Equazione esponenziale a x = b con 0<a<1 oppure a>1; x R; b>0

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1 Equazione esponenziale a x = b con 0<a<1 oppure a>1; x R; b>0 Proprietà delle potenze: a n. b n = ( a. b ) n a n : b n = ( a : b ) n a n. a m = a n+m a n : a m = a n-m ( a n ) m = a n a n/m n a = a -n/m = 1/a n/m Per risolvere una equazione esponenziale si devono applicare vari procedimenti a seconda di come si presenta l'equazione. 1 caso: a f(x) = 0 l'equazione non ha soluzioni perchè la funzione esponenziale non è mai nulla 2 caso: a f(x) = numero negativo l'equazione non ha soluzione perché la funzione esponenziale non è mai negativa. caso: nell'equazione tra i termini NON compaiono operazioni di addizione e sottrazione. Per trovare le soluzioni si applicano al primo e al secondo membro le proprietà delle potenze cercando di ottenere potenze con la stessa base:a f(x) = a g(x) f(x) = g(x). 4 caso: nell'equazione tra i termini compaiono anche le operazioni di addizione e sottrazione. Per trovare le soluzioni, dopo aver convenientemente applicato le proprietà delle potenze nei singoli termini, si opera un opportuno cambio di variabile, in modo da riportarci al caso precedente. 5 caso: nell'equazione, anche applicando le proprietà delle potenze, non si riesce ad ottenere la stessa base al primo ed al secondo membro: a f(x) = b g(x) In questo caso si prendono i logaritmi, di solito in base 10, o e dei due membri ottenendo: log (a f(x) ) = log (b g(x) ) f(x) log a = g(x) log b Esercizi svolti 2x = 0 1 caso L'equazione esponenziale non è mai nulla, quindi l'equazione non ha soluzioni 5 4x = -5 2 caso L'equazione esponenziale non è mai negativa, quindi l'equazione non ha soluzioni Nell'equazione NON compaiono operazioni di addizioni e sottrazioni caso 9 x+1 : = 27 2 applichiamo le proprietà delle potenze 2(x+1) : = ( ) 2 2x+2-1 = 6 ottenendo al 1 e 2 membro potenze con la stessa base, eguagliamo gli esponenti: 2x = 6 2x = 5 x = 5/2 Nell'equazione, tra i termini, compaiono addizioni e sottrazioni 4 caso 5 x x-1 = x+1 nei singoli termini applichiamo le proprietà, riscrivendo: 5 x x / 5 = x. 5 operiamo il cambiamento di variabile ponendo y = 5 x otteniamo: y + 2/5 y = y calcolando il minimo comune multiplo otteniamo: 5y + 2y = y -18y = 90 y = - 5 ricambiamo la variabile ricordando che y = 5 x, 5 x = -5 che è impossibile poiché la funzione esponenziale NON è mai negativa ne nulla. Nell'equazione, pur applicando le proprietà, le basi al primo ed al secondo membro sono diverse 5 caso 4 x + 2 2x x = x+2 nei singoli termini applichiamo le proprietà riscrivendo: 2 2x + 2 2x x = x. 2 portiamo le potenze con la stessa base nello stesso membro: 2 2x x = - 2. x + 9. x. 2 2x = 7. x poiché le potenze al primo ed al secondo membro hanno basi diverse, passiamo ai logaritmi di entrambi i membri ed applichiamo le proprietà dei logaritmi: log (. 2 2x ) = log ( 7. x ) log + log 2 2x = log 7 + log x log + 2x log 2 = log 7 + x log 2x log 2 - x log = log 7 - log x ( 2log 2 - log ) = log 7 - log x = ( log 7 - log ) / ( 2log2 - log ). m

