Quesito 1 Si desidera determinare il numero di operatori al servizio di un centralino privato per telefonia. Le specifiche di questa determinazione

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1 Quesito 1 Si desidera determinare il numero di operatori al servizio di un centralino privato per telefonia. Le specifiche di questa determinazione sono: 1) nel 50 % dei casi nell ora di punta le chiamate devono accodarsi; 2) il numero medio di chiamate entranti nell ora di punta sia uguale a 500; 3) ciascun operatore impieghi un tempo medio di 36 s per effettuare la connessione che gli viene richiesta. Discutere anche il modello utilizzato per rispondere al quesito.

2 Quesito 2 Un canale di uscita da un nodo operante a pacchetto ha capacità incognita C. Si ipotizza che: 1) a questo canale venga inoltrata una frazione media del flusso di ingresso al nodo; 2) tale flusso sia poissoniano di frequenza media ; 3) la lunghezza dei pacchetti sia distribuita con legge esponenziale negativa e con media L. Si dimensioni la capacità C in modo tale che il percentile 95-esimo del tempo di attesa nel buffer di uscita sia uguale a 84.2 ms. Per questa determinazione si assuma =500 pacc/s; =0.1; L=100 byte. È richiesta una discussione del modello utilizzato per rispondere al quesito.

3 Quesito 3. Una rete a commutazione di pacchetto è costituita da 4 nodi. Al primo nodo è offerto un traffico con frequenza media 1 =10 pacch/s. Il traffico uscente dal nodo 1 viene indirizzato con probabilità r al nodo 2 e con probabilità (1-r) al nodo 3. Il traffico uscente da entrambi i nodi 2 e 3 viene indirizzato al nodo 4. Al nodo 3 è offerto anche un traffico con frequenza media 3 =4 pacch/s. Si assume che siano verificate tutte le ipotesi necessarie per analizzare il sistema di cui sopra mediante il teorema di Jackson. Si assume che i 4 nodi possano servire mediamente i pacch/s (i=1,2,3,4) con 1=20, 2=8, 3=12 e 4=20 pacch/s. Si chiede di: 1) determinare i valori di r tali che il processo di rete sia ergodico; 2) determinare il valore di r tale che il tempo mediamente impiegato per trasferire un pacchetto dal nodo 1 al nodo 4 non cambi sia che esso passi attraverso il nodo 2, sia che esso passi attraverso il nodo 3.

4 Quesito 4 Si consideri un autocommutatore telefonico operante ad attesa. Si assume che: 1) a un fascio di giunzioni all uscita dell autocommutatore sia offerto un traffico poissoniano entrante con intensità media di 25 Erl; 2) tale fascio sia composto da 30 giunzioni; 3) la durata di una conversazione telefonica sia distribuita con legge esponenziale negativa e con valore medio di 3 min. Si determini la percentuale di chiamate entranti che sono costrette ad attendere in coda. È richiesta una discussione del modello utilizzato per rispondere al quesito.

5 Quesito 5 Da una centrale telefonica si diramano lungo una data direttrice di traffico un insieme di fasci PCM primari. Nell introdurre la segnalazione su canale comune con modalità associata, si dedica un unico circuito a 64 kbit/s al supporto del Canale di Segnalazione (CdS) per la direttrice considerata, mentre tutti i rimanenti circuiti della direttrice (compresi quelli originariamente utilizzati per il supporto della segnalazione PCM) vengono dedicati allo smaltimento del traffico telefonico. Si supponga che il coefficiente di utilizzazione medio del CdS non possa superare 0.5, che ogni circuito telefonico offra al CdS un carico medio pari a Erl e che il CdS sia gestito con un criterio di assegnazione a banda media. Quanto vale il numero massimo di fasci PCM che possono comporre la direttrice? Discutere e valutare il beneficio dovuto all introduzione della segnalazione a canale comune in termini di traffico telefonico smaltito dalla direttrice considerata. N.B. Si consideri lo standard Europeo, secondo il quale i circuiti telefonici per ogni fascio PCM sono 31.

