FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 27 gennaio 2006 COGNOME NOME

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1 FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 27 gennaio 2006 COGNOME NOME A. I dati seguenti si riferiscono ad un campione casuale proveniente da una popolazione esponenziale con parametro λ incognito. 5,7 38,3 10,1 26,0 1,6 5,5 12,0 5,9 28,4 2,6 0,1 0,8 3,0 25,4 9,3 1. Si scriva la funzione di verosimiglianza per il parametro λ. 2. Si determini la stima di massima verosimiglianza di λ. B. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione di 112 lavoratori classificati per classi di reddito (in migliaia di annui) e tipo di impiego: Totale Lavoratori dipendenti Liberi professionisti Totale Si verifichi l ipotesi che il reddito medio dei professionisti sia maggiore di quello dei lavoratori dipendenti al livello α = 0,01. Si utilizzi la tecnica del livello di significatività osservato. 2. Si calcoli l intervallo fiduciario al 95% per il reddito medio dei lavoratori dipendenti. 3. Si verifichi l'ipotesi che la proporzione di coloro che guadagnano meno di 40 mila euro l anno sia la stessa nei lavoratori dipendenti e nei liberi professionisti, contro l'alternativa che sia maggiore nei lavoratori dipendenti, ad un livello α = 0, Si calcoli la potenza del test per la verifica d'ipotesi che il reddito medio dei liberi professionisti sia pari a 40 contro l alternativa che sia maggiore, assumendo µ = 45 sotto l ipotesi alternativa, sapendo che nella popolazione sia σ = 25. FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica Mod. II, Perugia, 28 gennaio 2005 N.B.: Si svolgano solo gli esercizi contrassegnati con asterisco COGNOME NOME *A. In un processo produttivo si effettua un controllo a campione per determinare la qualità della produzione. Sapendo che la probabilità che il processo produca un pezzo difettoso è pari a 0,06, qual è la probabilità di osservare al massimo 20 pezzi difettosi in un campione di 500 pezzi? B. Il diametro dei cilindri prodotti da una data azienda si distribuisce con media 20 mm e varianza 25. Un cliente richiede che in media il diametro dei cilindri si discosti dalla media al massimo di 1 mm. Qual è la probabilità che in una fornitura di 100 cilindri il diametro medio risulti esterno alle specifiche del cliente? C. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione di 242 lavoratori classificati per classi di reddito (in migliaia di euro annui) e tipo di impiego: Totale Lavoratori dipendenti Liberi professionisti Totale *Si verifichi l ipotesi che la retribuzione media dei lavoratori dipendenti sia pari a 25 mila euro contro l alternativa che sia inferiore (α = 0,01). 4. *Con riferimento al punto precedente, si calcoli il livello di significatività osservato. 5. Si determini un intervallo fiduciario al 95% per il reddito medio dei lavoratori dipendenti. 6. Si determini un intervallo fiduciario al 99% per il reddito medio dei liberi professionisti. 7. Si verifichi l'ipotesi che la proporzione di coloro che guadagnano più di 20 mila euro l anno sia la stessa tra i lavoratori e tra i liberi professionisti, contro l'alternativa che sia maggiore tra i liberi professionisti, ad un livello α = 0, Con riferimento al punto precedente si calcoli il livello di significatività osservato. 9. (Non più di 3 punti) Con riferimento al punto 5 si determini la potenza del test per l ipotesi alternativa che p 1 p2 = 0, 10 (p 1 è la frequenza relativa riferita ai lavoratori dipendenti e p 2 quella riferita ai professionisti; si tenga inoltre presente che, ai fini della stima della deviazione standard della differenza X Y, si deve procedere alla stima separata di dette frequenze relative).

