Esercitazioni del corso di Meccanica e Onde - Parte 2 v2008p2.1

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1 Esercitazioni del corso di Meccanica e Onde - Parte 2 v2008p2.1 2 Dinamica (cont.) ESERCIZIO 2.24 Una piattaforma circolare di momento d inerzia I = 10 kg m 2 ruota attorno al proprio asse con frequenza angolare ω 0 = 10 rad s 1. Sopra di essa è posta una massa m = 1 kg a distanza h 0 = 20 cm dall asse, che ruota assieme alla piattaforma. Se la massa viene portata alla distanza h 1 = 10 cm, quanto vale la nuova frequenza angolare ω 1? Che lavoro si è dovuto compiere per spostare la massa? (Questo problema è l analogo di ciò che succede quando una ballerina che sta girando su se stessa avvicina le braccia al proprio corpo) ESERCIZIO 2.25 Una ruota (disco omogeneo) di R = 30 cm e m = 10 kg rotola senza scivolare su un piano orizzontale con velocità v = 3 m/s. Ad un certo punto incontra una salita. Fino a che altezza arriva? [h = 0, 68 m] ESERCIZIO 2.26 Una pallina è attaccata a un filo di lunghezza L, la cui estremità opposta è legata a un gancio nel muro. Sotto il gancio, a una distanza d, si trova un piolo. La pallina viene lasciata cadere dalla posizione indicata in figura, e percorre i due archi di circonferenza tratteggiati. Quale è la distanza minima d a cui si deve fissare il piolo se si vuole che la pallina si avvolga attorno ad esso? (Nel punto più alto del cerchio piccolo la pallina non può essere ferma, altrimenti cade) [d >= 3/5L] 1

2 ESERCIZIO 2.27 Una tavola uniforme di lunghezza 6 m e massa 30 kg è posta orizzontalmente su un ponteggio, con 1.50 m della tavola che sporge oltre un estremo del ponteggio. Quanto può inoltrarsi sulla parte sporgente un imbianchino di massa 70 kg prima di ribaltarsi? ESERCIZIO 2.28 Un asse, del peso di 274 N e di lunghezza L = 6.23 m, è appoggiata al suolo e a un rullo privo di attrito posto sulla sommità di una parete di altezza h = 2.87 m. Il centro di gravità dell asse coincide col suo centro geometrico. Detto θ l angolo che l asse forma con l orizzonale, si osserva che esso rimane in equilibrio per ogni valore θ 68.0 mentre scivola se θ < 68. Determinare il cofficiente di attrito statico fra l asse e il suolo. ESERCIZIO 2.29 Un proiettile di massa m = 0.3 kg, sparato a una velocità v = 100 m/s si conficca in un blocco di legno di massa M = 5 kg, collegato ad una molla. Se la molla si comprime di 10 cm, quanto vale la sua costante elastica? ESERCIZIO 2.30 Un proiettile di massa m = 50 g è sparato ad una velocità v = 50 m/s su un bersaglio di massa M = 1 kg, che ha un foro con all interno una molla di costante elastica k = 10 3 N/m. Il proiettile colpisce la molla, che si suppone molto lunga, comprimendola, e mettendo allo stesso tempo in moto la massa, che è appoggiata su un piano senza attrito. a) Trovare la massima compressione x della molla. (Si osservi che nell istante in cui la molla è al massimo della compressione, il proiettile e la massa si muovono alla stessa velocità). 2

3 b) Quali sono la velocità della massa e quella del proiettile quando la molla (che si suppone di massa trascutabile) è tornata nella posizione di riposo? [ x = 34 cm] ESERCIZIO 2.31 Un blocco di ferro di massa m 1 = 0.5 kg viene compresso contro una molla di costante k = 392 N/m, allontanandola dalla sua posizione di riposo di 4 cm. Quindi, il blocco viene lasciato andare, e muovendosi su un piano orizzontale privo di attrito, urta elasticamente una sfera di ferro, di massa m 2 = 0.5 kg appesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile, lungo L = 2 m. Si calcoli l altezza raggiunta dalla sfera. Rifare il calcolo nel caso di un urto perfettamente anelastico, in cui i due corpi restino attaccati dopo l urto. ESERCIZIO 2.32 Due palline di massa m 1 = 0.1 kg e m 2 = 0.2 kg sono sospese a due fili di uguale lunghezza. La prima pallina viene sollevata ad un altezza h 1 = 1 cm rispetto alla posizione originaria, quindi viene lasciata cadere, e urta la seconda pallina. Supponendo che l urto sia perfettamente elastico, a che altezza arriva la seconda pallina? [h 2 = 4.4 mm] 3