6 Quesito 6 Due terminali per dati accedono ad una rete di telecomunicazioni per mezzo di una linea condivisa. Si assume che: - i due terminali abbiano sempre informazione da trasmettere ma solo uno per volta possa farlo; - il terminale B passi dallo stato di inattività a quello di trasmissione con frequenza media B ; - quando il terminale B si trova nello stato di trasmissione, un opportuno meccanismo protocollare lo forzi a tornare nello stato di inattività con frequenza media (consentendo così all altro di trasmettere); - indipendentemente da quale dei due terminali sia attivo, allo scopo di gestire i conflitti di accesso alla linea dei terminali, la linea possa entrare in uno stato in cui nessuna informazione utile è trasmessa; si entra in tale stato con frequenza media E, e se ne esce con frequenza media globale uguale a E ; - i tempi di permanenza in tutti gli stati sopra descritti abbiano distribuzione esponenziale negativa. Si chiede: a) determinare la portata media normalizzata del terminale A ed il suo tempo medio di attività; b) la relazione che deve intercorrere tra B e affinché ai due terminali sia garantita un uguale possibilità di accesso alla linea.

7 Quesito 7 Si consideri una multiplazione con asse dei tempi suddiviso in Intervalli Temporali (IT) e trame. Assumendo che il massimo ritardo di riempimento sia 2 ms e che il minimo ritmo binario naturale di sorgente sia 64 kbit/s, determinare la massima dimensione possibile del carico utile (payload) dell IT. Assumendo che il sub-canale di base (1 payload/trama) abbia capacità pari a 512 kbit/s e che il canale multiplato abbia capacità pari a Mbit/s, che per ogni IT vi siano 32 bit di extra-informazione e che 128 ulteriori bit di extra-informazione siano previsti per ogni trama, si determini il numero di IT per trama e l efficienza della trama stessa ( =bit utili per trama/bit totali per trama).

8 Quesito 8 Per fronteggiare i guasti di un insieme di N=4 centrali sono disponibili m=2 squadre di riparatori. I guasti avvengono indipendentemente nelle diverse centrali; in ognuna di esse, i guasti si verificano con legge esponenziale negativa di frequenza media. I tempi di ripristino sono indipendenti tra loro e hanno distribuzione esponenziale negativa con valor medio uguale a 1/µ. Si chiede di: 1) identificare un modello del fenomeno di guasto e ripristino delle centrali; 2) discutere come si modifica il modello di cui in 1), se una delle centrali è usata come riserva fredda e diventa attiva non appena una qualunque delle altre tre si guasta. 3) In entrambi i casi precedenti si determini la probabilità stazionaria che il servizio sia totalmente operativo.

9 Quesito 9 Si consideri un multiplatore il cui canale di uscita abbia capacità di trasferimento uguale a 150 Mbit/s, cui siano offerti tentativi di chiamata da parte di tributari con ritmo binario di picco uguale a 10 Mbit/s e grado di intermittenza 5. Si vogliono confrontare due soluzioni: a) multiplazione statica; b) multiplazione dinamica con asse dei tempi indiviso. Nel caso a) si utilizza un criterio di preassegnazione della capacità a banda di picco. Nel caso b) il criterio di pre-assegnazione della capacità è a banda media, con il vincolo che la portata media normalizzata del canale multiplato non superi 0.7. Si facciano inoltre le seguenti ipotesi: 1) il trattamento dei tentativi di chiamata sia in ogni caso a perdita; 2) l arrivo dei tentativi di chiamata sia poissoniano con frequenza media di 80 ch/min; 3) la durata media delle chiamate sia di 30 s. Calcolare la probabilità di rifiuto che si ottiene nelle soluzioni a) e b).

10 Quesito 10 In un nodo a commutazione di pacchetto entra un flusso di pacchetti che è descrivibile mediante un processo di Poisson di frequenza media (pacc/s). Si indichi con il valor medio del tempo di elaborazione di un pacchetto; r i la frazione del flusso entrante nel nodo che è instradata verso l uscita i-esima; L la lunghezza media (in bit) dei pacchetti; C la capacità di trasferimento (in bit/s) di ogni ramo uscente dal nodo. Si supponga che: a) i pacchetti emessi dal nodo siano rivelati errati a destinazione (e sia quindi necessario riemetterli) con probabilità p; b) i tempi di riscontro siano trascurabili rispetto al valor medio del tempo di emissione di un pacchetto; c) nel nodo non si verifichi perdita di pacchetti. Nelle condizioni descritte, si chiede di: 1) identificare un modello del nodo in base alle sole ipotesi specificate nel testo e con riferimento alla relazione tra ingresso e uscita i-esima; 2) determinare il coefficiente di utilizzazione del ramo i- esimo. 3) con una opportuna aggiunta di ipotesi al modello ivi identificato, calcolare il tempo medio di attraversamento del nodo da parte di un pacchetto che pervenga a destinazione in modo corretto.

