Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer

Transcript

1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione 3 x y y3 x risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E.. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z. 5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a 1,50 e i coni da tre palline a,00. Si sa che da kg di gelato si fanno 5 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 57,50. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto? 6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi. x 7. x x determina le condizioni di esistenza ax a x x x x 1 ax a ab 3 abx ; ; 3 x x razionalizza risolvi l equazione 1. Nel triangolo rettangolo ABC, l altezza relativa all ipotenusa è AH. a) Se BC=1cm e AH= cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 1cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l area del triangolo ABC. kx ky 1 kx k x Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer.

2 a cura di Francesca Ricci 1. 5 x y risolvere con il metodo di Cramer x 3y 1 D x D y D x D x D 5 17 y D y D x 1 3 y risolvere con il metodo di riduzione y x 3 x 3y 1 x y 3 Sommando membro a membro, si ottiene il valore della y; x 3y 1 x y 3 0 y y 1 Sostituiamo questo valore della y alla prima equazione: x x 1 3 x x 1

3 3 x y 3 3. risolvere con un metodo a scelta, tenendo conto delle C.E. 1 1 y3 x Determiniamo per prima cosa le condizioni di esistenza: x 0 x y 3 0 y 3 y 3 0 y 3 x 0 x x C.E.: x y 3 Ora possiamo risolvere il sistema, riducendo le due equazioni, una per volta, in forma 3 3 y 3 3x 0 0 x y 3 x y 3 x y 3 normale. Dopo aver fatto il minimo comune multiplo, avendo posto le condizioni di esistenza, possiamo eliminare il denominatore. y 3 3 x 0 y 6 3x 6 0 y 3x 0 Passiamo ora alla seconda equazione: x y y 3 x y 3 x y 3 x Anche qui possiamo eliminare il denominatore: x y 3 0 x y 3 0 x y 5 0 Per comodità, cambiamo segno alle equazioni, in modo da avere il coefficiente della x positivo, e mettiamo a sistema le due equazioni ottenute: y 3x 0 3x y 0 x y 5 0 x y 5 0 Poiché è molto facile ricavare dalla seconda equazione un incognita, risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione: 3x y 0 x y 5 Sostituiamo, quindi, la seconda equazione alla prima: 3 y 5 y 0 3y 15 y 0 y 15 Sostituiamo, poi, questo valore della y ad una delle due equazioni: x I valori che soddisfano il sistema sono quindi x=-10 e y=-15. Questi valori sono accettabili, perché non sono fra quelli esclusi nelle condizioni di esistenza.

4 . Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure e che la misura x differisce di 11cm dalla differenza tra y e z. Considerando le informazioni forniteci dal problema, possiamo impostare un sistema a tre incognite. La prima equazione sarà z y z 53, poiché sappiamo che il perimetro del triangolo, dato dalla somma dei suoi lati, è di 53cm. Il problema dice poi che la misura z differisce di 19cm dalla somma delle altre due misure; tenendo presente che in un triangolo ogni lato è sempre minore della somma degli altri due, impostiamo la seconda equazione: x y z 19; allo stesso modo, tenendo presente che in un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due, possiamo scrivere che x y z11. Quindi abbiamo x y z 53 x y z 19 x y z 11 x y z 53 x y z 19 x y z 11 Ricaviamo l incognita x dalla prima equazione, e sostituiamola alla seconda: x 53 y z x 53 y z x 53 y z x y z y z y z y z y z 19 x y z 11 x y z 11 x y z 11 x 53 y z x 53 y z z z 3 17 x y z 11 x y z 11 Abbiamo quindi trovato la lunghezza di un lato. Sostituiamo questo valore alle altre due equazioni, in modo da ottenere un sistema a due incognite. x 53 y 17 x 36 y z 17 x y 6 x y Ricaviamo la x dalla seconda equazione e risolviamo il sistema con il metodo del confronto: x 36 y x 6 y 36 y 6 y 36 6 y y y y 1 Sostituiamo questo valore ad una delle due equazioni: x Le lunghezze dei tre lati sono quindi 15cm, 1cm e 17 cm.

