Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton

Transcript

1 Programma di Analisi 1 Note: - I programmi presentati sono estratti ed integrati da Programmi previsti in diverse Università, possono pertanto contenere parti simili, o in più, dei programmi ufficiali. - Per Corsi di Laurea di Ingegneria di qualunque indirizzo ed Università Il seguente elenco di argomenti è estratto da vari programmi di Analisi I pubblicati nei siti delle maggiori Facoltà di Ingegneria e dei Politecnici. In funzione delle specifiche richieste il programma offerto può subire modifiche, ampliamenti o aggiustamenti. - Presso il Centro Studi sono disponibili vari libri di testo ed una raccolta di testi esami di varie Università e varie Facoltà - I programmi possono cambiare in base alle Università, ai Corsi di Laurea, ai Docenti, agli Anni. Si consiglia di fare, sempre, riferimento ai Programmi indicati dai Professori Docenti o dai Professori Esercitatori e sempre pubblicati nei Siti web dei Corsi di Laurea. - Tutti programmi sono compendiati da un enorme numero di esercizi, esercitazioni, simulazioni di compiti. Introduzione a. Terminologia sugli insiemi, operazioni sugli insiemi e loro proprietà; variabili, b. proposizioni e proprietà; connettivi e quantificatori; implicazione universale, sua dimostrazione o contro esempio; dimostrazioni indirette. c. Dimostrazioni per induzione. Insiemi numerici. a. Gli insiemi N, Z, Q, R. Gli assiomi di campo ordinato. La rappresentazione decimale e la rappresentazione geometrica dei numeri razionali e reali. Inadeguatezza dei razionali per misurare i segmenti o altre grandezze. Irrazionalità di radice di 2. b. Nozioni di insieme limitato; massimo, minimo, maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore; c. Definizione assiomatica di R come campo ordinato; d. Definizione di intervallo; tipi di intervalli. Valore assoluto e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare (*). Disuguaglianza di Bernoulli e. Definizione e proprietà; logaritmi: definizione, teorema di esistenza dei logaritmi in R; proprietà dei logaritmi Equazioni e Disequazioni Logaritmiche, Equazioni e Disequazioni esponenziali: Calcolo Combinatorio Il fattoriale, coefficienti binomiali e loro proprietà; formula del binomio di Newton Il Campo Complesso a. Definizione di C mediante le coppie ordinate di numeri reali; definizione delle operazioni di somma e prodotto e verifica delle proprietà di campo in C. b. Forma algebrica dei numeri complessi: parte reale, immaginaria, modulo, coniugato di un numero complesso. c. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: il piano complesso. Principali proprietà del modulo (disuguaglianza triangolare...) e del coniugato di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi; passaggio da forma algebrica a forma trigonometrica e viceversa. Teorema di De Moivre sul prodotto, il quoziente e la potenza di numeri complessi scritti in forma trigonometrica. d. Definizione di radice n-esima in C. Teorema di De Moivre sulla determinazione delle radici n-esime in C e interpretazione geometrica di tale formula. Tecniche di risoluzione di equazioni nel campo complesso. Definizione di equazione algebrica di grado n, molteplicità di una soluzione dell'equazione, teorema fondamentale dell'algebra. Conseguenze per i polinomi a coefficienti reali.

