Lezione 1: Introduzione alle grandezze magnetiche

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1 Lezione 1: Introduzione alle grandezze magnetiche 1

2 Campi Magnetici Il campo magnetico è un campo vettoriale: associa, cioè, ad ogni punto nello spazio un vettore. Un campo magnetico si puo misurare per l effetto che ha su cariche in moto oppure per il momento torcente che genera su un dipolo magnetico. Un campo magnetico viene generato da cariche in moto (correnti) o da dipoli magnetici. 2

3 Vettore B induzione magnetica [B] N -1 m -1 Vettore H campo magnetico [H] m -1 Nel vuoto: B H 0 µ 0 Nel sistema cgs vale µ 0 1 quindi HB in valore assoluto µ 0 4π 10 7 N 2 permeabilità magnetica nel vuoto (SI) In un materiale: ( H M) B B + µ M µ 0 Il vettore magnetizzazione M esprime la risposta magnetica del materiale ad un campo magntico esterno. Nel vuoto M0 e Bµ 0 H 3

4 Vettore B induzione magnetica [B] N -1 m -1 Vettore H campo magnetico [H] m -1 Nel vuoto: B0 µ 0H Nel sistema cgs vale µ 0 1 quindi HB in valore assoluto µ 0 4π 10 7 N 2 permeabilità magnetica nel vuoto (SI) 4

5 L'unità di misura dell'induzione magnetica B nel SI è il Tesla. N V s T 1 1 m m Wb 1 2 m kg 1 s kg 1 C s N s 1 C m Come unità pratica si usano anche il millitesla (mt) o il Gauss (10-4 Tesla) Nel sistema cgs, una vecchia unità di misura del campo H è l Oersted: 1 /m oersted Valori tipici di campi magnetici: Campo magnetico terrestre: 0.3 Gauss all equatore e 0.6 gauss ai poli Campi magnetici di strumenti NMR: Tesla Campi magnetici di strumenti EPR: Tesla 5

6 Il campo elettrico può essere espresso come gradiente del Potenziale Scalare: E φ Il gradiente è un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione su cui opera: φ φ iˆ + x φ ˆj y φ + kˆ z Il Potenziale Scalare φ è una funzione che associa un numero (uno scalare) ad ogni punto dello spazio. Es: potenziale generato da una carica Q 1 φ 4πε 0 Q r 6

7 7 Il Potenziale Vettore è definito come: + + y x k x z j z x i z y x k j i rot x y z x x z z y x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () B B è il Rotore di Si ricava che, in generale, per un campo B uniforme vale la relazione: r B 2 1 E utile trovare un potenziale dal quale esprimere il Campo Magnetico. Si ottiene che il relativo potenziale deve essere un campo vettoriale, che associa tre valori (un vettore) ad ogni punto dello spazio. Si definisce il: Potenziale Vettore

8 Esempi di campi vettoriali: V yiˆ + xj ˆ Si ricava che: V 2kˆ In questo caso un potenziale vettore espresso come: 1 BV 2 Genera un campo magnetico costante pari a: E vale la relazione: 1 B 2 r B Bk ˆ 8

9 Esempi di campi vettoriali: V ' xiˆ + yj ˆ Si ricava che: V' 0 In questo caso quindi un potenziale vettore proporzionale a V NON genera un campo magnetico Tuttavia la Divergenza di V è non-nulla 9

10 Se consideriamo la funzione scalare Divergenza: div() x x y + y + z z Si ottiene V 0 La funzione V non diverge V' 0 La funzione V diverge 10

11 Una proprietà dell operatore Rotore è che il Rotore di un a funzione gradiente è nullo. f 0 Quindi il Potenziale Vettore è definito a meno di una funzione vettoriale definita come gradiente di una funzione scalare f : + λ f ( + λ f ) Dove λ è una costante arbitraria Conseguenza: si può sempre scegliere una opportuna f ( gauge ) tale per cui sia nulla la divergenza : ( + λ f ) 0 Coulomb Gauge 11

12 Il potenziale vettore serve per descrivere in un sistema classico o quantistico) gli effetti di campi magnetici B. In generale si ricava che, se nell Hamiltoniano del sistema compare il momento p, in presenza di campo magnetico B si deve utilizzare un Hamiltoniano che sostituisce a p la quantità:: p p + e Questa sotituzione viene utilizzata per calcolare le interazioni tra campi magnetici (statici o dipendenti dal tempo) e sistemi atomici e molecolari. 12

13 Proprietà magnetiche della materia: La Suscettività Magnetica Si definisce la suscettività magnetica χ: χ M H χ è un numero puro, adimensionale In molti materiali, χ non è costante al variare di H e la magnetizzazione non è parallela al campo H. Si definisce quindi il TENSORE di suscettività magnetica la matrice 3x3 con elementi: χ ij dm dh i j 13

14 Si può esprimere il campo magnetico dentro un materiale come: B µ µ B µ r ( H + M) H( 1+ χ ) ( 1+ χ ) B 0 µ r 1+ χ M χh µ r permeabilità magnetica relativa, (numero puro, 1 nel vuoto) Quindi B µ µ 0µ rh H µ µ 0 µ r µ permeabilità magnetica [µ] N -2 14

15 Dipolo magnetico: Un dipolo magnetico, detto anche momento magnetico è l'insieme di due poli magnetici, un sud e un nord. In pratica una spira percorsa da corrente è un dipolo magnetico. Sia I la corrente che percorre la spira ed la superficie della spira, il momento magnetico è pari a: µ I 2 [ µ ] m Un dipolo magnetico µ interagisce con un campo magnetico B e l energia di interazione è: J Kg m s 2 2 U µ B [ ] U 2 [ µ ] m [ B] kg 2 s [ µ B] m Kg s Kg m s 15