2 10. *Si determini un intervallo fiduciario al 95% per la differenza tra le proporzioni di coloro che guadagnano più di 20 mila euro delle due categorie di lavoratori. Si commenti poi il risultato. 11. Si determini un intervallo fiduciario al 99% per la proporzione di coloro che guadagnano più di 40 mila euro tra i liberi professionisti. 12. Si verifichi l'ipotesi che il reddito medio sia lo stesso per i lavoratori dipendenti e per i liberi professionisti, contro l alternativa che sia maggiore per i liberi professionisti, ad un livello α = 0, Con riferimento al punto precedente si calcoli il livello di significatività osservato. 14. (Non più di 3 punti) Con riferimento al punto 10 si determini la potenza del test per l ipotesi alternativa che µ 1 µ 2 = 8 (µ 1 è la media per i lavoratori dipendenti, mentre µ 2 è la media per i liberi professionisti; si tenga presente, inoltre, che si può adottare la stessa stima della deviazione standard della differenza X Y usata nel punto 15. Si determini un intervallo fiduciario al 95% per la differenza tra i redditi medi dei lavoratori dipendenti e dei liberi professionisti. 14. *Considerando la distribuzione doppia si verifichi l ipotesi di indipendenza, ad un livello α = 0,05. D. La tabella che segue riporta il numero di incidenti stradali classificati in base alla gravità delle ferite riportate dal guidatore e dal fatto di indossare o meno le cinture di sicurezza: Uso delle cinture di sicurezza Gravità delle ferite Fatale Grave Minore Illeso Totale SI NO Totale Si verifichi l ipotesi di indipendenza tra il livello delle ferite riportate e l'utilizzo delle cinture di sicurezza attraverso un test appropriato al livello α = 0, Si verifichi l ipotesi di uguaglianza delle proporzioni degli illesi tra coloro che usano le cinture di sicurezza e tra quelli che non le usano, contro l alternativa che la proporzione degli illesi sia superiore tra coloro che usano le cinture di sicurezza; si assuma α = 0, Con riferimento al punto precedente, si determini il livello di significatività osservato. 4. * (non più di 3 punti) Con riferimento al punto 2, si determini la potenza del test per l ipotesi alternativa p 1 p2 = 0, 06 (p 1 è la frequenza relativa degli illesi riferita a coloro che usano le cinture di sicurezza e p 2 quella riferita a coloro che non le usano; si tenga inoltre presente che, ai fini della stima della deviazione standard della differenza X Y, si deve procedere alla stima separata di dette frequenze relative). E. (Solo per il vecchio ordinamento) Si considerino le seguenti serie per gli anni del tasso di disoccupazione per alcuni paesi europei: Anno Tasso di disoccupazione 9,6 9,4 9,0 8,8 8,6 Supponendo valide le assunzioni di base del modello di regressione, si calcoli la regressione del tasso di disoccupazione per l'italia rispetto al tempo e si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per β 1. FACOLTÀ DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 10 febbraio 2006 COGNOME NOME A. Un produttore di macchine per il riempimento automatico di lattine di bevande da 33 cl dichiara nelle specifiche del prodotto che il contenuto effettivo si distribuisce normalmente con media 33 e varianza 16. Assumendo che le specifiche si possano considerare credibili, calcolare: a. il contenuto medio e la varianza di una confezione da 6 lattine; b. il valore k tale che Pr( S σ k) = 0, 01, dove S è la varianza campionaria di un campione di 20 lattine. B. Nell ambito di un indagine sulle caratteristiche genetiche di una popolazione, si è proceduto alla classificazione di un campione casuale di 363 persone secondo il colore dei capelli ed il colore degli occhi: Colore dei capelli Colore degli occhi Totale Neri Marroni Azzurri Verdi Bruni Castani Rossi Biondi Totale

