1. Il moto della sbarretta (OLIMPIADI della FISICA 1991)

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1 1. Il moto della sbarretta (OLIMPIADI della FISICA 1991) Obiettivi Determinare la f.e.m. indotta agli estremi di un conduttore rettilineo in moto in un campo magnetico Applicare il secondo principio della dinamica in presenza di forze di meccaniche e magnetiche Determinare la velocità di regime Applicare l equazione del circuito Applicare il bilancio energetico del circuito Due fili conduttori, rettilinei e paralleli, sono connessi attraverso una resistenza R. Il piano dei fili è orizzontale e la distanza tra questi è d. Una sbarretta di materiale conduttore, avente massa m, è appoggiata sui due fili e può muoversi senza attrito scorrendo sempre perpendicolarmente a questi. La sbarretta è legata nel suo punto medio ad un peso di massa con un cavetto inestensibile e di massa trascurabile che passa su di una puleggia (v. figura) ; anche il momento di inerzia della puleggia può essere trascurato. E presente infine un campo di induzione magnetica uniforme e verticale. Inizialmente la sbarretta è tenuta ferma; ad un certo istante viene lasciata libera, con velocità nulla. a) Determinare, in funzione della velocità, l accelerazione della sbarretta e la tensione del cavetto. b) Nell ipotesi che i fili siano sufficientemente lunghi, determinare la velocità massima raggiunta dalla sbarretta e l intensità della corrente elettrica che fluisce nella resistenza, quando la velocità della sbarretta è massima c) Raggiunta la condizione di moto uniforme, il cavetto che tiene il peso viene tagliato e contemporaneamente viene attivato- in serie con la resistenza R- un generatore che mantiene la corrente al valore di regime, finché la sbarretta si ferma. Determinare l energia che il generatore deve erogare per frenare la sbarretta. SOLUZIONE a) La forza elettromotrice indotta (cinetica) Sollecitata dalla forza peso della massa m 0, la sbarretta acquista una velocità di modulo diretta verso destra. Gli elettroni di conduzione della barretta, in moto e in presenza del campo magnetico, sono soggetti alla forza di Lorentz, di modulo, e si sposteranno verso un estremo, mentre nell altro estremo comparirà una carica positiva, come in figura a lato.

2 Un campo elettrico, all interno del conduttore, di intensità compie lavoro per unità di carica pari a, essendo la lunghezza della barretta. si oppone alla separazione delle cariche e Pertanto si genera, fra l estremo positivo e l estremo negativo della sbarretta, una differenza di potenziale pari a ( forza elettromotrice indotta) Si può verificare che i risultati sono coerenti con la legge di Faraday e con la legge di Lenz La forza magnetica Nel circuito circola una corrente di intensità il cui verso è indicato nella figura a lato. Nella stessa figura è rappresentata la forza della fune. che agisce sulla sbarretta, opposta alla tensione Sulla sbarretta agisce pertanto una forza deceleratrice di intensità = Il secondo Principio della Dinamica Consideriamo come verso positivo del moto quello che va verso destra. Detta l accelerazione comune alla sbarretta e alla massa, applichiamo il secondo principio della dinamica a ciascuna delle due masse e risolviamo il sistema così impostato b) La velocità di regime La sbarretta, sotto azione delle due forze, si muove con accelerazione, inizialmente uguale a ovvero a quella che avrebbe acquistato in assenza di campo magnetico, e poi decrescente,al crescere della velocità.

3 Quando la velocità assume un valore limite o valore di regime in corrispondenza del quale l accelerazione è uguale a 0, il moto diviene uniforme, la velocità non varia e di conseguenza non varia neanche la forza elettrica. La risultante delle forze rimane pertanto nulla e il valore della velocità non può superare quello di regime. Quando Il valore di per cui l accelerazione è nulla la f.e.m. indotta è la corrente che attraversa il circuito è Considerazioni energetiche Raggiunta la velocità di regime, in un intervallo di tempo si ha : Energia dissipata Lavoro della forza peso = Energia dissipata in un certo intervallo di tempo Lavoro della forza peso b) Il generatore di corrente Il generatore inserito mantiene costante il valore dell intensità di corrente ma non quello della velocità e della f.e.m. indotta Infatti, a differenza del punto a, la risultante delle forze applicate alla sbarretta non è nulla,in quanto resta applicata la forza frenante di modulo costante Poiché il verso della forza è opposto alla velocità il moto della sbarretta è uniformemente ritardato con velocità iniziale di modulo e accelerazione di modulo Variazione temporale della velocità Tempo di frenata Variazione temporale della f.e.m. indotta Forza elettromotrice generata dal generatore per mantenere costante la corrente

4 Considerazioni energetiche Nell intervallo di tempo ( intervallo di frenata) la forza frenante compie un lavoro negativo pari a La presenza del generatore è necessaria per mantenere costante il valore di F La corrente che circola nel circuito dissipa una quantità di energia Pertanto,dall equazione del bilancio energetico si ottiene = = Allo stesso risultato si perviene per via diretta, in quanto il lavoro del generatore può essere calcolato come APPROFONDIMENTI Andamento temporale della velocità della sbarretta (punto b) Dall equazione si ottiene la seguente equazione differenziale con ovvero dove ha le dimensioni di un accelerazione

5 ha le dimensioni dell inverso di un tempo ha le dimensioni di un tempo imponendo che si trova Passando al limite per velocità di regime o velocità limite Il tempo di frenata (punto c) Supponiamo che, come ne punto c, venga rimosso il collegamento con la massa generatore., senza però inserire il L equazione differenziale si riduce a con La velocità della sbarretta segue un andamento esponenziale con e costante di tempo, uguale al tempo di frenata calcolato nel punto b). ll tempo di frenata, se l andamento della velocità fosse esponenziale, sarebbe teoricamente infinito, ma in pratica corrisponde a circa. Si può verificare che Inserendo il generatore, la velocità decresce linearmente. il tempo di frenata è minore e corrisponde proprio a (sottotangente) Si ha però maggior dispersione di energia per effetto Joule Esempio Modello esponenziale tangente nel punto sottotangente ( lunghezza del segmento OA) Modello lineare

6 Se la velocità, raggiunto il valore di regime, diminuisce linearmente, la barretta si ferma dopo 0,38 s, mentre se diminuisse esponenzialmente, si fermerebbe dopo circa 2 s.