16 B r θ µ r U µ B µ B cosϑ Energia minima: θ0 Energia massima: θ180 Un dipolo magnetico µ in un campo magnetico B risente di un momento torcente Γ pari a: Γ µ B µ Bsinϑ [ Γ ] N m ( J ) Γ r µ r θ B r La forza torcente tende ad allineare µ col campo magnetico B (momento torcente nullo se θ0) 16

17 Infine, un dipolo magnetico µ in un campo magnetico B non omogeneo è soggetto ad una forza proporzionale al gradiente del campo. Se il gradiente è lungo la direzione z: F m z z db dz Su questo fenomeno si basa l esperimento di Stern e Gerlach (1922) che permise di scoprire l esistenza dello spin degli elettroni. Inoltre la misura forza che agisce su un momento magnetico in un campo magnetico non omogeneo è alla base del metodo classico di misura della suscettività magnetica di un materiale 17

18 Vettore Magnetizzazione Il vettore magnetizzazione M deriva dalla somma di momenti magnetici elementari nel materiale. ( H M) M χ H ; B µ + 0 χ suscettività magnetica H B M Il vettore magnetizzazione è un momento magnetico per unità di volume, quindi le unità di misura sono: M momento magnetico totale V m 3 m 2 m -1 18

19 La suscettività magnetica è adimensionale e viene detta suscettività di volume. Spesso si considera la risposta magnetica di un materiale per unità di massa o per mole di sostanza. In questi casi si definiscono Suscettività magnetica di massa K χ ρ [K] m 3 kg -1 dove ρ è la densità (kg/m 3 ) Suscettività magnetica molare PM PM χ molare K χ dove PM è il peso molecolare ρ χ molare χ V m V m è il volume molare [χ molare ] m 3 mole -1 19

20 Nella letteratura scientifica la suscettività magnetica è spesso data in unità cgs, (indicate anche come e.m.u.) Per convertire da cgs a SI: ( H M) B B + M µ 0 µ S.I. B cgs ( cgs 1 ) cgs cgs cgs 0 + 4πM 0 + 4πχ m H H cgs Quindi il valore adimensionale della suscettività di volume χ nel sistema cgs deve essere moltiplicato per 4π per dare il valore adimensionale della suscettività di volume χ nel sistema SI SI cgs χ 4πχ d esempio, il valore di χ per l acqua a 20 C nel sistema cgs è ed è usando il sistema SI 20

21 In base alla risposta del materiale al campo magnetico si possono classificare i diversi materiali come: Diamagnetici Paramagnetici Ferromagnetici (ferrimagnetici ecc.) Il diamagnetismo è presente in tutti i materiali, ma è generalmente trascurabile in materiali paramagnetici o ferromagnetici. 21

22 Diamagnetismo Il diamagnetismo consiste in una opposizione al campo magnetico esterno ed è caratteristico delle specie chimiche che possiedono orbitali completamente pieni, come ad esempio i gas nobili, gli ioni che assumono la configurazione elettronica di un gas nobile o tutte le molecole a "guscio chiuso". La suscettività magnetica di questi materiali assume valore negativo ed è di debole entità (dell'ordine di 10-6 ). 6, diamagnetica < 0 m, diamagnetica 10 χ m χ La permeabilità magnetica relativa per sostanze diamagnetiche è quindi minore di 1 1 +, m, diamagnetica < diamagnetica µ r χ 1 22

23 Paramagnetismo Il paramagnetismo è caratteristico delle specie che presentano elettroni spaiati e si manifesta macroscopicamente con l'attrazione da parte del materiale paramagnetico nei confronti di un campo magnetico esterno applicato. La suscettività magnetica di questi materiali assume tipicamente valori positivi maggiori di un fattore rispetto alla suscettività delle sostanze diamagnetiche. 4, paramagnetica > 0 m, paramagnetica + 10 χ m χ La permeabilità magnetica relativa per sostanze diamagnetiche è quindi maggiore di 1 1 +, m, paramagnetica > paramagnetica µ r χ 1 23

24 In funzione della temperatura la suscettività paramagnetica mostra un comportamento dato dalla legge di Curie: χ m, paramagnetica C T C è detta costante di Curie, e dipende dal momento magnetico effettivo dei dipoli magnetici presenti nel materiale. 24

25 Ferromagnetismo Il ferromagnetismo, caratteristico dei metalli di transizione come ferro, cobalto e nichel o altre leghe che mostrano una magnetizzazione spontanea, indipendente dalla presenza di un campo esterno. Questo genere di materiali possiede dipoli magnetici permanenti tutti con la medesima orientazione. La suscettività può essere molto elevata (positiva, dell'ordine di 10 3 ). M H 2 4, ferromagnetica >> 0 m, ferromagnetica χ m χ I materiali ferromagnetici al di sopra di una temperatura caratteristica (temperatura di Curie) perdono la magnetizzazione permanente e diventano paramagnetici. 25

26 Suscettività magnetica di alcuni materiali Material Temperature Pressure Units ( C) (atm) χ mol (molar susc.) SI (m 3 mol 1 ) χ mass (mass susc.) SI (m 3 kg 1 ) χ v (volume susc.) SI M (molar mass) (10-3 kg/mol) or (g/mol) ρ (density) (10 3 kg/m 3 ) or (g/cm 3 ) vacuum ny water bismuth Diamond r.t He Xe O N l g

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