Statistica. Esercitazione 4 15 maggio 2012 Connessione. Medie condizionate. Covarianza e correlazione

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1 Corso di Laurea in Scienze dell Organizzazione Facoltà di Sociologia, Università degli Studi di Milano-Bicocca a.a. 2011/2012 Statistica Esercitazione 4 15 maggio 2012 Connessione. Medie condizionate. Covarianza e correlazione Esercizio 1 - Connessione (Titanic) La seguente tabella a doppia entrata riassume i dati relativi al disastro del Titanic (15 aprile 1912): i passeggeri sono suddivisi in base al loro status ( sopravvissuto o morto) ed alla loro classe di imbarco ( prima, seconda, terza, equipaggio). Classe morti sopravvissuti prima seconda terza equipaggio Tabella 1: Dati relativi al disastro del Titanic: classe vs status. Discutere la connessione tra status e classe d imbarco con un opportuno indice statistico. (Per i dati completi, si veda la tabella 6)

2 Completiamo la tabella di contingenza osservata con le frequenze marginali di riga e di colonna (tabella 2). Si possono poi costruire le frequenze condizionate Classe, Status morti sopravvissuti f i prima seconda terza equipaggio f j Tabella 2: Tabella a doppia entrata: frequenze congiunte e marginali dello status data la classe d imbarco (tabella 3). Queste evidenziano come non Classe, Status morti sopravvissuti prima seconda terza equipaggio f j /N Tabella 3: d imbarco Distribuzioni di frequenza condizionate dello status data la classe ci sia indipendenza tra le due variabili. La loro connessione può essere misurata attraverso l indice Chi Quadro, calcolato come ( 4 ) 2 f χ 2 ij 2 = N 1 f i f j e quindi ( 122 χ 2 2 = ) = = L indice Chi Quadro normalizzato è pari a χ 2 = χ 2 N min(h 1, k 1) = χ 2 N min(4 1, 2 1) = χ2 N =

3 quindi la connessione tra le due variabili è piuttosto bassa (pari a circa il 9% della massima connessione ottenibile). A partire dalla tabella 6, si possono costruire altre due tabelle a doppia entrata, la 4 e la 5. Età, Status Morti Sopravvissuti Totale Bambini Adulti Tabella 4: Tabella a doppia entrata età/status Sesso, Status Morti Sopravvissuti Totale Uomini Donne Tabella 5: Tabella a doppia entrata sesso/status Si può verificare che l indice di connessione normalizzato tra status e età (adulti/bambini) è pari a , mentre calcolato tra status e sesso (uomini/donne) è pari a In conclusione, la variabile status risulta più connessa alla variabile sesso. Esercizio 2 - Medie condizionate. Proprietà associativa della media aritmetica. La seguente tabella di contingenza riporta i risultati della rilevazione congiunta dei fenomeni X=Attività fisica e Y =livello di colesterolo (mg/dl) per una popolazione di 220 studenti: X, Y scarsa o nulla moderata o elevata Verificare se c è indipendenza tra X e Y Calcolare le medie condizionate di Y dato X = x i e verificare se c è indipendenza in media di Y da X. Calcolare la media marginale di Y sfruttando la proprietà associativa. 3

4 Morti Sopravvissuti Classe Sesso Età 1a Uomini Bambini 0 5 Adulti Donne Bambini 0 1 Adulti a Uomini Bambini 0 11 Adulti Donne Bambini 0 13 Adulti a Uomini Bambini Adulti Donne Bambini Adulti Equipaggio Uomini Bambini 0 0 Adulti Donne Bambini 0 0 Adulti 3 20 Totale Tabella 6: I dati completi del disastro del Titanic 4

5 X, Y f i scarsa o nulla moderata o elevata f j n = 220 Per verificare se c è o meno indipendenza tra i due fenomeni, calcoliamo le distribuzioni di frequenze condizionate, per esempio di Y dato X = x i : X, Y scarsa o nulla moderata o elevata Essendo , e , si conclude che X e Y non sono indipendenti. La media condizionata ȳ x 1 si calcola, considerando i valori centrali delle classi di Y, come ȳ x 1 = = 222 mentre l altra media condizionata ȳ x 2 = = 200 Com era lecito aspettarsi, il livello medio di colesterolo è più alto tra quelli che praticano poca attività sportiva ripetto a quelli che la praticano in maniera moderata o elevata. Essendo le due medie condizionate diverse tra loro, si conclude che Y non è indipendente in media da X. La media marginale di Y vale: ȳ = 1 ( ) = ma si può calcolare sfruttando la proprietà associativa della media aritmetica: ȳ = 1 ( ) = Esercizio 3 - Diagramma di dispersione e covarianza Per la seguente serie doppia x y