5 5. Una gelateria prepara per la giornata di Ferragosto 30kg di gelato. Vende i coni da due palline a 1,50 e i coni da tre palline a,00. Si sa che da kg di gelato si fanno 5 palline di gelato. A fine giornata ha venduto tutto il gelato e ha incassato 57,50. Quanti coni di ciascun tipo ha venduto? Per prima cosa, ricapitoliamo i dati fornitici dal problema: I coni da due gusti costano 1,50 ; I coni da tre gusti costano,00 ; Il gelataio prepara 30 kg di gelate e a fine giornata lo finisce tutto, guadagnando 57,50 Da kg di gelato di formano 5 palline; Possiamo, quindi, ricavare da quest ultima informazione il numero totale di palline che si formano con 30 kg di gelato, impostando una proporzione: kg: 5palline 30kg: xpalline 5 30 x 375 Abbiamo in tutto 375 palline. Per risolvere il problema dobbiamo impostare un sistema di equazioni a due incognite, considerando per un equazione il numero delle palline, per l altra il guadagno totale. Chiamiamo con x il numero dei gelati con due gusti (due palline) e con y il numero dei gelati a tre gusti (tre palline). Sapendo che il numero totale di palline è 375, avremo che: x 3y 375. Dato che un gelato da due palline costa 1,50 e uno da tre ne costa,00, possiamo scrivere 1,50 x,00 y 57,5. Abbiamo quindi il sistema, che risolveremo con il metodo della sostituzione. x 3y y 375 3y x x 1,50x y 57, y 1,50x y 57,5 1,50 y 57, y x 56,5,5y y 57, y x 56,5,5y y y x 0,5y 7, y x y 7,5 0,5 95 x y 95 x 5 y 95 Il gelataio ha quindi venduto 5 coni da due palline e 95 coni da tre palline.

6 6. Si dimostri che le diagonali di un trapezio dividono il trapezio in quattro triangoli due dei quali sono equiestesi. A D O B H Dobbiamo dimostrare che due di questi quattro triangoli AOB cioè che hanno la stessa estensione, ovvero la stessa area. ;AOD ;BOC; DOC sono equiestesi, I triangoli AOD e BOC sono troppo diversi dagli altri per poter essere equiestesi, uno è troppo grande, l altro troppo piccolo; prendiamo quindi in considerazione gli altri due, AOB e DOC. Per dimostrare la loro equiestensione dobbiamo dimostrare che hanno la stessa area, cioè che il prodotto della base per l altezza diviso due dell uno sia uguale a quello dell altro. Poiché, però non abbiamo elementi a sufficienza per farlo, dobbiamo avvalerci di altri triangoli, dei quali i due in questione fanno parte, per poi utilizzare la proprietà di equivalenza per differenza. Consideriamo i triangoli ACB e DBC. Questi triangoli sono equiestesi, poiché hanno la stessa base BC e altezze congruenti, AH = DK. Di conseguenza, hanno la stessa area. Notiamo che ciascuno di questi due triangoli può essere scomposto in altri due: ACB è composto da AOB + BOC ; DBC è composto da DOC + BOC. Vediamo quindi che vi è un triangolo in comune ( BOC ). Per questo motivo, essendo ACB DBC, deve per forza essere che AOB DOC. Abbiamo quindi dimostrato la tesi del problema. K C

7 x 7. x1 x determina le condizioni di esistenza Affinché un radicale esista è necessario che il suo radicando sia maggiore o uguale a zero. C.E. xx 1 x 0 Risolviamo ora la disequazione: N 0 0 x x 1 x o x 1 0 x 1 Eseguiamo lo studio del segno: Abbiamo, quindi, per il numeratore, x 0 x 1. D 0 x 0 x Impostiamo ora lo studio del segno fra numeratore e denominatore: Poiché la disequazione di partenza era maggiore o uguale a zero, prendiamo gli intervallo positivi: 0 x 1 x.