11 Quesito 11 In un centralino privato sono previsti due posti operatore. Il flusso di chiamate trattato dagli operatori è schematizzabile con un processo di Poisson di frequenza media =2 ch/min; i tempi necessari ad un operatore per trattare una chiamata sono variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa e valor medio =30 s. Le chiamate che non possono essere trattate immediatamente sono messe in attesa, fino ad un massimo di 2. Ulteriori chiamate offerte vengono rifiutate (trovano occupato ). Si chiede di: 1) identificare un modello markoviano del processo di chiamata sopra descritto; 2) calcolare il valor medio del tempo di attesa di una chiamate.

12 Quesito1 2 Un ufficio è collegato alla rete telefonica pubblica mediante una sola linea. La linea è utilizzata da: un apparecchio telefonico, un fax e un PC; le frequenze medie di presentazione di richieste di connessione individuali sono rispettivamente T, F e P, mentre le frequenze medie di terminazione delle rispettive connessioni sono T, F e P. Considerando solo il traffico uscente, si chiede di: 1) identificare un modello della linea, evidenziando le eventuali ipotesi assunte; 2) calcolare la probabilità che una richiesta di servizio offerta dall apparecchio telefonico non possa essere accolta.

13 Quesito 13 Si consideri il sistema in figura, composto da tre sottosistemi. I sottosistemi A e B svolgono le stesse funzioni e possono sostituirsi l uno all altro in caso di guasto di uno dei due, senza interrompere il servizio offerto dal sistema nel suo insieme. Si supponga che: a) le frequenze medie di guasto dei sottosistemi siano rispettivamente A, B e C ; b) i processi di guasto dei sottosistemi siano poissoniani e indipendenti l uno dall altro; c) il sistema sia servito da un solo riparatore che opera con tempi di servizio indipendenti tra loro, a distribuzione esponenziale negativa e valore medio uguale a 1/ ; d) in caso di guasto della macchina C, il riparatore abbandoni ogni eventuale attività in corso e passi a riparare la macchina C; e) un sottosistema guasto non possa subire altri guasti fino a che non sia di nuovo funzionante. Assumendo A = B =, si chiede di: 1) identificare un modello markoviano del processo di guasto e ripristino del sistema; 2) determinare l indisponibilità del sistema, definita come frazione media del tempo per cui il sistema è fuori servizio in condizioni di equilibrio statistico. A B C

14 Quesito 14 Si consideri un nodo di commutazione N di una rete a commutazione di circuito, in cui le informazioni di segnalazione siano trasferite con modalità a canale comune secondo il sistema di segnalazione n. 7. Si supponga che i messaggi di segnalazione relativi a due linee di traffico entranti, denominate 1 e 2, siano trasferiti attraverso un determinato ramo R della rete di segnalazione a canale comune uscente dal nodo N. Si assuma che: a) i traffici offerti dalle linee 1 e 2 siano di poisson, indipendenti e con intensità medie A 1 =110 Erl e A 2 =87 Erl rispettivamente; b) ogni tentativo di chiamata dia luogo ad un singolo messaggio di segnalazione; c) le lunghezze dei messaggi si possano ritenere variabili aleatorie indipendenti ed equidistribuite con legge esponenziale negativa e valore medio L=128 byte; d) la durata media delle chiamate sia 3 min; e) le contese di utilizzazione dei messaggi di segnalazione siano trattate ad attesa pura. Si chiede di: 1) identificare un modello del ramo R utilizzato per il trasferimento dei messaggi di segnalazione originanti dal nodo N e relativi a chiamate delle linee 1 e 2; 2) determinare la minima capacità di trasferimento del ramo R richiesta affinché il 99% dei messaggi di segnalazione subisca un ritardo minore di 75 ms all interno del nodo N.

15 Quesito 15 Una rete a pacchetto è composta da tre nodi, collegati a due a due con rami bidirezionali, tutti di capacità C bit/s. Nel nodo i-esimo (i = 1,2,3) pervengono dall'esterno pacchetti con arrivi poissoniani e indirizzamento casuale, in accordo alla seguente matrice dei traffici di relazione (pacch./s): I pacchetti hanno lunghezza distribuita con legge esponenziale negativa e valore medio 1000 bit. La regola di instradamento sceglie il cammino diretto. Si chiede di: 1) identificare un possibile modello della rete atto a studiarne i fenomeni di traffico; 2) determinare il valore minimo di C tale da garantire nella rete un regime di equilibrio statistico.

