Studio del grafico di una funzione reale

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1 Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare il piùpresto possibile apotertracciareinmodoqualitativo il graficodiuna funzione. Questi appunti sono stati scritti in un tempo molto breve, quindi dovete perdonarmi per i numerosi errori che sicuramente contengono. 1.1 Le fasi dello studio del grafico di una funzione Datauna funzione f : E R R, dove cone abbiamo indicato l insieme di esistenza, i passi per rappresentare il suo grafico sono i seguenti. A Studiare il comportamento agli estremi dell insieme di esistenza, i quali si dividono in due tipi: A 1 estremi finiti, cioè punti per i quali la funzione non esiste ma esiste per valori vicini a piacere; A 2 estremi infiniti. B Studiare i massimi e minimi locali e gli eventuali flessi a tangente orizzontale.

2 2 Studio del grafico di una funzione reale C Tracciare il grafico congiungendo tutte le informazioni ottenute nei passi precedenti. 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 Illustreremo questa parte con degli esempi per poi generalizzare. Esempio 1.1. Sia data la funzione = 1 tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E = (, 0) (0, + ). Gli estremi dell insieme di esistenza sono: 0,, +. Come detto in precedenza si dividono in estremi finiti ed estremi infiniti. Occupiamoci per ora solo di quelli finiti. Prima di far questo rappresentiamo l insieme E R, cioè l insieme dove l eventuale grafico della funzione esiste. Si ha: E R Si noti che la retta = 0 è stata evidenziata con il tratteggio per ricordare che il grafico della funzione non può attraversare tale retta. Andiamo quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della vicini al valore = 0. Dalla rappresentazione grafica di E R si osserva che possiamo avvicinarsi al volere = 0 sia per valori più grandi, e si dirà da destra, che per valori più piccoli, e diremo da sinistra. I punti del grafico hanno coordinate (, f()), quindi per conoscere il comportamento

3 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 3 del grafico in prossimità del valore = 0 dobbiamo capire a quale valore tende la funzione f() quando tende al valore 0. Tale operazione si indica con 0 +f() = f() = 0 1, qui tende a 0 da destra, qui tende a 0 da sinistra Per calcolare questi iti operiamo nel modo seguente. Per primo osserviamo che = =, e 0 = 1 0 =. Infatti, nell operazione di ite dividere un numero per una quantità che tende a zero produce una quantità infinita (basti pensare che 1/0.001 = 1000). Il problema qui consiste nel decidere se tende a + o. Per sciogliere tale dubbio osserviamo che nel primo caso, cioè quando tende a 0 da destra, il denominatore della frazione 1/ tende a zero per valori positivi. Scriveremo quindi = 1 0 = + + dove ilsegno +èstatoattribuitoconl usuale regoladel prodottodeisegni. Nel secondo caso, invece, quando tende a 0 da sinistra, il denominatore della frazione 1/ tende a zero per valori negativi. Si ha quindi 1 0 = 1 0 =. Dal punto di vista grafico i iti visti sopra indicano che più è vicino a 0 da destra più la quota del corrispondente punto sul grafico assume valori infinitamente grandi (cioè verso + ), mentre più è vicino a 0 da sinistra più la quota del corrispondente punto sul grafico assume valori infinitamente piccoli (cioè verso ). In questo caso si dice che il grafico della funzione presenta un asintoto verticale di equazione = 0. Per comodità si tracciano le parti del grafico che tendono asintoticamente a tale retta in corfomità con i iti appena calcolati. Il grafico diviene

4 4 Studio del grafico di una funzione reale Asintoto verticale = 0 Esempio 1.2. Sia data la funzione = Anche in questo caso l insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatoresiadiversoda0. SihaE = (, 1) ( 1,+ ). L insieme E R diventa E R 1

5 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 5 dove come nell esempio precedente abbiamo indicato con un tratteggio la retta = 1 dove la funzione non esiste. Calcoliamo adesso i iti della funzione per che tende a 1 da destra e da sinistra. Si ha = 1 0 = + infatti se tende a 1 da destra vuol dire che tende a 1 per valori più grandi di 1 (ad esempio 0.9), ne consegue che la quantità 1 + tende a zero per valori positivi. Infine, la solita regola dei segni porta alla conclusione. Calcoliamo adesso il ite della funzione per che tende a 1 da sinistra. Si ha = 1 0 = infatti se tende a 1 da sinistra vuol dire che tende a 1 per valori più piccoli di 1 (ad esempio 1.1), ne consegue che la quantità 1+ tende a zero per valori negativi. Anche in questo caso si dice che il grafico della funzione presenta un asintoto verticale di equazione = 1 e si tracciano le parti del grafico che tendono asintoticamente a tale retta in corfomità con i iti appena calcolati. Il grafico diviene Asintoto verticale = 1 1

6 6 Studio del grafico di una funzione reale Esempio 1.3. Sia data la funzione = e 1 L insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore dell esponente sia diverso da 0. Si ha E = (,0) (0,+ ). Andiamo quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della vicini al valore = 0. Si ha mentre 1 = e 0 + = e + = + 0 +e1 1 = e 0 = e = 1 0 e1 e = = 0 In questo caso la funzione tende ad una quantità infinita solo quando tende a zero da destra mentre tende ad un numero finito, cioè 0, quando tende a zero da sinistra. Anche in questo caso si dice che la retta = 0 è un asintoto per il grafico della funzione ma si specifica che è solo per la parte destra. Il grafico vicino alla retta = 0 diviene? = 0 è un asintoto verticale destro Si noti che non si può ancore decidere se il grafico tende a zero da sinistra per valori positivi (cioè sopra l asse delle ) o negativi (cioè sotto l asse delle ). Per ora si lasciano le due possibilità e vedremo più avanti che la scelta sarà obbligata.