8 8. 3 ax a x x x x 1 ax a 1 Per prima cosa, determiniamo le condizioni di esistenza. Dobbiamo studiare il segno del radicale cubico in relazione a quello del radicale quadratico. N 0 ax a 0 ax 1 0 a 0 a 0 x 1 x 1 x x 1 0 x 1 0 x, x 1 Per la seconda radice poniamo il radicando maggiore o uguale a zero: x x1 x ax a a x 1 N 0 x 1 0 x D 0 a x 1 0 a 0 x 1 0 x 1 Nel caso in cui a sia minore di zero, avremo che a 0 x 1 Ora, consideriamo due casi: a 0 x 1 x 1 Poiché per l esistenza del radicale quadratico è necessario che x sia maggiore di uno, avremmo sempre positivo anche il radicale cubico. a 0 x 1 x 1 Affinché esista il radicale quadratico, la x deve essere minore di uno. In questo intervallo, però, abbiamo due segni del radicale cubico: positivo per x<-1 e negativo per -1<x<1. Ora dobbiamo ridurre le radici allo stesso indice, che in questo caso è 6. Consideriamo il caso in cui a sia maggiore di zero.

9 ax a x x 1 x 3 x 1 ax a 6 6 a x 1 x 1 x 1 3 a x a x 1 x 1 3 x 1 a x a x 1 x 1 6 x 1 a 3 x 1 Semplifichiamo 1 x 1 x 1 a x 1 3 a x 1 Nel caso in cui a sia minore di zero, dobbiamo considerare l intervallo in cui il radicale cubico è negativo, cioè per -1<x<1. In questo caso, è necessario portare fuori dalla radice cubica il segno -. ax a 3 x x 1 x x 1 ax a A questo punto possiamo procedere con la riduzione allo stesso indice. ax a x x 1 x 3 x 1 ax a 6 6 a x 1 x 1 x 1 3 a x a x 1 x 1 x 1 3 a x 1 6 a x 1 x 1 x a 3 x 1 1 x 1 x 1 a x 1 3 a x1

10 Svolgiamo i quadrati: Possiamo scomporre 50 come Allo stesso modo per 0 : ab abx ; 3 ; razionalizza ab a) 3 abx Per razionalizzare questa frazione dobbiamo moltiplicarla per un altra frazione in modo da mandar via la radice che vi è al denominatore. Ricordiamo che, nel caso in cui la frazione sia del tipo Prima però impostiamo le condizioni di esistenza: C.E. 3 abx0 ab a b 3 x (a b 3 x) 3 (a b 3 x) 3 ab (a b 3 x) 3 a b 3 x (a b 3 x) 3 n b a m dovremo moltiplicarla per ab (a b 3 x) 3 a b 3 x (a b 3 x) 3 n n a n m a n m ab (a b 3 x) 3 (a b 3 x) 3 (a b 3 x) ab (a b 3 x) 3 (a b 3 x) ab (a b 3 x) 3 a b 3 x Svolgiamo il cubo dentro parentesi:

11 ab 3 a 3 b 33 x 3 a b 3 x ab 3 a 6 b 9 x 3 a b 3 x ab 6 a 6 b 9 x 3 a b 3 x Possiamo portare fuori radice i termini che hanno esponente maggiore o uguale a : ab a a b 8 b x 3 a b 3 x a b 3 a b x 3 a b 3 x Semplifichiamo: a bx 3 x ab a b a b x 3 a b 3 x b) 3 In questo caso, la frazione è del tipo c a b. Per razionalizzare si moltiplica per a a b b (3 ) (3 ) (3 ) Svolgiamo i calcoli ricordando che al denominatore abbiamo il prodotto di una somma per una differenza, che si svolge calcolando il quadrato del primo meno il quadrato del secondo. 3 ( ) 3 ( ) c) 3 5 In questo caso, vale il metodo precedente, anche se abbiamo al denominatore la somma di tre radicali ( 3 5)( 3 5) 3 5 ( 3) ( 5) 3 5 ( ) ( 3) 3 ( 5) A questo punto, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per ( 3 5) :

