Consideriamo un sistema composto da due particelle identiche. Due particelle sono identiche se hanno le stesse proprietà intrinseche (massa, carica,

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1 Consideriamo un sistema composto da due particelle identiche. Due particelle sono identiche se hanno le stesse proprietà intrinseche (massa, carica, spin, ). Esempi: due elettroni, due protoni, due neutroni, etc. Definizione alternativa equivalente: due particelle sono identiche se UN QUALUNQUE esperimento condotto su una di queste particelle dà gli stessi risultati di un identico esperimento condotto sull altra.

2 Se le particelle sono identiche, l hamiltoniana deve soddisfare l identità: Ovviamente, un hamiltoniana del tipo: Soddisfa il requisito. Dato che l energia cinetica è sempre scrivibile come somma di termini a particella singola, sarà il termine di energia potenziale a dovere soddisfare: Notare che un interazione che dipende solo dalla distanza tra le due particelle soddisfa il requisito.

3 Ok, e allora? Considero l operatore di scambio di indici: Tale operatore è autoaggiunto, dato che (se aggiungo le variabili di spin è lo stesso): Inoltre, ovviamente, è anche unitario

4 Troviamo lo spettro dell operatore di scambio Essendo autoaggiunto, le sue autofunzioni f± saranno un sonc. Quali sono? Tutte le (infinite) funzioni che soddisfano una delle due relazioni: Come sviluppo una funzione qualunque dello spazio in questo sonc? Facile! componente simmetrica componente antisimmetrica

5 Notare che Quindi la funzione d onda con indici di particella scambiati è ancora un autofunzione dell hamiltoniana, relativa alla stessa energia. Conseguenza: Quindi L hamiltoniana e l operatore di scambio di indici ammettono un sonc comune. Ciò vuol dire che se E è un livello energetico non degenere, allora l autofunzione corrispondente deve essere o simmetrica o antisimmetrica rispetto allo scambio.

6 Se E è un livello energetico non degenere, allora l autofunzione corrispondente deve essere o simmetrica o antisimmetrica rispetto allo scambio. Nel nostro esempio dei due oscillatori armonici

7 Lo stato fondamentale del sistema è non degenere (per ora trascuriamo lo spin), e infatti: Il primo stato eccitato è invece degenere: corrisponde sia a (n1=1,n2=0) sia a (n1=0,n2=1) Ci sono due autofunzioni corrispondenti a E I =E 1,0 =E 0,1 :

8 Ovviamente Nessuna delle due è autofunzione dell operatore di permutazione. Però posso costruire due loro combinazioni lineari che lo sono. Ovviamente entrambe le combinazioni lineari rimangono autofunzioni dell hamiltoniana relative a E I. Esercizio semplice: verificare che f+ e f- sono correttamente normalizzate.

9 Osservazione:

10 Osservazione: Fissato lo stato delle due particelle, la probabilità di trovare la 1 in x1 e la 2 in x2 è diversa dalla probabilità di trovare la 1 in x2 e la 2 in x1. Dimentichiamoci per un attimo dell esempio e pensiamo si tratti di due particelle cariche. Stiamo dicendo che la densità di carica totale è diversa se in x1 metto la particella 1 e in x2 la particella 2 oppure se faccio l oppost Non può essere così! La densità di carica dipenderà dal fatto che metto una delle due particelle in x1 e l altra in x2, senza specificare quale. Questo è previsto dalle combinazioni lineari f + e f -.

11 Osservazione: La densità di carica dipenderà dal fatto che metto una delle due particelle in x1 e l altra in x2, senza specificare quale. Questo è previsto dalle combinazioni lineari f + e f -. Se q è la carica totale delle due particelle

12 La funzione d onda DEVE essere o simmetrica o antisimmetrica. Diverse osservazioni sperimentali (prima tra tutte, il principio di esclusione di Pauli) suggeriscono che, per un assegnato tipo di particella, la funzione d onda debba essere O simmetrica O antisimmetrica.

13 Generalizzazione per la parte configurazionale per un sistema di due particelle identiche NON interagenti, descritte dall hamiltoniana H=h(1)+h(2) - Trovo le i di singola particella risolvendo h i = i i - So che i prodotti sono autofunzioni di H relative a E ij =( i + j ). -SE i=j, allora il prodotto è simmetrico e quindi gode già delle proprietà richieste. -SE i j il prodotto non è né simmetrico né antisimmetrico. Costruisco allora le combinazioni lineari

14 Adesso consideriamo anche i gradi di libertà di spin. La funzione d onda deve essere (anti)simmetrica per scambio di indici di particella. Ora, per due particelle con spin 1/2 conosciamo già le possibili combinazioni lineari simmetriche e antisimmetriche. Controllare: quelle simmetriche sono lo stato di tripletto (S=1) (1) (2) (1/ 2)[ (1) (2)+ (2) (1)] (1) (2) quella antisimmetrica è il singoletto (S=0) (1/ 2)[ (1) (2)- (2) (1)]

15 Exp e Teoria quantistica dei campi: le funzioni d onda di un sistema di particelle identiche, considerando sia le variabili di spin sia quelle configurazionali, DEVONO essere simmetriche per particelle con spin intero ( bosoni ), antisimmetriche per particelle con spin semiintero ( fermioni ). Es. di fermioni: elettroni, protoni, neutroni, neutrini, alcuni nuclei. Es. di bosoni: fotoni, mesoni, particelle di Higgs, altri nuclei. (Sistemi di) bosoni e fermioni si comportano in modo molto diverso. I primi seguono la statistica di Bose Einstein, i secondi quella di Fermi-Dirac. Per questo si parla di connessione spin-statistica. NOI CONSIDERIAMO SOLO GLI ELETTRONI, OVVERO FERMIONI CON SPIN 1/2. ECCEZIONE: ALCUNI ESERCIZI IN CUI LO SPIN E ZERO (VEDREMO).