7 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 7 Esempio 1.4. Sia data la funzione = Anche in questo caso l insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore sia diverso da 0. Si trova E = (,1) (1,+ ). In questo caso si ha = 0 0? Il quale rappresenta una forma di indecisione che non abbiamo ancora affrontato. Ad ogni modo, per ora risolviamo il ite sfruttando che il numeratore è la differenza di due quadrati. Si ha Allo stesso modo = ( 1)(+1) = = = ( 1)(+1) 1 1 = 1 +1 = 2 In questo caso la funzione tende ad una quantità finita sia da sinistra che da destra. Il grafico non presenta quindi asintoti verticali. Il grafico vicino alla retta = 1 diviene 2 1

8 8 Studio del grafico di una funzione reale Esempio 1.5. Sia data la funzione = L insieme di esistenza si ottiene imponendo che il denominatore sia diverso da 0. Si ha E = (,0) (0,+ ). Calcoliamo il comportamento della funzione per valori della vicini al valore = 0. Si trova 0 + = 0 + = 1 mentre 0 = 0 = 1 In questo caso la funzione tende ad una quantità finita sia da sinistra che da destra ma, diversamente dell esempio precedente, i due iti destro e sinistro sono diversi. Il grafico non presenta asintoti verticali e, vicino alla retta = 0, si manifesta come in figura 1 1 Esempio 1.6. Sia data la funzione = ln In questo caso l insieme di esistenza si ottiene imponendo che l argomento del logaritmo sia maggiore di zero. Si ha E = (0,+ ), da cui la rappresentazione di E R è

9 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 9 E R Andiamo quindi a capire cosa succede al grafico della funzione per valori della vicini al valore = 0. In questo caso possiamo avvicinarci al valore 0 solo da destra, cioè per valori maggiori di zero. Dall analisi del grafico elementare del logaritmo fatta per punti si deduce che 0 +ln = ln0+ = In questo caso la retta = 0 è un asintoto verticale destro per il grafico, quindi il comportamento vicino a zero è

10 10 Studio del grafico di una funzione reale Riassumiamo quanto visto negli esempi precedenti. Sia 0 un estremo finito per E. Indicando con l + = f(), l = f() il ite destro e sinistro (quando questo è possibile) della funzione f() per che tende a 0, si hanno le seguenti possibilità: (i) almeno uno tra l + e l è infinito, in questo caso si dice che la retta di equazione = 0 è un asintoto verticale (si vedano gli esempi 1.1, 1.2, 1.3, 1.6); (ii) l + ed l sono entrami finiti e l + = l (si veda l esempio 1.4); (iii) l + ed l sono entrami finiti e l + l (si veda l esempio 1.5). Un definizione rigorosa di ite è la seguente Definizione 1.7. Sia f : E R R una funzione e sia 0 un numero reale appartenente ad E unito con i suoi estremi. (a) Si dice che f() = l + ± + 0 se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni E con 0 < 0 < δ si ha (b) Si dice che 0 f() l + < ǫ. f() = l ± se per ogni ǫ > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni E con 0 < 0 < δ si ha f() l < ǫ.

11 1.2 Comportamento agli estremi caso A 1 11 (c) Si dice che f() = se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni E con 0 < 0 < δ si ha f() > M. (d) Si dice che f() = + 0 se per ogni M > 0 esiste un numero δ > 0 tale che per ogni E con 0 < 0 < δ si ha f() < M. Se un punto 0 appartiene all insieme si esistenza si può calcolare il valore della funzione in quel punto ma si può comunque calcolare il ite della funzione per che tende a 0. Tuttavia può accadere che il valore della funzione in 0 non sia uguale al valore del ite della funzione per che tende a destra o a sinistra di 0. Facciamo un esempio, si consideri la funzione cosi definita: 2 se > 0 f() = 1 se = 0 2 se < 0 Lafunzione f èdefinita per tuttiivalorirealiedil suo graficoèilseguente:

12 12 Studio del grafico di una funzione reale Risulta che f(0) = 1 mentre 0 ±f() = 0 f(0). In questo caso si dice che la funzione non è continua in = 0. Tale termine vuol ricordare che non è possibile tracciare il grafico della funzione con un tratto continuo, cioè senza dover mai staccare la penna dal foglio. L analisi dell esempio precedente conduce alla seguente Definizione 1.8. Una funzione f : E R R si dice continua in un punto 0 E se f() = f() = f( 0 ) Nel seguito quando + f() = 0 f() parleremo solamente di 0 0 f() intendendo che il valore da destra è lo stesso del valore da sinistra.

13 1.3 Successioni 13 Prima di esaminare il comportamento di una funzione agli estremi infiniti è conveniente esaminare il caso delle successioni. 1.3 Successioni Si dicesuccessione unaqualsiasi funzionea : N R. Spesso perindicare una successione si usa la sequenza delle immagini: a 0 = a(0), a 1 = a(1),... a n = a(n),... Talvolta si considera l insieme N privato dello zero e quindi si considera come primo termine di una successione quello con indice 1 ossia: a 1 = a(1), a 2 = a(2),... a n = a(n),... Per questo motivo è opportuno fare attenzione al significato di espressioni come primo termine della successione oppure primi 5 termini della successione che potrebbero risultare ambigui. A priori qualsiasi sequenza di numeri costituisce una successione; potremmo, ad esempio, costruirne una lanciando un dado e considerando come a n il numero uscito all nesimo lancio. In generale però tratteremo successioni i cui termini sono ottenibili mediante una qualche formula matematica. Esempio 1.9. La successione a n = n 2 è la successione dei quadrati dei numeri naturali: a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 9, a 4 = 16,... La successione b n = 3 n è la successione delle radici cubiche dei numeri naturali: b 0 = 0, b 1 = 1, b 2 = 3 2, b 3 = 3 3, b 4 = 3 4,... La successione c n = ( 1) n è una successione i cui termini si ripetono infinite volte c 0 = 1, c 1 = 1, c 2 = 1, c 3 = 1, c 4 = 1,...

14 14 Studio del grafico di una funzione reale a n b n n n Figura 1.1: Alcuni punti del grafico delle successione a n = n 2 (a sinistra) e b n = ( 1) n (a destra). 1.4 Grafico di una successione Come visto nel paragrafo precedente una successione a n è una funzione a n : N R. Possiamo quindi rappresentare una successione tramite il suo grafico: G(a n ) = {(n,a n ) : n N}. In questo caso il grafico non costituisce una linea continua, infatti le ascisse dei punti del grafico possono assumere solo valori naturali e quindi sono ben distanziati. Consideriamo alcuni esempi. In Figura 1.1 sono mostrati i primi punti del grafico delle successioni a n = n 2 e b n = ( 1) n. La successione c n = n, definita per n 2, ha valori iniziali n 1 c 2 = 2, c 3 = 3/2 = 1.5, c 4 = 4/3 = 1.3, c 5 = 5/4 = 1.25, c 6 = 6/5 = 1.2,... mentre la successione d n = ( 2) n inizia con d 0 = 1, d 1 = 2, d 2 = 4, d 3 = 8,... I grafici di c n e d n sono mostrati in Figura 1.2.

