4.3 Distanze. È un concetto molto importante, tramite cui si definisce l altezza in un poligono.

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1 4.3 Distanze Il concetto di distanza, intuitivamente, è legato all idea di percorso più breve, quindi, in Geometria Euclidea, si tratta di un segmento. Con il termine distanza si indicano sia l ente geometrico sia la sua lunghezza. È un concetto molto importante, tramite cui si definisce l altezza in un poligono.

2 Tra quali enti geometrici ha senso definire la distanza?

3 Definiamo tre distanze: La distanza tra due punti è il segmento che ha quei due punti come estremi (e anche la sua lunghezza). La distanza tra un punto e una retta è il segmento che ha un estremo in quel punto e uno sulla retta e che è perpendicolare alla retta. La distanza tra due rette parallele è un segmento che ha gli estremi sulle due rette ed è ad esse perpendicolare.

4 Si può definire la distanza tra rette incidenti? Si può definire la distanza tra rette coincidenti?

5 Quali attività di tipo motorio si possono proporre? Quali potrebbero essere gli errori tipici nella rappresentazione della distanza?

6 Attività. Distanza tra punti su un percorso obbligato (da PRISTEM). Ecco il piano delle strade di Triangopoli, dove ogni lato dei triangolini misura 1 km. Jacob si trova nel cortile della sua abitazione (A) e prende la bicicletta per andare a scuola in via Bognetti (B). Quale distanza percorrerà Jacob al minimo? Quali sono i possibili percorsi minimi? È possibile disegnare questa sagoma su un cartellone e prendere le misure. Poi ci si può chiedere se per Jacob sarebbe stato più comodo se avessero costruito un altra strada.

7 Punto medio e asse. Dato un segmento, il suo punto medio è il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi.

8 L asse di un segmento è la retta che passa per il suo punto medio ed è perpendicolare al segmento stesso.

9 L asse gode di una proprietà: è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. Attività. Costruire, in palestra, un segmento e il suo asse. Verificare la proprietà con delle corde.

10 Attività. Costruzione dell asse di un segmento (e del suo punto medio) con riga e compasso. Abbiamo già visto questa costruzione perché viene sfruttata quando si vuole costruire la retta perpendicolare a una retta data e passante per un punto.

11 Attività. La riva del fiume (da Kangourou, 2005). Sulla riva di un fiume un tratto rettilineo lungo 8 m viene limitato da due paletti A e B. Considerando tale tratto come un segmento, viene gettato un ponte che costituisce l asse del segmento e attraversa il fiume terminando nel punto C. Altri due ponti rettilinei vengono posti a partire dai due estremi A e B fino al punto C. Quale dei tre ponti ha lunghezza minore? Se uno dei due ponti laterali misura 5 m e la somma delle lunghezze dei tre ponti 13 m, quanto misura il ponte centrale?

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13 4.4 Il semipiano Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da una retta (compresa). La retta viene denominata origine del semipiano.

14 4.5 L angolo Scriviamo alcune definizioni di angolo e alcuni termini legati al concetto di angolo.

15 L angolo è una parte di piano delimitata da due semirette che hanno l origine in comune (semirette comprese). Chiameremo vertice dell angolo l origine comune delle due semirette e lati dell angolo le semirette stesse.

16 Quali misconcetti? Da che cosa sono ingenerati?

17 Il concetto di angolo può derivare da molte esperienze: il cambiamento di direzione, la rotazione e l intersezione di due semipiani.

18 Angolo come rotazione: Attività. Rappresentazione, verbalizzazione,... utilizzando opportuni strumenti.

19 Angolo come cambiamento di direzione: Attività. Spazzare angoli sulla farina.

20 Angolo come intersezione di semipiani: Attività. Utilizzare corde tese (che rappresentano le rette che individuano i semipiani). Passare dall attività motoria, alla verbalizzazione, alla rappresentazione dall alto.

21 Testi scolastici.

22 Testi scolastici.

23 Testi scolastici.

24 Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi: tramite una lettera greca: ad es. ˆα; attraverso una semiretta, il vertice e l altra semiretta: a ˆV b; con le sole semirette: ˆ ab; tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull altra semiretta: A ˆV B; attraverso il solo vertice: ˆV.

25 Attenzione! Due angoli! Parte di piano illimitata! Semirette, non segmenti! Ed evitare lati della stessa lunghezza!

26 Confronto di angoli. Due angoli a ˆV b e côd sono congruenti se, facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo (supponiamo a) con un lato del secondo angolo (supponiamo c), coincidono anche gli altri due lati e le regioni angolari.

27 Se così non è, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano un lato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell altro. In tal caso il primo è minore del secondo.

28 Rilevazione Nazionale INValSI 2009/2010, classe V Come è stata scelta la raffigurazione? Quali sono le possibili difficoltà?

29 Strumenti per il confronto. Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre. Strumento che consente di effettuare più misurazioni: Costruzione geometrica con riga e compasso.

30 Potendo trasportare un angolo, con riga e compasso, possiamo anche costruire la retta parallela a una retta r data e passante per un punto P esterno a r. Oppure, analogamente: Link

31 Classificazione di angoli. Gli angoli si classificano in base a...

32 Concavità e convessità. Angolo concavo Maggiore dell angolo piatto Contiene i prolungamenti dei lati Esistono segmenti con gli estremi nell angolo che non sono interam. contenuti nell angolo stesso Angolo convesso Minore dell angolo piatto Non contiene i prolungamenti dei lati Contiene tutti i segmenti che hanno gli estremi nell angolo

33 Classificazione di angoli.