2 Funzioni reali di variabile reale a. Definizione generale di funzione tra due insiemi qualsiasi. b. Generalità per le funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, immagine, grafico. Funzione pari, dispari, monotona, limitata, periodica. Composizione di funzioni. Restrizione di una funzione. c. Funzione invertibile, funzione inversa. Funzione è strettamente monotona ed invertibile d. Operazioni sui grafici: traslazioni, dilatazioni, riflessioni, applicazioni di valori assoluti al grafico di una funzione. e. Funzioni elementari. Proprietà e dei grafici delle seguenti famiglie di funzioni: potenze a esponente razionale e reale, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche elementari e loro inverse, funzione valore assoluto. f. Simmetria e trasformazioni geometriche Successioni e limiti di successioni. a. Definizione di successione; successioni limitate, proprietà; definizione di successione convergente e suo limite, successione divergente, successione irregolare. Esempi. b. Teorema di unicità del limite. Teorema: una successione convergente è limitata. c. Il calcolo di limiti. d. Teorema sulle operazioni i limiti finiti; e. Algebra dei limiti: limite della somma e del prodotto e sua estensione al caso dei limiti infiniti; forme indeterminate; teorema del confronto; il prodotto di una successione infinitesima. Teorema della permanenza del segno Teorema sulla gerarchia degli infiniti: confronto tra successioni di tipo logaritmo, potenza, esponenziale, fattoriale,. f. Successioni monotone: definizione; teorema di esistenza del limite finito o infinito per successioni monotone limitate o illimitate. Limiti di funzioni e Continuità a. La definizione di limite per le funzioni, mediante successioni. Limite finito e infinito, al finito e all infinito, limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto. Asintoti orizzontali e verticali: definizione e loro determinazione. b. Definizione di funzione continua, in un punto e in un intervallo. Discontinuità e specie di discontinuità. c. Definizione di infinito o infinitesimo di ordine superiore; d. Significato e utilizzo dei limiti e delle stime asintotiche nello studio del grafico di una funzione. e. Definizione topologica di limite f. Teoremi fondamentali sul calcolo dei limiti e la continuità: Teorema di unicità del limite; teoremi sulle operazioni coi limiti finiti ed estensione di questi risultati ai limiti infiniti; teorema di permanenza del segno, teorema del confronto; forme di indeterminazione; cambio di variabile nel limite (limite della funzione composta). Teorema di continuità delle funzioni elementari nel loro insieme di definizione.. g. Simmetria, grafici, limiti notevoli e stime asintotiche di funzioni

3 Proprietà delle funzioni continue su un intervallo. a. Teorema degli zeri; teorema di Weierstrass; teorema dei valori intermedi b. Applicazioni: confronti grafici; esistenza della radice n-esima.. Teorema di esistenza dei limiti destro e sinistro per funzioni monotone. Conseguenze sui tipi di discontinuità che può avere una funzione monotona. Relazioni tra continuità, monotonia, invertibilità. c. Grafici di funzioni Calcolo differenziale a. Definizione di derivata di una funzione; suoi significati geometrici e fisici; equazione della retta tangente. b. Derivabilità e continuità c. Derivata destra e sinistra; studio dei punti di non derivabilità: punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale. d. Le equazioni differenziali soddisfatte dalle funzioni esponenziali e trigonometriche. e. Teorema sull algebra delle derivate: derivata della somma, del prodotto, del reciproco, del quoziente di funzioni derivabili. Teorema sulla derivata della funzione composta. Teorema sulla derivata della funzione inversa. f. Applicazione al calcolo della derivata di una funzione inversa, anche quando non si conosce l'espressione analitica dell'inversa. Derivata delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche elementari e loro inverse) g. Calcolo della derivata di una qualsiasi funzione ottenuta con operazioni algebriche e di composizione a partire dalle funzioni elementari (compresi i valori assoluti). Applicazioni del calcolo differenziale: a. Il problema della ricerca dei massimi e minimi di una funzione; il teorema di Fermat. Nozione di punto stazionario. Il Teorema di Lagrange. b. Relazione tra segno della derivata prima e monotonia della funzione e test di monotonia c. Utilizzo della derivata prima per lo studio del grafico di una funzione. Utilizzo della derivata per studiare la monotonia di una successione. d. Le funzioni a derivata nulla su un intervallo sono tutte e sole le costanti. Relazione tra il segno della derivata seconda in un intervallo e la concavità della funzione. Nozioni di convessità per funzioni. Concavità per corde e per tangenti. Punti di flesso. e. Studio del grafico di una funzione.