15 1.5 Limiti di una successione 15 d n n c n n Figura 1.2: Alcuni punti del graficodelle successione c n = n n 1 (asinistra) e d n = ( 2) n (a destra). 1.5 Limiti di una successione Il grafico di una successione è utile per riconoscere alcune proprietà matematiche. Iniziamo con la seguente Definizione Un successione a n si dirà: itata inferiormente se esiste un numero m tale che a n m n N; itata superiormente se esiste un numero M tale che a n M n N; itata se è itata inferiormente e superiormente. Per le successioni viste nel paragrafo precedente valgono le seguenti proprietà: a n itata inferiormente itata superiormente a n = n 2 si da 0 no b n = ( 1) n si da 1 si da 1 c n = n si da 1 si da 2 n 1 d n = ( 2) n no no

16 16 Studio del grafico di una funzione reale La tabella sopra è stata costruita guardando il comportamento del grafico delle successioni. Alcune deduzioni sono ovvie, per esempio, è ovvio che la successione a n = n 2 non è itata superiormente. Altre, invece, richiedono più attenzione e devono essere dimostrate in modo rigoroso. Mostriamo, per esempio, che la successione c n = n è itata inferiormente da 1, cioè che per ogni n il numero c n = n è maggiore di 1. Si n 1 n 1 ha c n = n n 1 > n n = 1. Qui abbiamo utilizzato la proprietà che aumentando il denominatore di una frazione questa diminuisce. In alcuni casi le successioni, man mano che n cresce, tendono ad un valore preciso. La successione c n = n, per n molto grande, fornisce un valore n 1 sempre più vicino ad 1, per esempio per n = 100 si ha c 100 = Quando una successione a n tende ad un numero l, per valori di n infinitamente grandi, si dice che la successione converge ad l e si scrive a n = l. n A volte indicheremo a n l per indicare che la successione converge ad l. Prima di dare la definizione formale di successione convergente introduciamo la seguente notazione. Diciamo che una successione a n possiede definitivamente una certa proprietà se esiste un numero N tale che la proprietà risulta verificata per ogni n > N. Per esempio, la successione a n = n 6 è definitivamente positiva, infatti per n > 6, a n > 0. Definizione Una successione a n si dice convergente se esiste un numero l tale che: qualunque sia ǫ > 0 risulta definitivamente a n l < ǫ. (1.1) Il numero l si chiama ite della successione a n. Si noti che la disuguaglianza (1.1) corrisponde alle seguenti due l ǫ < a n < l+ǫ. (1.2) Se tracciamo una striscia orizzontale deitata dalle rette = l ǫ e = l + ǫ la (1.2) significa che i punti della successione a n, da un certo punto in poi, non escono dalla striscia.

17 1.5 Limiti di una successione 17 a n l+ǫ l l ǫ n Figura 1.3: Significato geometrico della definizione di ite. Nell esempio in Figura 1.3 i punti della successione non escono dalla striscia per n N = 5. Se diminuiamo il valore di ǫ il numero N cresce, come mostra la Figura 1.4 nella quale i punti sono tutti all interno della striscia per n 8. Esempio Mostriamo, utilizzando la definizione, che la successione a n = 1 converge a zero. Fissato ǫ > 0 dobbiamo trovare N tale che per n ogni n > N si ha 0 ǫ < 1 n < 0+ǫ. La prima disuguaglianza, ǫ < 1, è sempre soddisfata, mentre la seconda n 1 n < ǫ è soddisfata per n > 1, quindi si sceglierà N > 1. Se, per esempio, ǫ ǫ ǫ = 0.01 si ha N = 1 = 100. ǫ Successioni divergenti e successioni irregolari Le successioni che non convergono, cioè tali che non esiste un numero finito a cui la successione tende per n infinitamente grande, sono di due tipi. Definizione Una successione a n si dice che diverge a + ( ) se per ogni M > 0 si ha che definitivamente a n > M (a n < M).

18 18 Studio del grafico di una funzione reale a n l n Figura 1.4: Significato geometrico della definizione di ite. Diremo nei due casi, rispettivamente, che + e sono il ite della successione. Esempio La successione n 2 diverge a +. Infatti per ogni M > 0, scelto N > M, si ha che n 2 > M per ogni n > N. Esistono successioni che non sono convergenti né divergenti. Queste successioni si chiamano irregolari. Esempio Lasuccessione( 1) n essendoitatanonpotràdivergere ma non è convergente, infatti al crescere di n saltella tra i valori 1 e 1. Allo stesso modo la successione ( 2) n non è convergente in quanto non è itata ma non diverge a + o poiché per ogni dato M > 0 assume valori sia maggiori di M che minori di M. Per le successioni viste nel paragrafo precedente si ha: a n convergenza a n = n 2 diverge a + b n = ( 1) n irregolare c n = n converge a 1 n 1 d n = ( 2) n irregolare

19 1.5 Limiti di una successione Calcolo dei iti Prima di illustrare le regole di calcolo dei iti di una successione consideriamo due casi notevoli. Esempio 1.16 (La successione potenza). Calcoliamo il ite della successione a n = n α con α R costante. Suddividiamo lo studio a seconda del valore di α. (α > 0) In questo caso la successione diverge a +. Infatti per ogni M > 0, scegliendo N > M 1 α, si ha n α > M per ogni n > N. (α < 0) Ponendo α = β, β > 0, si ha n α = n β = 1 n β. Dal punto precedente sappiamo che n β assume valori infinitamente grandi e trovandosi al denominatore fa si che 1 assuma valori n β sempre più piccoli. Segue che la successione converge a 0. (α = 0) La successione diventa a n = n 0 = 1. Valendo per ogni n la successione converge ad 1. Riassumendo: n nα = + se α > 0 0 se α < 0 1 se α = 0 Esempio 1.17 (La successione geometrica). Calcoliamo il ite della successione a n = q n con q R costante. Suddividiamo lo studio a seconda del valore di q. (q > 1) In questo caso la successione diverge a +. Infatti per ogni M > 0, scegliendo N > log q M, si ha q n > M per ogni n > N. (q = 1) La successione diventa a n = 1 n = 1, quindi converge ad 1. ( q < 1) La successione converge a 0. Supponiamo per primo che 0 < q < 1 e poniamo q = 1 con p > 1. La successione diventa p ( ) n 1 q n = = 1 p p n.

