Meccanica dei fluidi. ! definizioni; ! statica dei fluidi (principio di Archimede); ! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli).

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1 Meccanica dei fluidi! definizioni;! statica dei fluidi (principio di Archimede);! dinamica dei fluidi (teorema di Bernoulli). [importanti applicazioni in biologia / farmacia : ex. circolazione del sangue] Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 1

2 Definizioni fluido = sostanza che può scorrere, ed assumere la forma (=liquido) o le dimensioni (=gas) del contenitore; densità : ρ = dm / dv (= massa / volume, in Kg/m 3, g/cm 3 ); pressione : p = df / da (=forza/ area, in N/m 2 = pascal, dine/cm 2 ) [*]; viscosità : F = η A v / s (forza di taglio tra superfici, vedi oltre). [*] p non è un vettore, la pressione è isotropa (= la stessa in tutte le direzioni, vedi il principio di Pascal). Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 2

3 Viscosità F v=0 A s v F F = η A v / s : " A = area di due lamine di liquido, poste a distanza s; " v = velocità relativa delle lamine; " η = coefficiente di viscosità del liquido (funzione anche di temperatura, pressione); " F = forza di viscosità (due forze uguali ed opposte sulle due lamine). Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 3

4 Principio di Pascal Un cambiamento di pressione in un fluido è trasmesso inalterato a tutte le porzioni del fluido ed alle pareti ( la pressione è isotropa). F p Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 4

5 Statica dei fluidi 0 p atm = p o 1 [il liquido è a riposo]! F 2 = F 1 + mg = F 1 + ρvg;! p 2 = F 2 / A = F 1 / A + ρvg / A = = p 1 + ρg (y 2 - y 1 );! y 1 0; y 2 - y 1 = h; p 1 = p o = p atm ;! p = p o + ρgh. y 2 la pressione aumenta linearmente con la profondità. Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 5

6 vasi comunicanti p o p o p o p o p o stessa altezza p 1 p 2 p 1 =p 2 il liquido è in quiete p 1 = p 2 ; h 1 = h 2 il liquido è alla stessa altezza in tutti i vasi; [NB : è necessario che tutta la superficie del liquido sia a pressione p o ] Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 6

7 Il barometro p atm + ρgh 1 = p =0 + ρg(h 1 +h 2 ); p atm = ρ g h 2 ; p=0 vuoto h 2 l altezza della colonna di liquido (mercurio) non dipende né dalla forma dei tubi, né dall altezza h 1, ma solo dalla densità ρ e dalla pressione atmosferica p atm. Si può misurare p atm in mm-hg ( = h 2 se Hg). p atm ρ h 1 Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 7

8 S 1 F 1 La pressa idraulica S 2 F 2 p 1 = F 1 / S 1 = p 2 = F 2 / S 2 ; F 2 = F 1 S 2 / S 1 >> F 1 ; p 1 p 2 È un moltiplicatore di forza (una leva idraulica ) " lavoro, per spostamenti d 1 e d 2 (= d 1 S 1 / S 2 ) : F S d S L = = F2 d2 = = F1 d1 L1 S1 S2 [le forze sono conservative l energia meccanica si conserva il lavoro speso sul pistone 1 viene integralmente restituito sul pistone 2] Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 8

9 Principio di Archimede " cubetto, di lato d, parallelo alla verticale; F 1 F 2 p 1 " 6 forze, dovute alla pressione, sulle faccie; " 4 forze (due coppie sui lati) si annullano; " restano F 1 = p 1 d 2 e F 2 = p 2 d 2 ; p 2 " F TOT = F 1 - F 2 = (p 1 - p 2 ) d 2 ; F TOT = (p 1 - p 2 ) d 2 = ρ liquido g d d 2 = V corpo ρ liquido g = m liquido g; la forza di Archimede è pari alla forza peso del liquido spostato, ed è diretta verso l alto la forza totale sul corpo è F Arch + F peso = (m liquido - m corpo ) g = (ρ liquido - ρ corpo ) V g [ navi, etc.] Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 9

10 fluido ideale in fluidodinamica si definisce il fluido ideale :! incompressibile (i.e. ρ è costante, indipendente da p, v, T, h,...);! viscosità nulla (η = 0, lavoro di scorrimento nullo);! moto non rotazionale (cfr. i vortici nei fiumi);! moto laminare (= le traiettorie delle molecole del fluido sono linee che non si chiudono e non variano nel tempo). Concetto di tubo di flusso : Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 10

11 dinamica dei fluidi (1) spiegazione dei termini : S 2,v 2, S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso h 2,p 2 δ S v h 1,2 = quota ( energia potenziale); p 1,2 = pressione; v 1,2 = velocità; S 1,2 δ 1,2 = V = m / ρ. Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 11

12 dinamica dei fluidi (2) S 1 v tubo di flusso S 2 nel tempo t, dati due volumi uguali, di area S 1 e S 2 : attraverso S 1 : m 1 = ρ V 1 = ρ d 1 S 1 = ρ 1 v 1 ts 1 ; attraverso S 2 : m 2 = ρ V 2 = ρ d 2 S 2 = ρ 2 v 2 ts 2 ; ρ 1 = ρ 2 m 1 = m 2 v 1 S 1 = v 2 S 2 ; portata Q = dv / dt [= v 1 S 1 = v 2 S 2 ] = costante. NB : v 1 / S (!!!), cfr. le automobili in autostrada! quale è la differenza? Soluzione : ρ costante Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 12

13 legge di Bernoulli (1) S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso S 2,v 2, h 2,p 2 " esprime la conservazione dell energia nel moto dei fluidi; " calcoliamo variazione di energia cinetica, lavoro della gravità, lavoro delle forze di pressione tra i punti 2 e 1, per una piccola massa m, che occupa un volume V (m = ρ V) :! K = K 2 - K 1 = ½ m v 22 -½m v 12 = ½ ρ V (v 22 - v 12 );! L G = L 12,G = - mg (h 2 - h 1 );! L P = L 2,P - L 1,P = - (p 2 S 2 δ 2 - p 1 S 1 δ 1 ) = - (p 2 - p 1 ) V; Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 13

14 legge di Bernoulli (2) S 2,v 2, S 1, v 1,h 1,p 1 v tubo di flusso h 2,p 2 " teorema dell energia cinetica : K = L G + L P ½ ρ V (v 22 - v 12 ) = - m g (h 2 - h 1 ) -(p 2 - p 1 ) V; [ dividere / V ] ½ ρ (v 22 - v 12 ) = - ρ g (h 2 - h 1 ) - (p 2 - p 1 ); ½ ρ v 22 + ρ g h 2 + p 2 = ½ ρ v 12 + ρ g h 1 + p 1 ; [riarrangiare i termini] [i due punti sono generici] ½ ρ v 2 + ρ g h + p = costante; NB : costante la somma dei tre termini è la stessa, se calcolata in tutti i punti del tubo di flusso; inoltre, non varia nel tempo. Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 14

15 Fine parte 2 Paolo Bagnaia - CTF Meccanica dei Fluidi 15