3 1. Nell'ambito della popolazione delle persone con i capelli rossi, si determini un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione delle persone con occhi verdi. 2. Relativamente all intera popolazione, si verifichi l ipotesi che la proporzione di persone con occhi azzurri sia il 0,25 contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = 0, Con riferimento al punto precedente, si calcoli la probabilità dell errore di seconda specie per l ipotesi alternativa p = 0,30. C. I seguenti dati si riferiscono all accrescimento (in kg) di un campione di 10 vitelli in una settimana di vita: 5,1 3,3 4,9 2,1 4,1 3,8 3,7 1,9 4,8 3,4 Sotto l'ipotesi che l accrescimento sia distribuito normalmente nella popolazione: 1. verificare l ipotesi che l accrescimento medio sia pari a 3 kg contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = 0,05; 2. determinare un intervallo di confidenza al 99% per la varianza. Corso di laurea in Economia aziendale Prova scritta di Statistica Mod. II Perugia, 13 gennaio 2006 COGNOME NOME B. È noto che il 38% dei dipendenti di una multinazionale è di sesso femminile. Considerando un campione casuale di 18 dipendenti, si determini: 1. la probabilità che non siano di sesso femminile un numero di dipendenti compreso tra 6 e 9; 2. il valore atteso e la varianza del numero di femmine nel campione.. C. Una catena di supermercati ha ricevuto delle lamentele sulla quantità di pomodoro contenuto nelle scatole di una nota marca che nell'etichetta riporta la quantità 1,5 kg. Per questo motivo, è stato estratto un campione casuale di 20 scatole e le quantità di prodotto osservate sono le seguenti: 1,49 1,50 1,40 1,35 1,49 1,17 1,49 1,37 1,37 1,29 1,39 1,65 1,46 1,48 1,31 1,52 1,29 1,37 1,56 1,45 Supponendo che il campione provenga da una popolazione normale: 5. si verifichi l'ipotesi che la quantità di prodotto medio sia 1,5 kg contro l'alternativa che sia inferiore, al livello α = 0,05; 6. con riferimento al punto precedente1, si calcoli la potenza del test per l'ipotesi alternativa µ = 1,4, sapendo che la varianza della popolazione è σ 2 = 0,01. D. Le uova prodotte da una azienda avicola hanno un peso (in grammi) che si distribuisce normalmente con media µ e varianza σ 2 = 49. Si determini la dimensione del campione che consente con una probabilità del 95% di stimare µ, mediante la media campionaria, con un errore non superiore in valore assoluto a 4 grammi. E. Da un indagine campionaria effettuata dall Ufficio statistico di un comune per conoscere il parere dei cittadini su una proposta di adozione di una nuova modalità di raccolta differenziata dei rifiuti si è trovato quanto segue: Sesso Parere Totale Favoreli Contrari Indifferenti Maschi Femmine Totale

4 1. Si verifichi l ipotesi di indipendenza; 2. Si determini un intervallo fiduciario al 95% per la differenza tra le proporzioni di favorevoli tra i maschi e le femmine. FACOLTÀ DI ECONOMIA Corso SIGI Prova scritta di Statistica II Perugia, 26 aprile 2005 COGNOME NOME A. Sapendo che il contenuto in succhi estraibili per spremitura nelle arance di un certo tipo è una variabile casuale normale con media pari a 7 cl e varianza 4,3, si calcoli la probabilità che in una confezione di 200 arance ve ne siano almeno 60 con contenuto di succhi maggiore di 7,5. B. Nella tabella seguente sono riportati i risultati di un indagine condotta su un campione di residenti in Umbria di 6 anni e più classificati secondo il sesso e il numero di spettacoli teatrali visti negli ultimi 12 mesi. N. spettacoli Maschi Femmine più di Totale Si verifichi l ipotesi che il numero medio di spettacoli visti negli ultimi 12 mesi sia lo stesso tra i maschi e le femmine (per il calcolo delle medie si prenda 20 come estremo destro dell ultima classe) contro l alternativa che sia diverso (α = 0,05). 2. Si determini l intervallo fiduciario al 99% per la proporzione di maschi nella popolazione che hanno visto più di 6 spettacoli nell ultimo anno. 3. Si determini la potenza del test per la verifica dell ipotesi che la proporzione delle femmine che hanno visto più di 6 spettacoli negli 12 mesi sia pari a 0,10 contro l alternativa che sia pari a 0,12 (α = 0,05). C. I dati seguenti si riferiscono all indice di durezza di un campione di 10 blocchi di plastica provenienti da una popolazione normale. 283,6 273,3 278,8 238,7 334,9 302,6 239,9 254,6 281,9 270,4 1. Si determini un intervallo fiduciario al 95% per la varianza della popolazione. 2. Si verifichi l ipotesi che la media della popolazione sia pari a 275 contro l alternativa che sia superiore. Si utilizzi la tecnica del livello di significatività osservato (α = 0,05). 3. Si scriva la funzione di verosimiglianza del campione osservato. FACOLTA DI ECONOMIA Corso di laurea in Economia aziendale Mod. II Perugia, 22 settembre 2005 COGNOME NOME F. Si assuma che per un certo tipo di lampadine industriali la durata di funzionamento, in ore, si distribuisca come una variabile casuale chi-quadrato con 40 gradi di libertà. Si calcoli: 1. la probabilità che su 8 lampadine almeno 1 duri più di 60 ore; 2. la durata media attesa di 10 lampadine. (Suggerimento: per l uso delle tavole si approssimi il valore cercato al valore più vicino) G. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione casuale di aziende di uno stesso settore classificate per consumo di energia (in MW) e fatturato mensile (in migliaia di ):