20 20 Studio del grafico di una funzione reale Per il primo caso si ha che p n assume valori infinitamente grandi e trovandosi al denominatore fa si che 1 assuma valori sempre più p n piccoli. Allo stesso modo si argomenta nel caso 1 < q < 0. (q 1) In questo caso la successione è irregolare come già mostrato negli esempi del paragrafo precedente. Riassumendo: n qn = + se q > 1 1 se q = 1 0 se q < 1 se q 1 Esaminiamo ora le proprietà dell operazione di ite rispetto alle operazioni algebriche. Se a n a e b n b allora a n +b n a n b n a+b a b a n b n ab a n b n a b (b n,b 0) (a n ) bn a b (a n,a > 0) Inoltre l operazione di ite mantiene l ordinamento cioè: se a n a, b n b e a n b n allora a b. Consideriamo il caso in cui i iti sono + o. Supponiamo per esempio che a n a e b n +. Allora è facile vedere che a n +b n +. Abbrevieremo questa scrittura così: a+ = +. Ragionando in maniera analoga si ottengono le regole per il ite della somma (o differenza) di due successioni delle quali una o entrambe sono divergenti. a+ = + a = + + = + =

21 1.5 Limiti di una successione 21 Analogamente per il prodotto (o il rapporto) abbiamo le regole seguenti (il segno di va determinato con la usuale regola dei segni) a = (a 0) a = 0 a 0 = (a 0) A questo elenco mancano le regole relative a quattro operazioni: +, 0, 0 0,. Queste espressioni si chiamano forme indeterminate o di indecisione, poiché nessuna regola può essere stabilita a priori per determinare il risultato. Nel prossimo paragrafo mostreremo come risolvere alcune delle forme di indecisione più frequenti Confronti Una successione che converge a 0 si dice infinitesimo; una successione che diverge (a +, o a ) si dice infinito. Quando due successioni sono entrambe infinitesimi o infiniti, è utile stabilire un confronto tra di esse, per capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all infinito. Consideriamo i seguenti esempi di infiniti: a n = log 2 n, b n = n, c n = 2 n. Guardano il grafico delle tre successioni ci si accorge immediatamente che a n cresce meno velocemente di b n che a sua volta cresce meno velocemente di c n. Per capire cosa vuol dire cresce meno velocemente calcoliamo il ite n n log 2 n =

22 22 Studio del grafico di una funzione reale Se il numeratore cresce più velocemente del denominatore vuol dire che, n man mano che cresce n, il rapporto diventa sempre più grande log 2 n tendendo all infinito. Viceversa, se calcoliamo il ite n n 2 n = qui il denominatore cresce molto più velocemente del numeratore e fa si che il rapporto n diventi sempre più piccolo convergendo a zero. 2 n Consideriamo adesso il n+1 = n n. In questo caso una semplice operazione algebrica fa si che n+1 n = n n n n + 1 n = 1+ 1 = 1+0 = 1 Riassumendo, per il rapporto tra due infiniti a n e b n si presentano quattro possibilità Diciamo che in a n = n b n 0 (a) l 0, finito (b) ± (c) (d) (a) a n è un infinito di ordine inferiore a b n ; (b) a n e b n sono infiniti dello stesso ordine; (c) a n è un infinito di ordine superiore a b n ; (d) a n e b n non sono confrontabili. Il caso (d) occorre, per esempio, se a n = n(2 + sinn) e b n = n; essendo (2 + sinn) una quantità itata (compresa tra 1 e 3) la successione a n diverge a +, mentre il rapporto a n = n(2+sinn) b n n = (2+sinn) oscilla tra 1 e 3 comportandosi in modo irregolare.

23 1.5 Limiti di una successione 23 In modo analogo se due successioni a n e b n convergono a 0 e b n 0, per il ite del rapporto an b n si presenta una delle quattro situazioni viste sopra e diremmo che in: (a) a n è un infitesimo di ordine superiore a b n ; (b) a n e b n sono infinitesimi dello stesso ordine; (c) a n è un infinitesimo di ordine inferiore a b n ; (d) a n e b n non sono confrontabili. Esempio Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola per calcolare l ordine di infinito. Siano e P(n) = p r n r +p r 1 n r 1 + +p 1 n+p 0 Q(n) = q s n s +q s 1 n s 1 + +q 1 n+q 0 due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha P(n) n Q(n) = ± se r > s 0 se r < s se r = s dove il segno di ± è quello del rapporto pr q s. Quindi l ordine di infinito dei polinomi corrisponde al grado dei polinomi. Per gli altri infiniti esiste la seguente scala delle velocità: Esempio p r q s logaritmi polinomi esponenziali 2 n + = n n10 + = + Infatti, l esponenziale è un infinito di ordine superiore al polinomio. 2. ln(n 10 +2) n n 2 +n 1 = + + = 0 Poiché, il logaritmo è un infinito di ordine inferiore al polinomio.

24 24 Studio del grafico di una funzione reale 3. ln(n 10 +2) = + = + n 0.1 n 0 In questo caso non si tratta di una forma di indecisione, infatti se il denominatore converge a 0 e il nominatore tende a +, entrambi contribuiscono a far divergere il rapporto La differenza di due infiniti Nel paragrafo precedente abbiamo visto come risolvere alcuni casi in cui si presenta la forma di indecisione. Vediamo ora come risolvere l indecisione +. Nel caso dei polinomi la situazione è semplice: il monomio di grado maggiore controlla il comportamento del polinomio. Per esempio il polinomio n 3 5n 2 +2 diverge a + in quanto il monomio di grado maggiore, n 3, diverge a +. Il polinomio n 3 n 2 + 4n 6n 4 diverge invece a, essendo il monomio di grado massimo 6n 4. Quando si considera la differenza a n b n tra due infiniti diversi dai polinomi si può procedere mettendo in evidenza quello di ordine maggiore. Per esempio, calcoliamo Mettendo in evidenza 2 n si ha n 2n n 3 = +. n 2n n 3 = 2 n (1 n3 n 2n) = + (1 0) = +. Senonèchiaro quale dei dueinfiniti abbiaordinemaggiore, si puòmettere in evidenza uno dei due a caso. Ad esempio, per calcolare log 2n log 4 n n mettiamo in evidenza log 4 n. Si ottiene log 2n log 4 n = log 4 n( log 2n 1) = n n log 4 n log 4n( 2log 4n n log 4 n 1) = + (2 1) = +

25 1.6 Esercizi sui iti delle successioni 25 dove abbiamo utilizzato log 2 n = log 4n log 4 2 = 2log 4n. Osservazione Si noti che la successione log 2 n non è un infinito di ordine superiore a log 4 n come si potrebbe pensare dal risultato del ite della loro differenza. Infatti si ha log 2 n n log 4 n = 2log 4 n n log 4 n = 2 il che implica che log 2 n e log 4 n sono infiniti dello stesso ordine. 1.6 Esercizi sui iti delle successioni 1. Rappresentare il grafico, per n = 1,2,3,4,5, delle seguenti successioni: a n = 2n n+3 ; a n = (1/4)n ; a 4 n n = log 2(n) ; n 2. Calcolare il ite, per n che tende all infinito, delle seguenti successioni: a n = n2 n 3 ; a n = n2 n 3 n n n ; a 3 n = n1/2 n ; a n = 3n n ; a n = (1/4)n (4/7) n; a n = ln(n) n ; a n = 2003 n ; a n = (1203)n (0.0003) n; a n = 3n 2 n; a n = (0.0003)n (0.003) 2n; a n = log(n2 n) ; a n = n log(n 10 ) log(n)+log(n 9 ) ; a n = log 3 (n 2 ) n; a n = log 3 (n 2 ) log 2 (n 3 );