4 3 Fluidi ESERCIZIO 3.1 Un uomo di 85 kg deve costruirsi una zattera utilizzando delle travi di legno di sezione S = 0.2 m 2, lunghezza L = 1 m e densità ρ l = 0.8ρ H2 O. Quante travi deve usare in modo che la zattera sorregga almeno il doppio del suo peso? ESERCIZIO 3.2 Un cilindro di rame (ρ Cu = 8, 9 g/cm 3 ) di massa M = 3 kg è appeso mediante un filo sottile in un recipiente pieno d acqua in modo da affiorare con la faccia superiore a pelo d acqua. Calcolare la tensione T del filo. Quale sarà la nuova tensione T se il cilindro emerge per metà dall acqua? ESERCIZIO 3.3 E stato proposto di trasportare il gas dai giacimenti del Mare del Nord in enormi dirigibili, usando il gas stesso per mantenerli in quota. Calcolare la forza occorrente per ancorare una di queste aeronavi carica con m 3 di gas avente densità kg/m 3. La densità dell aria è 1.21 kg/m 3, il peso del dirigibile è trascurabile. ESERCIZIO 3.4 Un tubo a U, avente entrambe le estremità aperte è riempito parzialmente con acqua. In uno dei due lati si versa dell olio che non è miscibile con l acqua fino a che la sua superficie libera sia ad una distanza d = 12.3 mm sopra quella dell acqua nell altro lato, che durante l operazione si è alzata di una distanza a = 67.5 mm rispetto al suo livello originale. Trovare la densità dell olio. ESERCIZIO Un serbatoio è riempito con acqua ed olio che consideriamo liquidi ideali; la densità dell olio è 900 kg/m 3, l altezza dello strato d acqua è h 1 = 1 m, quello dello strato d olio è h 2 = 4 m. Determinare la velocità con cui esce inizialmente l acqua da un piccolo foro sul fondo del serbatoio. La pressione nell ambiente circostante è ovunque P 0. ESERCIZIO 3.6 In un condotto orizzontale di sezione costante S 1 = 15 cm 2 si trova una strozzatura di sezione S 2 = 5 cm 2. Se nel condotto scorre un liquido omogeneo di densità ρ = 0, 9 g/cm 3 e se la differenza di pressione fra le due sezioni è p = 70 mmhg, calcolare la portata in massa Q m del condotto. 4

5 4 Gravitazione ESERCIZIO 4.1 Un satellite si trova su un orbita circolare a d = 150 km dalla superficie terrestre. Calcolare la velocità e il periodo di rivoluzione del satellite. (Raggio della Terra: R T = m; M T = kg) ESERCIZIO 4.2 Se il satellite dell esercizio precedente fosse fermo alla stessa distanza d dalla superficie terrestre, quale sarebbe la sua accelerazione di caduta libera? ESERCIZIO 4.3 Quale è l altezza dalla superficie terrestre di un satellite in orbita geostazionaria? [h = 3, m] ESERCIZIO 4.4 Calcolare la massa del Sole conoscendo solamente i seguenti dati: la costante di gravitazione universale γ = Nm 2 kg 2 ; il periodo di rivoluzione della Terra intorno al sole T = 365 giorni; il raggio dell orbita della Terra supposta circolare r = m. ESERCIZIO 4.5 Si trovi la velocità di fuga dalla superficie di Mercurio, la cui massa è M = kg e il cui raggio è R = m. [v f = 4, 27 km/s] A che altezza dalla superficie arriva un corpo lanciato alla velocità di 3 km/s? [h = m] 5 Oscillazioni ed onde ESERCIZIO 5.1 Un punto materiale di massa m = 100 g si muove di moto armonico sotto l effetto di una molla di costante elastica k = 0, 4 N/m che gli fa compiere un moto rettilineo in un piano orizzontale liscio. Se l ampiezza del moto è A = 10 cm ed al tempo t 1 = 0, 5s il punto si trova in un estremo di oscillazione x 1 = A, calcolare: a) la fase iniziale φ del moto oscillatorio; b) la velocità iniziale v 0 al tempo t = 0; c) la posizione iniziale x 0 al tempo t = 0; d) l accelerazione iniziale a 0 al tempo t = 0; e) l energia totale del sistema. ESERCIZIO 5.2 Calcolare la velocità di propagazione un onda acustica in una sbarra di ferro (ρ = 7.9 g/cm 3, E = N/m 2 ). [v = m/s] ESERCIZIO 5.3 Un altoparlante produce un suono di frequenza 2 khz ed intensità I 1 = W/m 2 alla distanza r 1 = 6 m. Supponendo che il suono sia emesso in modo isotropo, calcolare l intensità I 2 alla distanza r 2 = 6 m. [I 2 = 2, W/m 2 ] 5

