elettico si annulla nel punto dell asse delle che ha ascissa = 1/3 cm. La caica q vale (cm) (cm) q () (A) 3. () () 6.3 (D) 9.6 1? (E) 1.6 SOLUZIONE. a) b) dq dq alcoliamo il campo lungo l asse della spia conduttice 1 di cento O. La situazione è appesentata nella figua a). Ogni tatto infinitesimo della spia pota una caica dq e contibuisce al campo elettico a distanza ( + ) 1/ con Il contibuto della spia 1 al campo totale in vale quindi La funzione E (q 1, ) è appesentata nella figua b); si noti che essa pesenta un massimo pe = e vale zeo nel cento ( = ) della spia. e la spia conduttice si ha analogamente (in centimeti, =1) [ ] [ ] oiché il punto in cui il campo si annulla appatiene al tatto di asse compeso ta i centi delle due spie, q 1 e q devono avee lo stesso segno. Uguagliando il modulo dei campi podotti in dalle due spie dovo ave semplificato la costante k e otteniamo [ ] [ ] 3

4 Fisica geneale II, a.a. 13/14 Il poblema si può isolvee anche cecando il minimo della funzione potenziale e notando che, pe il cechio 1, la distanza ta il punto () e un qualunque punto del cechio 1 vale (vedi fig. a) mente pe il cechio si ha. Il potenziale è peciò e la sua deivata in è popozionale a dove si è tenuto conto che il segno della deivata ispetto a di è indeteminato. Imponendo l annullamento della deivata del potenziale pe si aiva all equazione pecedente..7. Una sfea conduttice di aggio s = 1 cm con una caica Q s = n ha il cento nell oigine O degli assi catesiani. L asse di un lungo cilindo conduttoe di aggio c = cm e caica pe unità di lunghezza pai a Q c /L = 3 n/m è paallelo all asse e inteseca l asse nel punto (5,) che è distante 5 m da O. La componente E del campo elettico nel punto (3. m,.4 m) vale (A) 91.5 V/m () V/m ().5 V/m (D).5 V/m (E). V/m O SOLUZIONE. La sfea genea nel punto esteno un campo E S dietto adialmente, la cui componente paallela all asse è: E E S Il campo geneato dal cilindo conduttoe nel punto è pependicolae al filo (E = ), ha veso opposto all asse e la sua intensità è: Sommando i due contibuti di sfea e cilindo si ha: O.8. Una sfeetta di massa m = 1 g e caica q (positiva) è appesa mediante un leggeo filo di seta lungo L =.5 m a una sottile lamina conduttice veticale di gande estensione che pota una caica di densità supeficiale =.1 m/m (vedi figua). Se, nella condizione di equilibio, l angolo fomato ta il filo e la lamina è = 3 o la caica q della sfeetta vale (A) 5.1 n () 43.4 n () 5.1 n (D) 81.6 n (E) 1 n < T mg qe 4

5 a b c Fisica geneale II, a.a. 13/14 SOLUZIONE. La lamina conduttice è caatteizzata da densità supeficiale di caica pai a sulle sue supefici estene, mente il campo S S 3 1 elettico è nullo all inteno: E inteno =. e lasta sufficientemente estesa, il campo elettico geneato dalla lasta è pependicolae alle sue facce. ossiamo deteminae il valoe di E esteno applicando la legge di Gauss a uno dei due cilindi disegnati nella figua a desta con S 1 =S =S 3 = S 4 S Nel caso del cilindo piccolo si ha: S 4 Qint S ( E ) S1E E (la supeficie S intena alla lamina non contibuisce al flusso peché E inteno = ). Anche nel caso del cilindo gande, essendovi una supeficie caica sopa e una sotto, si ha: Qint S3 ( E ) ( S3 S4) E S3E E La condizione di equilibio della sfeetta caica si può espimee dicendo che i) il momento della foza elettica qe e della foza peso mg ispetto al punto di sospensione devono essee uguali e opposti ii) la isultante qe+mg deve essee dietta come il filo pe essee compensata dalla tensione T dello stesso. e la condizione ii) deve quindi essee 1 mg tan tan(3) 9 mg tan qe q q Una caica positiva q è posta a d =1 mm di distanza sopa il cento della calotta semisfeica di aggio = 1 m della figua. Il flusso del campo elettico attaveso la supeficie piana che chiude la calotta supeiomente vale cica, in valoe assoluto (A) () () q/ (D) q/ (E) SOLUZIONE. La caica q è contenuta nell emisfeo supeioe (tatteggiato in figua) della sfea completa in cui si tova una caica q, spostata di un tatto d > dal cento. Il flusso di E attaveso la supeficie costituita dalla calotta sfeica supeioe chiusa dalla supeficie cicolae piana di inteesse è, pe la legge di Gauss: oiché d <<, il campo geneato da q è sostanzialmente pependicolae alla supeficie sfeica della calotta supeioe e il flusso attaveso questa vale quasi esattamente la metà del flusso attaveso l intea sfea che acchiude q: E 5