4 Applicazioni del calcolo differenziale a. Il Teorema di De L Hospital: suoi vari enunciati Applicazioni del Teorema di De L Hospital: dimostrazione della gerarchia degli infiniti; b. Calcolo di limiti con forme di indeterminazione non risolubili mediante i limiti notevoli. Linearizzazione di una funzione derivabile; differenziale di una funzione. Il simbolo di o piccolo : definizione, proprietà, relazione col simbolo di asintotico. c. Formula di Taylor e di MacLaurin con resto secondo Peano, Sviluppi di MacLaurin all ordine n per le funzioni elementari. d. Applicazioni della formula di Taylor e. Formula di Taylor-Mac Laurin f. Applicazioni al calcolo numerico approssimato. Serie a. Generalità sulle serie: somme parziali, serie convergenti, divergenti, oscillanti. S b. tudio del carattere delle serie notevoli: serie geometrica, serie armonica, serie di Mengoli e serie telescopiche c. Condizione necessaria e non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generale tenda a zero d. Serie a termini positivi: regolarità delle serie a termini positivi; criterio del confronto; confronto asintotico, del rapporto e della radice e. Serie armonica generalizzata. Utilizzo di stime asintotiche e sviluppi di MacLaurin per lo studio del carattere di serie a termini non negativi. f. Serie a termini di segno qualunque: convergenza semplice e convergenza assoluta. g. Serie a segni alterni; criterio di Leibniz; Serie di potenze. a. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni trascendenti elementari. Esponenziale nel campo complesso. a. Generalità sulle serie nel campo complesso: definizione di limite di successione e di serie convergente nel campo complesso. b. La serie geometrica in C c. Definizione di convergenza assoluta e criterio della convergenza assoluta per serie nel campo complesso. d. Definizione dell esponenziale nel campo complesso mediante serie di potenze. Proprietà dell'esponenziale. Relazione tra funzioni esponenziali e trigonometriche: Formule di Eulero; Forma esponenziale dei numeri complessi e loro applicazioni.

5 Integrale definito. a. La definizione di integrabilità e integrale, per una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato, come limite di somme di Cauchy-Riemann. b. Significati geometrici e fisici dell integrale. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. c. Proprietà elementari dell integrale definito: d. Teorema della media Il calcolo degli integrali definiti. a. La definizione di primitiva di una funzione, su un dato intervallo; b. Definizione di integrale indefinito di una funzione. Il teorema fondamentale del calcolo integrale c. Metodi di calcolo per gli integrali indefiniti e definiti. d. Metodo di integrazione per parti tecniche di base per l integrazione di alcune classi di funzioni razionali, funzioni trigonometriche, funzioni irrazionali. Integrali generalizzati. a. Integrale generalizzato per funzioni illimitate su un intervallo limitato: definizione ed esempi. b. Criteri di integrabilità per funzioni di segno costante: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Criterio dell'integrabilità assoluta per funzioni di segno variabile. Esempi di applicazioni. c. Integrale generalizzato per funzioni definite su un intervallo limitato: definizione, esempi. d. Criteri di integrabilità all'infinito per funzioni di segno costante: criterio del confronto e Criterio del confronto asintotico. e. Esempi di applicazioni. Applicazioni alle serie numeriche: divergenza della serie armonica e convergenza della serie armonica generalizzata. Criterio dell'integrabilità assoluta all'infinito per funzioni di segno variabile. Es Funzioni integrali. a. Definizione di funzione integrale, con integranda continua o solo integrabile, quando l'integrale va inteso in senso proprio o generalizzato. b. Esempi di funzioni integrali notevoli. Determinazione dell'insieme di definizione di una funzione integrale. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale e conseguenze: deduzione del grado di regolarità della funzione integrale dal grado di regolarità della funzione integranda; deduzione del grafico di una funzione integrale dal grafico della funzione integranda;