6 ESERCIZIO 5.4 Date due onde trasversali: s 1 = 0, 4 sin(x t) (1) s 2 = 0, 4 sin(0, 5x 0, 5t) (2) 1) Determinare la frequenza, l ampiezza, la lunghezza d onda, la velocità e la direzione di propagazione delle due onde. 2) Supponendo che vengano trasmesse su una corda tesa con tensione T = 0, 02 N determinare la densità lineare della corda. 3) Supponendo che le due onde siano sovrapposte sulla stessa corda, determinare la frequenza di battimento. ESERCIZIO 5.5 Le vibrazioni di un diapason da 60 Hz creano onde stazionarie del quarto modo armonico in una corda fissata ad entrambi gli estremi. La velocità dell onda nella corda è 400 m/s. a) Qual è la lunghezza della corda? b) Quanti ventri e quanti nodi ci sono? ESERCIZIO 5.6 In certe regioni della tastiera di un pianoforte, per aumentare il volume del suono più di una corda è accordata sulla stessa nota. Alla frequenza ν = 110 Hz sono accordate due corde. Se la tensione di una di esse è T 1 = 600 N e si riduce al valore di T 1 = 540 N, quale frequenza di battimento si udirà quanto le due corde verranno colpite dal martelletto? [ν b = 5, 64 s] ESERCIZIO 5.7 Una sorgente sottomarina emette onde di frequenza v = 200 Hz, che si propagano successivamente in aria. Quale è il cambiamento di lunghezza d onda nel passaggio fra i due mezzi? (v aria = 340 m/s; β H20 = 2, N/m 2 ). [ λ = 5, 53 m] ESERCIZIO 5.8 A e B sono due diapason uguali di frequenza ν = 500 Hz. A è fermo, mentre B si allontana da A con velocità costante v B = 60 m/s. Fra i due diapason si trova un osservatore O che si allontana anch esso da A con velocità costante v 0 = 30 m/s. Assumendo che la velocità del suono in aria sia v = 340 m/s, trovare: a) la frequenza ν A del suono proveniente da A udita dall osservatore O. b) la frequenza ν B del suono proveniente da B udita dall osservatore O. c) la frequenza di battimenti dei dei suoni delle due sorgenti percepita dall osservatore O. 6

7 ESERCIZIO 5.9 Il Tubo di Quincke rappresentato in figura è uno strumento che permette di studiare l interferenza delle onde sonore. S e un diapason di frequenza ν, il cui suono viene diviso nei due rami A 1, di lunghezza fissa, e A 2, di lunghezza variabile, e si somma nuovamente all uscita R. Nella condizione iniziale A 1 = A 2 e il suono in R ha la stessa intensità del suono in ingresso; aumentando A 2 l intensità in R diminuisce fino ad annullarsi, per poi tornare al valore massimo per un allungamento x = 76, 3 cm. Quale è la frequenza ν del diapason? ESERCIZIO 5.10 Due piccoli altoparlanti emettono onde sonore sferiche di frequenze diverse dai punti A e B. L altoparlante A ha un uscita di 1.00 mw e il B di 1.50 mw. Trovare l intensità sonora in C dovuta ad A, B e a tutti e e due, sapendo che AH = 3 m, BH = 2 m, HC = 4 m. [I A = 3.18µW = 65.0 db; I B = 5.97µW = 67.8 db; I A+B = 9.15µW = 69,6 db] A H C B ESERCIZIO 5.11 Un ragazzo colpisce una rotaia di acciaio con un sasso. Un altro ragazzo, che si trova ad una distanza d con l orecchio appoggiato alla rotaia, percepisce il suono t = 1 s prima che esso arrivi attraverso l aria. Se la velocità del suono è di 340 m/s in aria e la rotaia è di ferro (ρ F e = 7, 9 g/cm 3 ; E F e = N/m 2 ), quale è la distanza d? [d = 365 m] 7