6 Fisica geneale II, a.a. 13/14.1. Una sfea isolante di aggio a ha una caica totale Q, distibuita con densità volumetica unifome. La sfea è cicondata da un guscio sfeico concentico conduttoe con aggio inteno b e aggio esteno c. Disegnae qualitativamente l andamento, in funzione della distanza dal cento, del modulo del campo elettico nelle vaie egioni (inteno della sfea isolante, ta sfea e guscio, inteno del guscio, esteno del guscio) e calcolae (a) La caica indotta pe unità di aea sulla supeficie intena del conduttoe cavo (b) La caica indotta pe unità di aea sulla supeficie estena del conduttoe cavo SOLUZIONE. La densità di caica della sfea è e < a, applicando la legge di Gauss: oiché, pe definizione di flusso: e dalle elazioni pecedenti pe il campo inteno alla sfea intena unifomemente caica si ha e a < b, come già visto, la sfea caica si compota come una caica puntifome Q posta nel suo cento e pe il campo in questa egione si ha All inteno del guscio sfeico conduttoe, quindi pe b c, il campo elettico è nullo. Infine, il campo podotto all'esteno del guscio conduttoe ( > c) è lo stesso che si avebbe se la caica Q totale della sfea intena fosse depositata diettamente sul guscio. La densità di caica indotta sulla supeficie elettica del guscio è e pe > c si ha Gaficamente: e il fenomeno dell induzione elettica, la caica indotta pe unità di aea sulla supeficie intena del conduttoe cavo vale Q/4b, mente la caica indotta pe unità di aea sulla supeficie estena del conduttoe cavo vale +Q/4c. 6

7 Fisica geneale II, a.a. 13/ alcolae la divegenza del vettoe v(,t) = (at)i+ (z+bt)j 3z k, funzione delle coodinate del punto e del tempo t, con a e b costanti. SOLUZIONE. icodando la definizione di divegenza:.1. alcolae la diffeenza di potenziale ta due punti a distanza ed dall asse di un filo caico infinitamente lungo. L asse del filo coincide con l asse, e sul filo vi è una densità lineae di caica 1 (in /m). E SOLUZIONE. e un filo caico, le supefici equipotenziali sono E cilindi che hanno pe asse il filo. La diffeenza di potenziale ta una supeficie cilindica a distanza e una a distanza è V ( ) V ( ) E( )d In qualunque punto il campo elettico è dietto nomalmente all asse del filo e il suo modulo pe il teoema di Gauss è: 1h 1 E( ) πh E( ) π Sostituendo tale espessione nell integale pecedente si ottiene: 1 d 1 V ( ) V ( ) E( )d ln π π h.13. Un guscio sfeico metallico di aggio esteno pai a 18 cm e aggio inteno pai a 1 cm contiene una sfea metallica di aggio cm; guscio e sfea sono concentici. La sfea intena ha una caica q S = n mente sul guscio esteno viene posta una caica q G = 4 n. Il potenziale elettico nel punto () a una distanza = cm dal cento del sistema, cioè sulla supeficie della sfea intena, vale (A) 65 V () V () 7 V (D) 1 V (E) 9 V SOLUZIONE. Il potenziale elettico in un punto () è uguale al lavoo del campo E pe potae una caica unitaia da () all infinito. Suddividiamo il pecoso in 3 tatti: da ad A, da A a e da all infinito. Il campo elettico nella zona compesa ta sfea e supeficie intena del guscio, cioè da ad A, è pai a quello di una caica puntifome q S posta nel cento del sistema; all inteno del guscio conduttoe (tatto da A a ), E = ; all esteno del guscio (feccia tatteggiata da all infinito), il campo E è pai al campo elettico di una caica puntifome q S +q G = n posta nel cento del sistema. Si ha peciò: A 7