26 26 Studio del grafico di una funzione reale a n = en logn 3e n +n ; a 5 n = 5n+n2 logn ; n4 +1 a n = 6e n +n 3e n + n 2 +1 ; a n = 3 2+n 6 n4 +1 ; n 2 a n = sin( 1 n ); a n = cos( 1 n 4); a n = n 4 (ln(n)) 4 ; a n = (0.9) n +(0.3) n (1.2) n ;

27 1.7 Comportamento agli estremi caso A 2 27 Torniamo adesso allo studio di una funzione reale. 1.7 Comportamento agli estremi caso A 2 Anche in questo caso vediamo prima degli esempi. Esempio Sia data la funzione = 1 Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E = (, 0) (0, + ). Gli estremi dell insieme di esistenza sono: 0,, +. Nella sezione precedente abbiamo studiato il comportamento della funzione vicino a zero. Andiamo adesso ad occuparci del comportamento della funzione quando tende a ±. Per tale operazione dobbiamo ancora una volta svolgere un ite, è cioè dobbiamo calcolare 1 + e 1 Per calcolare questi iti si procede nel modo seguente: nel primo caso, cioè quando tende a +, si pone = n e si calcola 1 + = 1 n n questo è il ite di una successione cha sappiamo valere 1 + = 1 n n = 1 = 0 Per calcolare il ite per che tende a si pone = n. In tal modo quando n tende a + la tende a e si ha 1 = 1 n n = 1 = 0 Ma qual èil significato geometrico diquesti iti. Difatto + 1 = 0 ci dice che man mano che valutiamo la funzione per valori della sempre più grandi la funzione e quindi la quota del grafico tende a valori prossimi allo zero. Si dice allora che il grafico presenta un asintoto orizzontale di equazione = 0. Lo stesso vale quando si tende a. La visualizzazione grafica diventa:

28 28 Studio del grafico di una funzione reale? Asintoto orizzontale = 0? Non si può decidere a priori se il grafico tende all asintoto da sopra o da sotto. In ogni caso vedremo più avanti che tale ambiguità si risolverà in modo naturale. Esempio Sia data la funzione = 2 talefunzioneesiste pertutti ivalori realicioè E = (,+ ). Gliestremi dell insieme di esistenza sono:, +. Calcoliamo quindi il ite per che tende a + e. Si ha e + 2 = n 2 = + n 2 = ( n) 2 = + n In questo caso la funzione non presenta asintoti orizzontali in quanto il suo grafico non tende ad una quota finita ma cresce sempre. Il grafico è infatti:

29 1.7 Comportamento agli estremi caso A 2 29 Cerchiamo di capire meglio cosa succede quando una funzione ha un ite infinito per che tende a + o. Si presentano tre situazioni diverse che adesso elenchiamo. Supponiamo che f() = allora si presentano i seguenti tre casi (i) la funzione cresce più velocemente di una retta; (ii) la funzione cresce come una retta; (iii) la funzione cresce più lentamente di una retta. Dal punto di vista analitico per capire se la nostra funzione si trova in uno dei tre casi elencati sopra basta confrontare la velocità con cui la funzione tende all infinito con la velocità con cui una retta tende all infinito. Cioè si esegue il ite f() Si hanno quindi le seguenti possibilità: se f() = allora siamo nel caso(i) m 0 allora siamo nel caso(ii) 0 allora siamo nel caso(iii) La rappresentazione grafica dei tre casi è illustrata nella figura seguente

30 30 Studio del grafico di una funzione reale (i) (ii) (iii) Il caso (ii) merita alcune considerazioni. Dalla figura sembra che se f() = m 0 allora il grafico della funzione tende asintoticamente ad una retta obliqua, cioè la funzione presenta un asintoto obliquo. Per affermare con certezza che questo sia vero bisogna verificare se sia possibile ricavare l equazione dell eventuale asintoto obliquo. Per far questo denotiamo con = m + q l equazione dell eventuale asintoto obliquio. Allora diremo che esiste l asintoto obliquo se: f() Vediamo alcuni esempi. = m 0, e se q = [f() m] esiste ed è finito Esempio Si consideri la funzione = 2 +1 Tale funzione esiste per tutti i valori reali diversi da zero, cioè E = (,0) (0,+ ). Andiamo a verificare il comportamento a e +. Si ha, usando le regole delle velocità per i polinomi, mentre 2 +1 n 2 +1 = + n n 2 +1 ( n) 2 +1 = n n = + + = + = + =

31 1.7 Comportamento agli estremi caso A 2 31 Verifichiamo adesso con quale velocità la funzione cresce a +, si ha f() m = + = 2 +1 n 2 +1 = = n n 2 Siamo quindi nel caso (ii). Per decidere se esiste l asintoto obliquo dobbiamo calcolare q = [f() m] = = = 1 = 0 Segue che la retta = m+q = è un asintoto obliquo per la funzione quando tende a +. Con calcoli analoghi si ricava che la retta = è un asintoto obliquo anche per che tende a. Il grafico diventa?? Anche in questo caso non possiamo decidere a priori se il grafico tende all asintoto da sopra o da sotto ma sarà risolto nel seguito. Esempio Si consideri la funzione = +ln In questo caso l insieme di esistenza è E = (0,+ ). Andiamo a studiare il comportamento della funzione per che tende a +. Si ha +ln = + + = + +

32 32 Studio del grafico di una funzione reale Andiamo a verificare se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l eventuale m si trova +ln m = + = + + ln = 1+0 = 1 Sembrerebbe quindi che possa esistere l asintoto obliquo. Tuttavia il calcolo di q conduce a q = +ln = ln = quindi non esiste l asintoto obliquo in quanto il valore di q deve essere finito. Il grafico è il seguente Come si nota dalla figura il grafico, nonostante cresca in modo simile ad una retta, non tende ad una retta. Esempio Si consideri la funzione = In questo caso l insieme di esistenza è E = [0,+ ). Studiamo il comportamento della funzione per che tende a +. Si ha = + = + + Verifichiamo se esiste un asintoto obliquo. Calcolando l eventuale m si trova m = + = 1 = = 0

33 1.7 Comportamento agli estremi caso A 2 33 Siamo quindi nel caso in cui il grafico della funzione cresce più lentamente di una retta, come mostra la seguente figura Esempio Come ultimo esempio consideriamo la funzione = 2 1 L insieme di esistenza inquesto caso richiede Taledisequazione èverificata per valori esterni alle radici dell equazione associata 2 1 = 0. Segue che E = (, 1] [1,+ ). E R E R