5 Consumo di Fatturato energia Totale Totale Si verifichi l'ipotesi che il fatturato medio nella popolazione sia pari a 9 mila contro l'alternativa che sia minore, al livello α = 0, Si determini un intervallo di confidenza al 95% per il consumo medio di energia. 3. Sia p la frequenza relativa delle aziende con consumo di energia inferiore a 10 MW nella popolazione. Si verifichi l'ipotesi H 0 : p = 0,3 contro l'alternativa che p sia diversa, al livello α = 0, Si verifichi l'ipotesi che il consumo energetico medio delle imprese con fatturato basso (<5) sia lo stesso delle imprese con fatturato alto (>10), contro l'alternativa che sia maggiore il consumo medio delle imprese con fatturato alto, al livello α = 0,05. H. Una banca intende valutare il livello di soddisfazione dei propri clienti. A tale scopo estrae un campione casuale di clienti e ne misura il livello di soddisfazione, espresso su di una scala da 0 (per nulla soddisfatto) a 100 (molto soddisfatto), ed il numero dei mesi di durata del rapporto tra banca e cliente. I dati per un campione di 15 clienti sono i seguenti: livello di soddisfazione durata del rapporto Si calcoli un intervallo fiduciario al 99% per il livello di soddisfazione medio; 2. Si calcoli un intervallo di confidenza al 95% per la varianza del livello di soddisfazione; 3. (solo per il vecchio ordinamento) Supponendo valide le assunzioni del modello di regressione lineare, si stimino i coefficienti del modello y = β 0 + β1x + ε, dove y esprime il livello di soddisfazione del cliente e x la durata del rapporto; inoltre, si verifichi l ipotesi β 1 = 0 contro l alternativa che sia maggiore, al livello α = 0,05. FACOLTA DI ECONOMIA Prova scritta di Statistica II Perugia, 16 giugno 2005 COGNOME NOME B. Il consumo elettrico giornaliero (in kw) di una famiglia nel periodo estivo può essere descritto da una variabile casuale normale con media 8,5 e varianza 6. Sapendo che il costo di un kw è pari 0,07, si calcoli la probabilità che la spesa per consumo elettrico (cioè escludendo la quota fissa) di una famiglia in un bimestre estivo sia superiore a 30. C. La seguente tabella riporta la distribuzione di un campione di 180 imprese manifatturiere classificate per classi di addetti e settore: Settori Classi di addetti Totale oltre 50 Tessile Ceramica Meccanica Totale Si verifichi l ipotesi che la frequenza di imprese con massimo 15 addetti sia la stessa per il settore Tessile e per il settore Ceramica, contro l'alternativa che tale frequenza sia maggiore nel settore Tessile, utilizzando la tecnica del livello di significatività osservato (α = 0,05). 16. Si determini un intervallo fiduciario al 90% per il numero medio di addetti del settore della Meccanica. 17. Si determini la potenza del test per la verifica dell ipotesi che la proporzione di imprese manifatturiere (nei settori considerati) con massimo 15 addetti sia pari a 0,40 contro l alternativa che sia 0,45 (α = 0,01). 18. Si verifichi l'ipotesi che il numero medio di addetti nei settori Tessile e della Ceramica sia uguale, contro l'alternativa che sia diverso (α = 0,05).

6 D. Il reparto qualità di un'azienda produttrice di forni a microonde intende procedere al controllo delle radiazioni emesse dai forni a sportello chiuso. Per questo motivo un campione di 10 forni viene estratto casualmente ed i valori delle radiazioni (in GHz) emesse sono i seguenti: 0,15 0,09 0,18 0,10 0,05 0,08 0,05 0,08 0,10 0,07 Si calcoli un intervallo fiduciario al 99% per il livello medio delle radiazioni emesse. E. Si consideri un campione casuale X, X,, X ) proveniente dalla popolazione descritta dalla funzione di probabilità ( 1 2 n e f ( x; θ ) = 2 θ θ x! 2x, x = 0,1, Si determini l espressione dello stimatore di massima verosimiglianza per θ. 2. Per un campione osservato di ampiezza 15, dato da , si calcoli la stima di massima verosimiglianza per θ.