8 Fisica geneale II, a.a. 13/14.1 A q S qs qg () d d qs qs qg V ke ke V Un campo elettico unifome E ha le componenti catesiane date in tabella assieme alle coodinate di due punti A e. La diffeenza di potenziale V A V vale: (A)79 V () 37 V () 33 V (D) 79 V(E) V SOLUZIONE. La diffeenza di potenziale ta A e è uguale al lavoo compiuto dal campo elettico pe spostae una caica unitaia positiva da A a : z E (V/m) A (m) 1 (m) Una molecola tiatomica (ad esempio l idossido di sodio NaOH) è schematizzata come l insieme delle te caiche della figua, consideate puntifomi. Sia Q 1 = Q 3 = +e, Q = e, 1 =.15 nm, 3 =.1 nm; l enegia potenziale totale del sistema è pai a cica (e = 1.6(1 19 ) ; 1eV = 1.6(1 19 ) J) (A) 14 ev () 31 ev () 4 ev (D) 48 ev (E) 98 ev Q Q Q 3 3 A SOLUZIONE. L enegia potenziale del sistema è uguale al lavoo da compiee conto il campo elettico pe costuie la molecola, cioè pe potae in posizione i te ioni da distanza infinita. In assenza di Q e di Q 3, la caica Q 1 viene potata in posizione al punto A senza compiee lavoo. e posizionae Q si compie un lavoo pai a dove V 1 () è il potenziale elettico geneato dalla caica Q 1 nel punto. e posizionae Q 3 si compie infine un lavoo pai a etanto [ ] Il valoe dell enegia potenziale calcolato coisponde all enegia di legame della molecola, cioè al lavoo che si compie pe scindee la molecola potando i suoi ioni costituenti a distanza idealmente infinita..16. Il potenziale elettico in una egione dello spazio in possimità dell oigine catesiana vaia in funzione della posizione secondo la legge: V a b c dove le costanti hanno i seguenti valoi: a = 3 V, b = V/m, c = 15 V/m. Il bastoncello A della figua è lungo L = m e pota ai suoi estemi due caiche di segno opposto e di uguale valoe A 8

9 Fisica geneale II, a.a. 13/14 assoluto q = 1 m. Il punto medio di A è vincolato nel punto di ascissa = 5 m dell asse. Il momento ispetto a delle foze elettiche agenti sulle caiche del bastoncello in Nm vale in modulo (A) 3.8 () 3. () 34. (D) 35.7 (E) 46. SOLUZIONE. alcoliamo il campo elettico lungo patendo dal potenziale: La foza elettica sia sulla caica in A sia su quella in è dietta lungo l asse e vale in modulo E + Le foze elettiche fomano una coppia il cui momento vale in modulo F La figua a sinista appesenta la situazione nel caso in cui la caica E F A positiva è in, mente quella a desta E appesenta la situazione nel caso in cui la A caica positiva è in A. Nel pimo caso, il momento delle foze elettiche tende a fa uotae il dipolo in senso antioaio, quindi M = 34. k. Nel secondo caso, il momento delle foze elettiche tende a fa uotae il dipolo in senso oaio, quindi M = 34. k. F A F E A alcolae il gadiente del campo scalae f()= + z e il suo modulo nel punto di coodinate = (1, 3, ). SOLUZIONE. alcoliamo il gadiente del campo: Nel punto si ha.18. Lungo l asse del piano il potenziale elettico è descitto dalla funzione V V 1 a con V = 5 V e a = m. La componente E del campo elettico nel punto = 4 m vale in V/m (A).45 ().89 ().68 (D).36 (E) V/m SOLUZIONE. alcoliamo la componente E del campo elettico patendo dal potenziale: e = 4 m si ha ( ) ( ) 9

10 Fisica geneale II, a.a. 13/ I potenziali elettici nei punti del piano attono all oigine hanno i valoi ipotati in tabella. La componente E del campo elettico nell oigine vale (A) 5V/m () 1V/m () 5 V/m (D) 1 V/m(E) V/m SOLUZIONE. alcoliamo la componente E del campo elettico nell oigine degli assi patendo dal potenziale: V(,) m m 75 V 1 m m 85 V 1 m m 65 V 1 m 7 V 1 m 8 V V D =8V V A =85V V =65V V O =75V V =7V Allo stesso isultato si giunge calcolando la deivata del potenziale ta A e O e ta O e in quanto il campo elettico è unifome. 1