34 34 Studio del grafico di una funzione reale Studiamo il comportamento a + e. Si trova = + e 2 1 = + Verifichiamo l esistenza di eventuali asintoti obliqui. Iniziamo a controllare per che tende a (1 1/ m = = 2 ) (1 1/ = 2 ) Adesso, siccome tende a + vuol dire che assume valori positivi e quindi, dalla definizione di valore assoluto, si trova (1 1/ m = 2 ) + (1 1/ = 2 ) = (1 1/2 ) = Calcoliamo l eventuale termine q dell equazione dell asintoto q = 2 1 = + + Per risolvere questa forma di indecisione moltiplichiamo e dividiamo per Utilizzando la formula della differenza di due quadrati si ottiene ( q = 2 1 = 2 1 )( 2 1+) = = = 1 + = 0 La retta = è quindi un asintoto obliquo per il grafico della funzione quando tende a +. Nel caso in cui tenda a si trova (1 1/ m = 2 ) (1 1/ = 2 ) = (1 1/ 2 ) = 1 mentre, con calcoli analoghi al caso + si trova che q vale ancora zero. Seguechelaretta = èunasintotoobliquoperilgraficodellafunzione per che tende a. Il grafico diventa quello mostrato in figura.

35 1.8 Derivata di una funzione Derivata di una funzione In questo paragrafo ci proponiamo di risolvere il seguente problema: Data una funzione f : E R R determinare il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in un punto di ascissa 0 E Si consideri un punto P 0 = ( 0,f( 0 )) sul grafico della funzione = f() di ascissa 0 e la retta tangente r 0 al grafico come mostrato nella figura seguente.

36 36 Studio del grafico di una funzione reale r 0 f( 0 +h) f( 0 ) r h = f() 0 0 +h Fissato un valore h si consideri il punto P h = ( 0 +h,f( 0 +h)) sul grafico della funzione di ascissa 0 +h. Il coefficiente angolare m h della retta r h passante per P 0 e P h è dato dall usuale formula m h = f( 0 +h) f( 0 ) = f( 0 +h) f( 0 ) 0 +h 0 h Se adesso diminuiamo il valore di h un attenta osservazione del grafico sopra mostra che la retta r h tende a sovrapporsi alla retta r 0. Di conseguenza per valori di h che tendono al valore zero il coefficiente angolare m h tende al coefficiente angolare m 0 della retta tangente r 0. Segue che m 0 = h 0 m h = h 0 f( 0 +h) f( 0 ) h Dobbiamo subito notare che il ite sopra potrebbe non esistere o essere infinito. Tratteremo queste possibilità in seguito. Per ora diamo la seguente definizione. Definizione Data una funzione f : E R R ed un punto 0 E si dice che f è derivabile in 0 se f( 0 +h) f( 0 ) h 0 h esiste ed è finito. Il valore del ite, cioè il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa 0, si chiama valore della derivata della funzione nel punto 0 e si scrive f ( 0 ) = m 0 = h 0 f( 0 +h) f( 0 ) h

37 1.8 Derivata di una funzione 37 Quindi la derivata di una funzione f : E R R è una nuova funzione f : E : R il cui valore in un punto 0 E, se 0 E, fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa 0. Diamo adesso le regole per determinare la derivata di una funzione. Tali regole dovrebbero essere dimostrate utilizzando la definizione. Noi le prenderemo per buone. La tabella delle derivate delle funzioni elementari è la seguente: Funzione Derivata Funzione Derivata a a lna n n n 1 e e cf cf f +g f +g fg f g +fg log a ln 1 lna 1 f/g f g fg g 2 sin cos cos sin Alla tabella sopra bisogna aggiungere la derivazione della funzione composta. Se h = g f cioè se h() = g(f()), allora si ha che h () = g (f())f ().

38 38 Studio del grafico di una funzione reale Per esempio la regola della derivazione della funzione composta implica le seguenti regole: Funzione Derivata f() n nf() n 1 f () e f() e f() f () ln(f()) f () f() f() f () 2 f() sin(f()) cos(f())f () cos(f()) sin(f())f () Analizziamo, utilizzando le regole delle derivate, la derivata di alcune funzioni elementari. Si consideri la funzione f() = = 1/2. La sua derivata diventa f () = 1 2 1/2 1 = 1 2 L insieme di esistenza della funzione f è E = [0,+ ) mentre la derivata f non è definita in 0. Se operiamo il ite per che tende a zero della derivata, si ottiene () = 1 0 +f 2 = +. Essendo la derivata la funzione che per ogni valore della fornisce il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto

39 1.8 Derivata di una funzione 39 di ascissa, il ite visto sopra ci dice che il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f() = tende all infinito man mano che tende a zero. Ma il coefficiente angolare di una retta tende all infinito quando la retta si sta portando in una posizione verticale. Infatti il grafico della funzione f() = è dal quale è evidente che la retta tangente, per = 0, è la retta verticale di equazione = 0, cioè l asse delle ordinate. Generalizzando l esempio appena visto diamo la seguente definizione: Definizione Data una funzione f : E R R ed un punto 0 E si dice che f presenta una cuspide in 0 se f () = ± da destra o da sinistra 0 cioè se la retta tangente al grafico della funzione f nel punto 0 è verticale. Esiste anche il caso in cui avvicinandoci ad un valore 0 da destra e da sinistra la derivata assuma due valori finiti ma distinti. Per esempio, la funzione { se 0 f() = = se < 0 è definita in tutto R e la sua derivata diventa: { 1 se 0 f () = 1 se < 0

40 40 Studio del grafico di una funzione reale In questo caso se ci avviciniamo a zero da destra la derivata vale 1 mentre quando ci avviciniamo da sinistra vale 1. Infatti il grafico della funzione f() = è Generalizzando l esempio appena visto diamo la seguente definizione: Definizione Data una funzione f : E R R ed un punto 0 E si dice che f presenta un punto angoloso in 0 se f () = l +, con l + ed l entrambi finiti ma l + l. f () = l Altra possibilità alla quale bisogna stare attenti nel seguito è che la funzione derivata potrebbe esistere dove non esiste la funzione. A titolo di esempio, si consideri la funzione f() = ln. Questa è definita in E = (0,+ ) mentre la sua derivata f () = 1/ è definita in E = (,0) (0,+ ). 1.9 Massimi relativi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale Torniamo adesso allo studio del grafico di una funzione. Dopo lo studio del comportamento agli estremi ci rimane da considerare il comportamento della funzione nelle parti tra due estremi. La filosofia che ci guiderà per tale studio è la seguente. Consideriamo il seguente grafico di una ipotetica funzione = f().