2 Disequazione esponenziale a x > b oppure a x < b Ricordiamo che la funzione esponenziale è una funzione decrescente se la base è compresa tra 0 e 1; è una funzione crescente se la base è maggiore di 1. Cioè: se 0 < a < 1 allora se a n < a m n > m; se a n > a m n < m se a > 1 allora se a n < a m n < m; se a n > a m n > m Quando si risolve una diseq. esponenziale occorre tenere presenti che valgono gli stessi procedimenti dei 5 casi di risoluzione delle eq. Esponenziali e queste IMPORTANTI osservazioni che apporteranno opportune varianti. Esercizi svolti 4 x > -5 Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva sarà sicuramente maggiore di un qualsiasi numero negativo, quindi la disequazione è verificata per ogni valore di x. 6 2x < -5 Poiché la funzione esponenziale è sempre positiva NON potrà MAI essere minore di un numero negativo, quindi la disequazione non è mai verificata. x > 0 La funzione esponenziale è sempre positiva, quindi la disequazione è verificata per ogni valore di x. 7 x < 0 la funzione esponenziale è sempre positiva, quindi la disequazione non ha soluzioni. 2 x+ > 1 La disequazione si può scrivere: 2 x+ > 2 0 la base 2>1, la funzione è crescente tra gli esponenti si conserva verso: x+ > 0 x > - 2 2x -. 2 x + 2 > 0 poiché tra i termini ci sono e addizioni e sottrazioni, operiamo un cambio di variabile ponendo: y = 2 x ( y 2 = 2 2x ) y 2 - y +2 > 0 y < 1 U y > 2 2 x < 1 vel 2 x > 2 2 x < 2 0 vel 2 x > 2 in entrambi queste disequazioni le basi sono uguali e maggiori di 1, quindi la funzione è crescente e tra gli esponenti vale lo stesso verso che c'è tra funzioni; quindi le soluzioni sono: x < 0 U x > 1 2 2x x + 16 < 0 Cambiamo la variabile ponendo y = 2 x y 2 10y + 16 < 0 le soluzioni sono 2 < y < 8 cioè, ricordando il cambiamento di variabile 2 < 2 x < 8 Queste diseguaglianze equivalgono al sistema poiché le basi sono maggiori di 1: x 2 2 x 2 2 x 1 x non cambia il verso tra gli esponenti cioè 1 < x < x+1 > 2 1-x Le basi al primo e al secondo membro sono diverse, allora prendiamo i logaritmi decimali di entrambi i membri log ( x+1 ) > log ( 2 1-x ) applichiamo le proprietà dei logaritmi (x+1) log > (1-x) log 2 moltiplichiamo xlog + log > log2 xlog2 risolviamo in x xlog+xlog2 > log2 log x(log + log2) > log2 log x > (log2 log)/ ( log + log2).

3 Proprietà dei logaritmi log a + log b = log (a * b ) log a log b = log ( a / b ) log a n = n log a log a b =log c b/log c a log a a = 1 log 1 = 0 log c x = b à x = c b log 0 log x, x<0 Equazione Logaritmica Log a x = b con 0<a<1 oppure a>1; x >0; b R Logaritmi decimali: sono i logaritmi che hanno per base 10. Per indicare questi logaritmi si usa il simbolo log10 x oppure Log x Logaritmi Neperiani o Naturali: sono i logaritmi che hanno per base il numero irrazionale di Nepero e = 2, Per indicare questi logaritmi si usa il simbolo ln x oppure log x Per risolvere una equazione logaritmica si devono applicare vari procedimenti a seconda di come si presenta l'equazione. 1 caso: l' equazione è del tipo log a f(x) = n dove n è un qualsiasi numero reale In questo caso si procede così: * facciamo comparire anche al secondo membro un logaritmo con base a. A tal proposito moltiplichiamo n per il log a a - che è uguale a 1 - * applichiamo la proprietà dei logaritmi, in modo da ottenere log a f(x) = nlog a a log a f(x) = log a a n * impostiamo il sistema misto f(x) 0 n f(x) a dove la prima condizione rappresenta la condizione di esistenza del log a f(x). Le soluzioni del sistema sono le soluzioni dell'equazione 2 caso: l'equazione è del tipo log a f(x) - log a g(x) = log a h(x) In tal caso si procede così: *si portano ad altro membro i logaritmi che sono preceduti dal segno meno log a f(x) = log a h(x) + log a g(x) *si applicano le proprietà dei logaritmi in modo da avere un unico logaritmo al 1 membro e uno al 2 membro, entrambi con la stessa base log a f(x) = log a [h(x) g(x)] *si imposta un sistema misto: si impone che gli argomenti dei logaritmi presenti nella traccia siano > 0; si impone l eguaglianza degli argomenti dei logaritmi nella equazione f(x) 0 g(x) 0 h(x) 0 f(x) g(x) h(x) dove le prime tre condizioni rappresentano le condizioni di esistenza dei logaritmi nella traccia. Le soluzioni del sistema sono le soluzioni dell'equazione caso: l'equazione è del tipo a log 2 n f(x) + b log n f(x) + c = 0 *Si introduce l incognita ausiliaria t = log n f(x), trasformando l equazione logaritmica in una algebrica di 2 grado *Trovate le soluzioni si tiene conto della posizione