12 11. x x 3 6 risolvi l equazione Svolgiamo i quadrati: x x 3 x x x x 3 3x 6 x x x 3 3x 6 x 3x 6 3 ( 3)x 7 x x ( 3) 3 x 6 Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 7 x ( 3) x ( 3) ( 3) 7 3 x ( ) ( 3) x x 7 3 x 7 3 3

13 a) 1. Nel triangolo rettangolo ABC, l altezza relativa all ipotenusa è AH. a) Se BC=1cm e AH= cm calcola il perimetro del triangolo ABC. b) Se AH= 1cm e il perimetro di ABH=36cm calcola l area del triangolo ABC. Il problema può essere risolto impostando un sistema a due incognite. Chiamiamo il lato CH con x e il lato HB con y. Impostiamo il secondo teorema di Euclide, secondo il quale l altezza, in un triangolo rettangolo, è media proporzionale fra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Abbiamo, quindi, che: CH : AH AH : HB x : AH AH : y x : : y Da cui xy xy 16 Possiamo impostare la seconda equazione sapendo che l ipotenusa, data dalla somma di CH e HB, è lunga 1 cm. CH HB 1 Quindi x y 1 xy 16 Impostiamo quindi il sistema: x y 1 Notiamo che il sistema è simmetrico e che possiamo ridurlo ad un equazione del tipo t st p 0 dove per s si intende la somma x+y, mentre per p il prodotto xy. t (x y)t xy 0 t 1t 16 0 Risolviamo ora l equazione: b b ac t a 1 Poiché in un sistema simmetrico le soluzioni sono simmetriche, i valori trovati valgono, alternativamente, sia per la x che per la y. Quindi: x 6 5 x 6 5 y 6 5 y 6 5 b) Chiamiamo con x il lato AB e con y il lato HB; anche in questo casa cerchiamo di impostare un sistema a due incognite. Sappiamo che il perimetro del triangolo ABH è 36 cm, quindi AB BH AH 36 x y 1 36 x y 36 1 x y Possiamo inoltre ricavare il lato AH con il teorema di Pitagora: x y

14 AH AB HB AH AB HB 1 x y Abbiamo quindi due equazioni: x y x y 1 Possiamo risolvere il sistema per sostituzione: x y x y x y x y 1 y y y 8y y 1 x y x y x y 8y y 3 y 3 x y 9 x 15 y 9 A questo punto, sapendo che in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la sua proiezione sell ipotenusa, possiamo scrivere che CB : AB AB : HB CB : x x : y CB :15 15 : CB 5 9 Sapendo quindi che l ipotenusa è lunga 5 cm e che la sua altezza relativa misura 1 cm, possiamo calcolare l area del triangolo. CB AH 5 1 A ABC 150cm

15 kx 13. ky 1 kx k x 0 Discuti al variare di k: per quale valore di k è impossibile? Per quale indeterminato? Per quali valori è determinato? Calcola i valori di x e y in funzione di k. Si consiglia il metodo di Cramer. Per prima cosa, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti in funzioni di k: kx ky 1 xk k 0 k k D k k 0 k 0 k k k kk k k k 3 Poniamo il determinante uguale a zero e risolviamo l equazione in funzione di k: k k 3 0 k 1 k 0 k 0 k 0 1 k 0 k 1 Per verificare se il sistema è indeterminato o impossibile, troviamo i determinanti delle incognite considerando k 0 e k 1: D x 1 k k 0 0 k 1 D y k k 0 k 0 1 k k k k Le soluzioni del sistema saranno quindi: x D x D 0 k k 0 e y D y 3 D k k k k k1 k 3 k 1 k 1 k con k 0 k 1 Nel caso in cui k sia uguale a zero, il sistema sarebbe così: 0 x 0 y 1 x Il sistema è quindi impossibile per k=0. Consideriamo il caso in cui k sia uguale a 1: 1 x 1 y 1 x11 0 x y Il sistema è indeterminato per k=1.