41 1.9 Massimi, minimi e flessi Per ogni valore di < 1 la retta tangente al grafico nel punto di scissa 1 è crescente e di conseguenza il suo coefficiente angolare è positivo. Ma essendo il coefficiente angolare della retta tangente pari al valore della derivata della funzione in, si deve avere che per tutti i valori di < 1 la derivata della funzione è positiva. Arrivati al punto sul grafico di ascissa 1 la retta tangente risulta orizzontale e di conseguenza il suo coefficiente angolare (o il valore della derivata in 1 ) è pari a zero. Per valori della compresi tra 1 e 2 la retta tangente ha invece coefficiente angolare negativo e di conseguenza è negativo il valore della derivata per ogni con 1 < < 2. Arrivati ad 2 la retta tangente è di nuovo orizzontale e quindi la derivata in 2 vale zero. Infine per valori > 2 la derivata della funzione torna ad assumere valori positivi. Questa semplice analisi ci permette di concludere che: f () > 0 se e solo se la il grafico della funzione è crescente in (in questo caso si dice che la funzione è crescente) f () < 0 se e solo se la il grafico della funzione è decrescente in (in questo caso si dice che la funzione è decrescente) Inoltre il grafico dell esempio presenta due punti particolari: uno in corrispondenza di 1 e l altro in corrispondenza di 2. Nel primo caso la la funzione è crescente per valori minori di 1 ed è decrescente per valori maggiori di 1, siamo passati per un picco e si dice che la funzione presenta un massimo locale nel punto P 1 = ( 1,f( 1 )). Nel secondo caso la funzione è decrescente per valori minori di 2 ed è crescente per valori maggiori di 2, siamo passati per una valle e si dice che la funzione presenta un minimo locale nel punto P 2 = ( 2,f( 2 )).

42 42 Studio del grafico di una funzione reale I punti di massimo e minimo locale sono gli ingredienti chiave per completare lo studio di funzione. Un osservazione ovvia è che nei punti di massimo e minimo locale la derivata della funzione assume valore zero (la retta tangente al grafico è orizzontale in quei punti). Ci si può chiedere se in tutti i punti in cui la derivata prima è orizzontale si presenti un massimo o un minimo locale. La risposta è negativa. Di fatto si hanno quattro possibilità. Sia f : E R una funzione e sia 0 E. Supponiamo che f ( 0 ) = 0, allora si hanno le seguenti possibilità: f () > 0 per < 0 e f () < 0 per > 0. In questo caso la funzione presenta un massimo locale in 0. f () < 0 per < 0 e f () > 0 per > 0. In questo caso la funzione presenta un minimo locale in 0. f () < 0 per < 0 e f () < 0 per > 0. In questo caso la funzione presenta un flesso decrescente a tangente orizzontale in 0. f () > 0 per < 0 e f () > 0 per > 0. In questo caso la funzione presenta un flesso crescente a tangente orizzontale in 0. Le quattro possibilità si possono osservare nella figura sotto dove: in corrispondenza di 1 c è un flesso crescente; in corrispondenza di 2 c è un massimo locale; in corrispondenza di 3 c è un flesso decrescente; in corrispondenza di 4 c è un minimo locale. F M F m

43 1.9 Massimi, minimi e flessi 43 Per la ricerca dei punti di massimo o minimo locale e degli eventuali flessi di una funzione f : E R si può procedere nel modo seguente Passo 1 Si calcola la derivata f (). Passo 2 Si determinano le soluzione, appartenenti all insieme di esistenza E dell equazione f () = 0. Chiamiamo con 1,..., k tali soluzioni. I punti 1,..., k sono detti punti stazionari o critici. Passo 3 Se non esistono punti stazionari vuol dire che non esistono massimi, minimi o flessi e si conclude. Passo 4 Per ciascun punto stazionario si verifica la natura studiando il segno della derivata. Siamo adesso in grado di studiare il grafico di una funzione. Vediamo alcuni esempi guida: Esempio Data la funzione = 2 ln per rappresentare il suo grafico i passi sono i seguenti 1 determinare l insieme di esistenza; 2 determinare il comportamento agli estremi; 3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi; 4 disegnare il grafico. L insieme di esistenza è E = { R; > 0} = (0,+ ). Calcoliamo il comportamento della funzione quando tende a zero da destra: ln = 0 ( ) = Quindi la retta = 0 è un asintoto verticale. Calcoliamo il comportamento a + : + 2 ln = +

44 44 Studio del grafico di una funzione reale Questa è una forma di indecisione. Per risolverla mettiamo in evidenza 2. Si ha + 2 ln = + 2 (1 ln ) = + (1 0) = + 2 Inoltre, essendo 2 ln + ln = + = + 0 = + non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di una retta. La derivata prima è: = 2 1 = Segue che i punti stazionari sono le soluzioni, appartenenti all insieme di esistenza, dell equazione le cui soluzioni sono = ± 2/2. La soluzione = 2/2 non appartiene all insieme di esistenza. Quindi l unico punto stazionario è = 2/2. Essendo la funzione definita solo per > 0, segue che la derivata prima è positiva quando > 0, cioè quando > 2/2: = 0 2/2 Quindi la funzione presenta un minimo nel punto m = ( 2/2,1/2 ln( 2/2)). Prima di disegnare il grafico osserviamo che l ordinata del minimoèf( 2/2) = 1/2 ln( 2/2) = 1/2 1/2ln(1/2) = 1/2(1 ln(1/2)) > 0.

45 1.9 Massimi, minimi e flessi 45 m 2 2 Esempio Sia data la funzione = L insieme di esistenza è E = (, 1) ( 1,+ ). I iti sono stati calcolati nell Esempio 1.2 e sono Il comportamento a + è =, = = + In questo caso 2 2 m = + + = 1 2 quindi potrebbe esistere l asintoto obliquo. Calcoliamo l eventuale q q = = = 1

46 46 Studio del grafico di una funzione reale Quindi la retta = 1 è un asintoto obliquo per il ramo del grafico a +. Calcoli analoghi mostrano che la stessa retta è un asintoto obliquo anche per il ramo a. La derivata della funzione è = (+1) 2 Gli eventuali punti stazionari sono le soluzioni dell equazione (+1) 2 = 0 la quale non ammette soluzioni reali e quindi non esistono massimi, minimi o flessi. Il grafico diventa Asintoto obliquo = 1 1

47 1.10 Applicazioni della derivata Applicazioni della derivata Retta tangente ad un grafico Naturalmente la derivata di una funzione permette di calcolare l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. Sia f : E R una funzione e sia 0 E. Allora una qualsiasi retta passante per P 0 = ( 0,f( 0 )) appartiene al fascio proprio f( 0 ) = m( 0 ) Se chiediamo che la retta del fascio sia tangente al grafico basta imporre che il coefficiente angolare sia la derivata della funzione calcolata nel punto 0 : m = f ( 0 ). Quindi la retta tangente al grafico di una funzione nel punto di ascissa 0 è f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). Esempio Date le funzioni = e e = e calcoliamo le rette tangenti ai due grafici nel loro punto di intersezione. Il grafico di e è noto. Quello di e si può facilmente dedurre osservando che e = ( ) 1 e quindi è la funzione elementare esponenziale con base minore di uno. Il punto di intersezione si ottiene risolvendo il sistema { = e = e la cui soluzione è = 0, conseguentemente il punto di intersezione ha coordinate P 0 = (0,1). La retta r tangente al grafico della funzione e nel punto P 0 ha coefficiente angolare m pari alla derivata di e calcolata nell ascissa di P 0 : m = e 0 = 1.