16 Sistema di due fermioni identici NON interagenti: costruzione delle autofunzioni corrette (antisimmetriche) a partire da quelle di singola particella. Configurazionali Spin (1) (2) X (1/ 2)[ (1) (2)+ (2) (1)] (1) (2) X (1/ 2)[ (1) (2)- (2) (1)] Notare: le ho già scritte normalizzate correttamente.

17 Configurazionali Spin (1) (2) X (1/ 2)[ (1) (2)+ (2) (1)] (1) (2) Attenzione! se i=j è solo 1x i(1) i(2) X (1/ 2)[ (1) (2)- (2) (1)] Consideriamo due fermioni con uguale orientazione di spin: 0 La parte configurazionale deve essere antisimmetrica. Ok. Se oltre al numero quantico di spin le due particelle hanno anche gli altri numeri quantici uguali (i=j), questa si annulla! (soluzione inaccettabile).

18 Sia i j. Consideriamo tutti i modi in cui possiamo riempire i livelli i e j, con i j. j i stati distinti (tutti alla medesima energia) se le particelle sono distinguibili stati distinti (tutti alla medesima energia) se le particelle sono indistinguibili: Stato 1: una particella con spin up in i e una con spin down in j. Stato 2: una particella con spin down in i e una con spin up in j.

19 j i stati distinti se le particelle sono indistinguibili. Ottenevo in effetti 4 stati anche con i prodotti: (1) (2) (stato 4) (1/ 2)[ i (1) j (2)- i (2) j (1)]X (1/ 2)[ (1) (2)+ (2) (1)] (1) (2) (stato 3) (1/ 2)[ i (1) j (2)+ i (2) j (1)]X (1/ 2)[ (1) (2)- (2) (1)] Le altre due combinazioni lineari non sono immediatamente mappabili nella tabella perchè non mi dicono se la particella con spin up è in i o in j

20 Se voglio attribuire le funzioni d onda ad ognuno dei quattro stati in tabella conviene utilizzare un metodo alternativo. Considero lo stato 1: una particella con spin up in i e una con spin down in j. Autofunzioni di singola particella coinvolte: Autofunzione antisimmetrizzata e normalizzata:

21 Stato 1: una particella con spin up in i e una con spin down in j. Stato 2: una particella con spin up in j e una con spin down in i.

22 Notare che la tecnica di antisimmetrizzazione proposta equivale a calcolare il seguente determinante di Slater : Se gli spin sono paralleli, il determinante di Slater mi dà gli stessi risultati ottenuti col metodo della moltiplicazione tra parte (anti)simmetrizzata configurazionale e quella di spin. Se gli spin sono diversi capisco la differenza tra i due approcci

23 [ i (1) j (2)- i (2) j (1)] [ (1) (2)+ (2) (1)]= (Una particella in i e una in j, una con spin up e una con spin down) = i (1) j (2) (1) (2)+ i (1) j (2) (2) (1)- i (1) j (2) (1) (2)- i (1) j (2) (1) (2)= = (1) (2)[ i (1) j (2)- i (1) j (2)]+ (2) (1)[ i (1) j (2)+ i (1) j (2)] Sono i due determinanti di Slater calcolati prima. Si simostra lo stesso per l altra combinazione lineare a 4 termini. Non dovrebbe stupire: la descrizione che distingue tra singoletto a tripletto si riferisce alla base Spin-totale

24 Adesso consideriamo due particelle con ugual set di numeri quantici (i=j, entrambe spin up o entrambe spin down). Da quanto scritto in precedenza vedo subito che IMPORRE L ANTISIMMETRIA DELLE FUNZIONI D ONDA PORTA AL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI: DUE FERMIONI IDENTICI NON POSSONO AVERE LO STESSO SET COMPLETO DI NUMERI QUANTICI [ i (1) j (2)- i (2) j (1)]X(1/ 2) (1) (2)=0 se i=j (lo si vede subito anche facendo il determinante di Slater)

25 Generalizzazione a N particelle. Dato un sistema di N fermioni identici l autofunzione del sistema totale deve essere antisimmetrica per ogni permutazione di una coppia di indici. Ciò significa che dopo un numero pari (dispari) di scambi di coppie di indici avrò (meno) la stessa autofunzione di partenza!!!!! Notazione contratta al massimo: ik (k)= autofunzione per la particella k-sima (relativa all autovalore ik ); (k) indica collettivamente sia le tra coordinate configurazionali sia quello di spin della particella k; ik sia i numeri quantici configurazionali sia quelli di spin. Un modo pratico per costruire autofunzioni con la corretta proprietà di simmetria a partire da quelle si singola particella è utilizzare il determinante di Slater.!

26 Oss: Basta UNA coppia di indici uguali e il determinante viene nullo (Pauli)

27 La (anti)simmetria per scambio di particelle in meccanica quantistica NON deve sorprendere. x1 x2 Non ho overlap tra le funzioni d onda Ok distinguibili (altrimenti dovrei antisimmetrizzare le funzioni d onda di tutti gli elettroni dell universo ) Da qui devo preoccuparmi : laddove c è overlap non ha senso dire quale sia il contributo della particella 1 vs 2.