Che cos'è il caos? Caos Dove comincia il caos si arresta la scienza classica (1987) L'aspetto irregolare della natura sono stati dei veri rompicapo

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1 Che cos'è il caos?

2 Che cos'è il caos? Poincarè nel 1903 afferma che : una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l'effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile.

3 Che cos'è il caos? Come afferma Gleick nel prologo del suo celebre libro "Caos": Dove comincia il caos si arresta la scienza classica (1987). Finché il mondo ha avuto fisici che investigavano le leggi della natura ha infatti sofferto di una speciale ignoranza sul disordine presente nell'atmosfera, nel mare turbolento [...]. L'aspetto irregolare della natura, il suo lato discontinuo e incostante, per la scienza sono stati dei veri rompicapo o peggio mostruosità.

4 Che cos'è il caos? Attualmente, il caos non è più considerato come il regno del disordine ma è considerato una dimensione retta da leggi complesse difficilmente conoscibili. Al concetto di disordine si è provveduto a sostituire quello molto più significativo di complessità.

5 Che cos'è il caos? Mandelbrot, padre fondatore della teoria dei frattali, geometria che descrive il caos; nel suo libro The Fractal Geometry of Nature descrive l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura, in questo modo: Perché la geometria viene spesso descritta come fredda e arida? Una ragione è l inabilità di descrivere la forma di una nuvola o di una montagna, una linea costiera o un albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non sono dei coni le linee costiere non sono dei cerchi, il sughero non è liscio ed i fulmini non si muovono lungo linee diritte.

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7 Che cos'è il caos? Studiando il caos tramite leggi matematiche si sviluppa la teoria del caos deterministico. La legge matematica con cui si descrive il caos deterministico sono i sistemi dinamici caotici.

8 Che cos'è il caos? Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche: Sensibilità alle condizioni iniziali, Imprevedibilità Evoluzione del sistema descritta da innumerevoli orbite diverse tra loro.

9 Che cos'è il caos? In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, o un insieme più complicato dotato di struttura frattale e noto con il nome di attrattore strano.

10 Che cos'è il caos? L attrattore di Lorenz, caratterizzato dalla sua tipica forma a farfalla è stato uno dei primi Attrattori Strani che siano mai stati identificati. E. Lorenz,1963.

11 Che cos'è il caos? Può il battito delle ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas? EFFETTO FARFALLA

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13 Teoria dei sistemi dinamici Lo STATO di un sistema dinamico è definito da un insieme di N parametri, detti variabili di stato Esempio lo stato di un pendolo semplice è definito dalle due variabili di stato: o l angolo θ o la velocità della sua massa m

14 Teoria dei sistemi dinamici Le N variabili di stato individuano un punto in uno spazio N-dimensionale (spazio delle fasi) w. q Esempio lo stato di un pendolo semplice è rappresentato da un punto in un piano cartesiano, dove sugli assi si riportano il valore dello spostamento angolare θ e il valore della velocità angolare ω.

15 Teoria dei sistemi dinamici L evoluzione del sistema corrisponde ad un cambiamento della posizione del punto nello spazio delle fasi. y. x

16 Teoria dei sistemi dinamici La traiettoria del pendolo ideale (senza attrito) nel relativo piano delle fasi. I cerchi blu corrispondono alle oscillazioni del pendolo: nei due punti dove i cerchi intersecano l'asse delle ascisse, la velocità è nulla e l'oscillazione è massima; le curve rosse corrispondono alle rotazioni complete. Il pendolo ruota sempre nello stesso verso, senza mai fermarsi, con velocità massima al passaggio verticale basso e minima al passaggio verticale alto.

17 Teoria dei sistemi dinamici Da un punto di vista matematico, risolvere un sistema dinamico significa individuare una funzione che, note le condizioni iniziali, consente di determinare univocamente lo stato del sistema ad ogni istante di tempo successivo. determinismo

18 Teoria dei sistemi dinamici In realtà la soluzione analitica formale è individuabile solo in pochi casi (sistemi lineari) soluzioni numeriche X(t 1 ) X(t 1 +Dt) processo iterativo

19 Teoria dei sistemi dinamici La forma delle traiettorie nello spazio delle fasi permette di dare una descrizione qualitativa delle proprietà del sistema: un orbita chiusa (ciclo limite) rappresenta un andamento periodico.

20 Teoria dei sistemi dinamici Pendolo ideale (senza attrito) Pendolo smorzato (con attrito) Punto di equilibrio

21 Teoria dei sistemi dinamici Punto di equilibrio stabile: le orbite tendono ad esso quando t tendente all'infinito, lungo ogni direzione (si parla di attrattore); piccoli e successivi spostamenti da tale punto non provocano cambiamenti nel comportamento generale del sistema.

22 Teoria dei sistemi dinamici Punto di equilibrio instabile: le orbite si allontanano da esso quando t tendente all'infinito, lungo ogni direzione; se il sistema parte dal punto critico rimane fermo, ma un minimo scostamento da esso provoca un cambiamento totale nel comportamento del sistema, il quale si allontana dal punto critico (carattere repulsivo).

23 Teoria dei sistemi dinamici Ciclo limite: le orbite del piano delle fasi non convergono verso singoli punti critici ma verso una curva (che funge da attrattore per il sistema dinamico).

24 Teoria dei sistemi dinamici Nel caso di soluzioni caotiche, non è possibile effettuare previsioni sul comportamento generale dell'orbita (sensibilità alle condizioni iniziali) è possibile, tuttavia, individuare delle porzioni dello spazio delle fasi all interno delle quali si sviluppa, in modo intricato, la traiettoria del sistema: attrattori strani. Attrattore di Lorenz: 3 punti di equilibrio instabile Attrattore di Rossler: 2 punti di equilibrio instabile

25 Mappe di Biforcazione Mappa logistica