48 48 Studio del grafico di una funzione reale Quindi la retta r ha equazione 1 = 1( 0). Per la retta r, tangente al grafico della funzione = e, si ha = e da cui m = e 0 = 1. Segue che le equazioni delle rette tangenti sono r : = +1 r : = +1 Il grafico delle due funzioni assieme alle rette tangenti è mostrato nella figura seguente. Si osservi che r ed r sono perpendicolari. = e = e = +1 = La regola di De L Hôpital Siano = f() e = g() due funzioni. Supponiamo che per che tende ad un certo valore 0 (possibilmente infinito) si abbia f() = ± e g() = ± 0 0 Allora si ha (Regola di De L Hôpital): f() 0 g() = f () 0 g () Cioè quando si esegue un ite della forma / si possono sostituire numeratore e denominatore con le rispettive derivate.

49 1.10 Applicazioni della derivata 49 La regola di De L Hôpital vale anche nel caso in cui le due funzioni f e g tendano entrambe a 0 quando tende a 0. Più precisamente: supponiamo che per che tende ad un certo valore 0 (possibilmente infinito) si abbia f() = 0 e g() = Allora si ha (Regola di De L Hôpital): f() 0 g() = f () 0 g () Tale regola rende moltissimi iti un puro calcolo meccanico. Vediamo alcuni esempi. Utilizzando le regole delle velocità già sappiamo che ln + = 0 Risolviamo adesso il ite utilizzando la Regola di De L Hôpital, si ha 1 ln + = + 1 = 1 + = 0. La regola diventa sorprendente per risolvere iti dove non si possono usare le regole delle velocità. Per esempio, quanto vale 0 e 1 = 0 0? Utilizzando la Regola di De L Hôpital si ha 0 e 1 = 1 1 e = 1 1 = 1 Mostriamo adesso come risolvere con la regola di De L Hôpital la forma indeterminata 0. Supponiamo che per che tende ad un certo valore 0 (possibilmente infinito) si abbia f() = 0 e g() = 0 0 In questa situazione non si può determinare a priori il valore del ite f()g() = 0 0

50 50 Studio del grafico di una funzione reale Per risolvere il ite si sfrutta la proprietà algebrica da cui il g() = 1 1 g() f()g() = 0 f() 0 1 g() = 0 1 = 0 0 diventa del tipo 0/0 che può essere risolto applicando la regola di De L Hôpital. Per esempio, si consideri la funzione = e. Sa calcoliamo il ite a si ha e = 0. Scrivendo si ottiene e = e = 1 1 e = 1 e De L Hôpital e = 1 e = 1 = Esempi di studio di funzione Esempio Data la funzione = 2 ln D1 determinare l insieme di esistenza; D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi; D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi; D4 disegnare il grafico. D Soluzione D1 E = { R; > 0}

51 1.11 Esempi di studio di funzione 51 D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando tende a zero da destra: 0 +2 ln = 0( ) Portando al denominatore il reciproco del primo fattore ed applicando la regola di De L Hospital si ha ln = 0 +2 ln = 0 + Calcoliamo il comportamento a + : Inoltre, essendo = ln = (+ )(+ ) = + 2 ln + = ln = + + = 0. non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di una retta. D3 La derivata prima è: = 2ln+ 21 = (2ln+1). Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell equazione (2ln+1) = 0 cioè = 0 e = e 1/2 = 1 e. Il punto = 0 non appartiene all insieme di esistenza, quindi non va considerato. Essendo la funzione definita solo per > 0, segueche laderivataprima èpositiva quando (2ln+1) > 0, cioè quando > e 1/2 : e 1/2

52 52 Studio del grafico di una funzione reale Quindi la funzione presenta un minimo nel punto m = ( 1 e, 1 2e ). D4 disegnare il grafico. 1 e 1 2e m Esempio Data la funzione = ln D1 determinare l insieme di esistenza; D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi; D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale; D4 disegnare il grafico. D Soluzione D1 E = { R; > 0} D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando tende a zero da destra: 0 +ln = 0

53 1.11 Esempi di studio di funzione 53 Calcoliamo il comportamento a + : ln = (ln 1) = Inoltre, essendo ln = + + non esistono asintoti obliqui e la funzione cresce più velocemente di una retta. D3 La derivata prima è: = ln. Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell equazione ln = 0 cioè = 1. Per valutare il comportamento nei punti stazionari osserviamo la funzione ln è positiva per valori maggiori di 1 1 segue che in = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordinate m = (1, 1). D4 disegnare il grafico. 1 1

54 54 Studio del grafico di una funzione reale Esempio Data la funzione = e D1 determinare l insieme di esistenza; D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi; D3 calcolare i massimi, i minimi e gli eventuali flessi a tangente orizzontale; D4 disegnare il grafico. D Soluzione D1 E = R D2 Calcoliamo il comportamento della funzione quando tende ± : Inoltre, essendo + e = + e + = + e = + non esistono asintoti obliqui per che tende a + e la funzione cresce più velocemente di una retta. Mentre e = + 0 è una forma di indecisione. Per risolverla scriviamo e = 1/e da cui si ottiene, applicando la regola di De L Hôpital, e = De L Hôpital e = Quindi la retta = 0 è un asintoto orizzontale. 1 e = 1 = 0

55 1.11 Esempi di studio di funzione 55 D3 La derivata prima è: = e +e = e (+1). Segue che i punti stazionari sono soluzioni dell equazione e (+1) = 0. Siccome e > 0 segue che l unico punto stazionario è = 1. Inoltre, essendo e > 0laderivataprima èpositivaquando +1 > 0: 1 Quindi in = 1 la funzione presenta un minimo locale di coordinate m = ( 1, 1/e). D4 disegnare il grafico. 1 1/e Esempio Data la funzione = e D1 determinare l insieme di esistenza; D2 determinare gli eventuali asintoti ed il comportamento agli estremi;