6 calcolare la covarianza σ xy e tracciare il diagramma di dispersione (x, y). Calcolare il coefficiente di correlazione lineare e commentare il risultato. Risulta x = 16, ȳ = 25. Si può calcolare la covarianza tra X e Y usando direttamente la definizione: σ xy = 1 n n (x i x)(y i ȳ) = 1 [(10 16)(30 25) + (12 16)(32 25) + (15 16)(28 25)+ 5 (20 16)(20 25) + (23 16)(15 25)] = 1 5 ( ) = = 30.2 oppure utilizzando la formula alternativa, calcolando µ xy = 1 n n x i y i = 1 ( ) = 1849/5 5 e quindi σ xy = µ xy xȳ = 1849/ = 30.2 Il segno negativo di σ xy indica che al crescere di X mediamente Y decresce. Si veda anche il diagramma di dispersione di figura 1, dove è riportato anche il baricentro dei dati ( x, ȳ). Risulta poi σ 2 x = 23.6 e σ 2 y = 41.6, quindi ρ xy = σ xy σ x σ y = = che indica una relazione lineare (negativa) molto forte. Esercizio 4 - Covarianza e correlazione In un quartiere cittadino si sono rilevati in 100 appartamenti il numero di televisori (Y ) ed il numero di persone (X) che vi abitano. Si sono ottenuti i risultati riassunti nella tabella a doppia entrata seguente: X,Y

7 y (x,y) x Figura 1: Diagramma di dispersione per la serie doppia dell esercizio 3. Calcolare: 1. le frequenze marginali di X e Y ; 2. le frequenze condizionate; 3. le frequenze teoriche sotto l ipotesi di indipendenza statistica; 4. l indice di connessione χ 2 ; 5. le medie marginali di X e Y ; 6. le medie condizionate di Y, verificando la proprietà di associatività; 7. momento misto, varianze, covarianza e indice di correlazione, commentando i risultati. 1. Nella seguente tabella sono riportati i valori delle frequenze marginali di riga e di colonna: 7

8 X,Y 1 2 f i f j Dalla tabella precedente si possono ottenere facilmente le frequenze condizionate di Y dato X: e di X dato Y : X,Y X,Y Calcoliamo ora le frequenze teoriche sotto l ipotesi di indipendenza tra le due variabili X e Y ; la formula da utilizzare è: f ij = f i f j N per ogni i = 1,..., k e quindi si ottiene la tabella teorica di i.s.: j = 1,..., h X,Y 1 2 fi f j

9 4. È possibile a questo punto calcolare l indice di connessione, utilizzando la formula k f χ 2 ij 2 = N ( 1) f i f j che coi nostri dati dà χ 2 = 100 ( ) = 100 ( ) = Ora, essendo il valore di χ 2 max pari a N min {h 1, k 1} = 100 min {1, 3} = = 100, segue che il valore dell indice di connessione normalizzato è pari a: χ ( ) = = e quindi si conclude che c è una connessione tra X e Y pari al 25.3% di quella massima ottenibile con le frequenze marginali osservate. 5. Calcoliamo ora le medie marginali di X e Y. Si ottiene: x = 1 N k x i f i = 1 ( ) = ȳ = 1 N y j f j = 1 ( ) = Per le medie condizionate: ȳ x 1 = 1 f 1 y j f 1j = = 1 ȳ x 2 = 1 f 2 ȳ x 3 = 1 f 3 ȳ x 4 = 1 f 4 y j f 2j = y j f 3j = y j f 4j = = = 1.6 = 1.667

10 Verifichiamo per Y la proprietà di associatività delle medie condizionate: 1 N k ȳ x i f i = 1 ( ) = 1.36 = ȳ Applicando le formule note dalla teoria, per il momento misto si ha: µ XY = 1 f ij x i y j = N = i j ( ) = = 3.25 e, quindi, per la covarianza: σ XY = µ XY xȳ = = In alternativa, si può calcolare la covarianza partendo direttamente dalla definizione, ovvero: σ XY = 1 f ij (x i x)(y j ȳ) = = N i j Le varianze di X e Y sono calcolabili con le formule: σ x = 1 k 1 f i x 2 i N x2 = 100 ( ) = = σ y = 1 N f j yj 2 ȳ2 = Adesso è possibile calcolare il valore di ρ XY : ( ) = = 0.48 ρ xy = σ xy σ x σ y = = che ci indica una correlazione lineare positiva moderata tra X e Y. 10