4 Esercizi svolti 2 log (x-2) = 2 1 caso Moltiplichiamo il secondo membro per log (che è = 1 e quindi non fa cambiare l equazione!) log (x-2) = log Impostiamo il sistema misto e svolgiamo i calcoli (la prima condizione rappresenta la condizione di esistenza del logaritmo nella traccia) x 2 0 x 2 x 2 x 5 Rappresentiamo i risultati sulla retta Reale Poiché la soluzione x = 5 appartiene al campo di esistenza è accettabile! E la soluzione dell equazione. log x log = log(x-1) + log 2 caso Per convenienza, cambiamo di membro i logaritmi che sono preceduti dal segno meno log x = log(x-1) + log +log à log x = log(x-1) + 2 log Applichiamo le proprietà dei logaritmi al primo ed al secondo membro logx = log(x-1) + log 2 à logx = log 9(x-1) Impostiamo il sistema misto e svolgiamo i calcoli (le prime due disequazioni rappresentano le condizioni di esistenza dei logaritmi nella traccia) x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 9(x 1) x 9 / 8 Rappresentiamo i risultati sulla retta Reale Poiché la soluzione x = 9/8 appartiene al campo di esistenza è accettabile ed è la soluzione. log 2 4x +log 4 x 4 = 0 caso Introduciamo la variabile ausiliaria t = log 4 x e sostituiamo la nell equazione di partenza t 2 + t 4 = 0 Troviamo le soluzioni t 1 = -4 V t 2 = 1 e, tenendo conto della sostituzione fatta, riscriviamo le soluzioni nella variabile di partenza x log 4 x = -4 V log 4 x = 1 Siamo capitati nel 1 caso e quindi procediamo come prima log 4 x = -4log 4 4 V log 4 x = 1log 4 4 log 4 x = log V log 4 x = log 4 4 : x 0 x 0 V x 1 / 256 x 4 Poiché x = 1/256 e x = 4 sono entrambi maggiori di 0 ( condizione di accettabilità delle soluzioni), questi valori rappresentano le soluzioni dell equazione

5 Disequazione Logaritmica Log a x b oppure Log a x b con 0<a<1 oppure a>1; x >0; b R Ricordiamo che la funzione logaritmica è una funzione decrescente se la base è compresa tra 0 e 1; è una funzione crescente se la base è maggiore di 1. Cioè: se 0 < a < 1 allora se log a x < log a y x > y; se log a x > log a y x < y ( tra gli argomenti si inverte il verso che c'è tra le funzioni!) se a > 1 allora se log a x < log a y x < y; se log a x > log a y x > y ( tra gli argomenti si conserva il verso che c'è tra le funzioni!) Quando si risolve una disequazione logaritmica occorre tenere presenti queste IMPORTANTI osservazioni e le indicazioni date per la risoluzione delle equazioni logaritmiche. Esercizi svolti log (2-5x) > 2 Facciamo comparire anche al secondo membro un logaritmo con base, moltiplicando per log e applichiamo le proprietà dei logaritmi log (2-5x) > 2 log Log (2-5x) > log 2 Log (2-5x) > log 9 ** Impostiamo ora un sistema di disequazioni tenendo presente che la base dei logaritmi è, che è maggiore di 1, e quindi la funzione logaritmo è crescente. Questo significa che tra gli argomenti dei logaritmi nella disequazione ** NON dobbiamo cambiare il verso. 2 5x 0 x 2 / 5 2 5x 9 x 7 / 5 Riportiamo questi risultati sulla retta Reale Le soluzioni della disequazione sono x < -7/5 log 1/ (4x-) > -1 Facciamo comparire anche al secondo membro un logaritmo con base 1/, moltiplicando -1 per log 1/ 1/ log 1/ (4x-) > -1 log 1/ 1/ log 1/ (4x-) > log 1/ 1/ -1 log 1/ (4x-) > log 1/ ** Impostiamo il sistema di disequazioni osservando che la base dei logaritmi, ora, è compresa tra 0 e 1 e che quindi la funzione è decrescente; questo significa che tra gli argomenti della disequazione ** vale il VERSO CONTRARIO a quello esistente tra le funzioni 4x 0 x / 4 4x x / 2 Riportiamo i risultati sulla retta Reale Le soluzioni della disequazione sono ¾ < x < /2 1/ log 1/7 (x + 22) >log 1/7 (x+1) Applichiamo le proprietà dei logaritmi per avere un unico logaritmo al primo e al secondo membro log 1/7 (x + 22) 1/ >log 1/7 (x+1) ** Impostiamo il sistema di disequazioni osservando che la base dei logaritmi, ora, è compresa tra 0 e 1 e che quindi la funzione è decrescente; questo significa che tra gli argomenti della disequazione ** vale il VERSO CONTRARIO a quello esistente tra le funzioni. x 22 0 x 22 x 22 x 1 x 22 x 1 x 22 x x x 21 0 x Vx 2 2

6 Riportiamo i risultati sulla retta Reale dove, per comodità, abbiamo indicato con α = 2 β = 2 e con δ = 22 La disequazione è verificata per x (logx) 2-7logx + 12 < 0 Introduciamo l incognita ausiliaria t = logx e sostituiamo t 2 7t + 12 <0 < t < 4 < logx < 4 * La disequazione * è equivalente al sistema 1 ^ log x 4 0 x 10 2 ^ logx x 10 Riportiamo i risultati sulla retta Reale Dallo schema vediamo che le soluzioni sono 1000 < x < Procedimento per risolvere la 1^ Logx<4 logx<log10 4 x x 10 4 x 10 Procedimento per risolvere la 2^ Logx> logx>log10 x 0 x 10 x 10