16 Quesito 16 Un centralino privato comprende un posto operatore e 10 apparecchi telefonici derivati. All operatore arrivano mediamente 80 chiamate nell ora di punta secondo un processo di arrivi poissoniano. Il trattamento di una chiamata da parte dell operatore richiede un tempo con distribuzione esponenziale negativa e valore medio uguale a. Le contese sono sempre risolte ad attesa. Il 90% delle chiamate sono inoltrate a uno dei derivati, in modo equiprobabile. La durata di una chiamata diretta verso un derivato ha distribuzione esponenziale negativa e valore medio 180 s. Si chiede di: 1) determinare il valore di in modo che il tempo di attesa medio per avere risposta dall operatore sia 30 s. 2) calcolare l intensità media del traffico offerto ad ogni derivato nell ora di punta.

17 Quesito 17 Un sistema di comunicazione di dati comprende N DTE (terminali operanti a pacchetto). Ognuno di questi accede a una WAN. L accesso alla WAN avviene attraverso un nodo (NP) a cui sono connessi i terminali suddetti. Si assuma che: a) il rilegamento tra ogni DTE e l'np sia attuato con una linea individuale di capacità C bit/s; b) i DTE generino pacchetti di lunghezza distribuita con legge esponenziale negativa e con valor medio uguale a L; c) la generazione dei pacchetti nei DTE avvenga secondo un processo di Poisson di parametro. Si desidera analizzare la parte del sistema relativa all accesso alla WAN. A questo scopo si suppone ulteriormente che: d) una frazione media r dei pacchetti generati da ciascun DTE è indirizzata verso l'np; e) ogni DTE dispone di spazio di memorizzazione sufficiente per contenere i pacchetti in attesa di essere inoltrati all'np; f) l'np dispone di un buffer di dimensioni sufficientemente elevate da evitare fenomeni di trabocco; g) i canali uscenti dall'np verso la WAN sono m ad accessibilità completa e ciascuno ha capacità eguale a F bit/s. Si chiede di: 1) individuare un modello rappresentativo della parte di sistema descritta; 2) determinare il valore minimo di m compatibile con la condizione di equilibrio statistico del modello di cui in 1); a tale scopo si assumano N=20, =2 pacch/s, r=0.5, L=1500 bytes, F=28.8 kbit/s.

18 Quesito 18 Si consideri una relazione di traffico (A,B) di una rete a circuito. Si suppone che la relazione (A,B) abbia a disposizione tre possibili instradamenti alternativi. L instradamento x è costituito dalla sequenza di mx rami di rete (x=1,2,3). Ogni ramo dispone di 3 giunzioni dedicate in modo esclusivo alla relazione (A,B). Il traffico offerto dalla relazione è originato da 60 utenti ed ha intensità media complessiva pari a 6 Erl. Assumendo che i nodi di rete siano non bloccanti, si chiede di: 1) esplicitare eventuali ipotesi necessarie alla derivazione di un modello markoviano del fenomeno di congestione della relazione; 2) valutare la probabilità di congestione di chiamata della relazione (A,B). Grafico della formula B di Erlang. Il parametro m rappresenta in numero di serventi

19 Quesito 19 Nella rete in figura, i nodi A1, A2, B1 e B2 hanno tempi di buon funzionamento (MUT) distribuiti con legge esponenziale negativa con valore medio T=30 giorni. Il tempo di riparazione ha anch esso distribuzione esponenziale negativa con valore medio =1 giorno. E disponibile una squadra di riparatori per i nodi A1 e A2 e un altra squadra per i nodi B1 e B2. Supponendo i rami della rete ideali (non soggetti a guasti), si chiede di: 1) identificare un modello markoviano del processo di guasto e ripristino della rete; 2) calcolare l indisponibilità del collegamento tra i terminali TA e TB. A1 B1 TA Tb A2 B2

20 Quesito 20 Un multiplatore a pacchetto ha una capacità di trasferimento uguale a C. Per alleviare la congestione e ridurre i ritardi di trasferimento, quando il numero dei pacchetti memorizzati nel multiplatore in attesa di essere emessi supera S, si attiva instantaneamente il modo di emissione veloce, che consiste nel trasmettere solo metà di ciascun pacchetto. Tale modalità veloce è abbandonata, ritornando ad emettere i pacchetti per intero, non appena il numero di quelli in attesa diviene inferiore o uguale a S. Si suppone che: a) i pacchetti arrivino al multiplatore secondo un processo di Poisson di parametro ; b) le loro lunghezze (intere) siano variabili aleatorie con distribuzione esponenziale negativa e valore medio L bit; c) la memoria del multiplatore sia infinita. Si chiede di 1) identificare un modello markoviano del multiplatore descritto, specificandone il diagramma FTS; 2) calcolare la frazione media di bit scartati dal multiplatore in accordo all algoritmo sopra descritto.