LIMITI DI FUNZIONI. arbitrariamente vicino a L, scegliendo x sufficientemente vicino a x 0, con x x 0.

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1 55. Limiti al finito (ossia per ) LIMITI DI FUNZIONI Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino a, con. > δ > :, < < δ f ( ) L < I punti che soddisfano la condizione di raggio δ, privato del punto. < δ costituiscono un intorno completo del punto < Esempio (4 5) = 7 > δ > :, < < δ (4 5) 7 < ( 4 5) 7 < 4 < < 4 Esempio f ( ) = f ( ) = 4 = > δ > :, < < δ f ( ) < Per f ( ) = f ( ) < < < Limite destro (finito) per f ( ) L R 4 Il ite destro di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino a, con > (ossia tende a da destra). > δ > :, < < δ f ( ) L < I punti che soddisfano la condizione di raggio δ, privato del punto. < δ costituiscono un intorno destro del punto, <

2 56 Limite sinistro (finito) per f ( ) L R Il ite sinistro di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente vicino a, con < (ossia tende a da sinistra). > δ > :, δ < < f ( ) L < I punti che soddisfano la condizione δ < < costituiscono un intorno sinistro del punto, di raggio δ, privato del punto. Esempio ( ) = sgn( ) = < = > f f ( ) = Esempio 4 f ( ) = = f ( ) = dom f = R\{} > < = Limite destro > δ > :, < < δ f ( ) < Per > f ( ) < < Limite sinistro > δ > :, δ < < f ( ) < Per < f ( ) < < < < Proprietà f ( ) f ( ) = f ( ) Negli esempi e 4 i iti destro e sinistro esistono entrambi, ma sono diversi, perciò il ite ordinario non esiste.

3 57 Limite infinito per f ( ) = Il ite di f () per tendente a è se è possibile rendere il valore di f () grande, scegliendo sufficientemente vicino a, con. > δ > :, < < δ f ( ) > Esempio 5 = > δ > : < < δ > > < < Esempio 6 = > δ > : < < δ > > < Limite destro (infinito) per f ( ) = Il ite di f () per tendente a è se è possibile rendere il valore di f () grande, scegliendo sufficientemente vicino a, con > (ossia tende a da destra).. > δ > :, < < δ f ( ) > Limite sinistro (infinito) per f ( ) = Il ite di f () per tendente a è se è possibile rendere il valore di f () grande, scegliendo sufficientemente vicino a, con < (ossia tende a da sinistra). > δ > :, δ < < f ( ) > Definizioni analoghe nei casi in cui la funzione tende a : f ( ) = > δ > :, < < δ f ( ) <

4 58 f ( ) = > δ > :, < < f ( ) = (ite destro) δ > δ > :, δ < < f ( ) < (ite sinistro) f ( ) < Esempio 7 = > δ > : < < < δ < > < < Esempio 8 = > δ > : < < δ > > < (ricordare che tende a da destra) = > δ > : δ < < < < > (ricordare che tende a da sinistra) Definizione di asintoto verticale La retta condizioni: f ( ) = = è un asintoto verticale per la curva f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = y = se vale almeno una delle seguenti

5 59 Esempio 9 Dal ite (esempio 5) = segue che = è un asintoto verticale per la curva y =. Dal ite (esempio 6) = segue che = è un asintoto verticale per la curva y =. Dal ite (esempio 7) = segue che = è un asintoto verticale per la curva y =. Dai iti (esempio 7) = = segue che = è un asintoto verticale per la curva y =. Esempio ln = > δ > : < < δ ln < ln < e ln < e (ricordare che l esponenziale e è una funzione crescente) e < e (ricordare che l esponenziale è l inversa del logaritmo) Da questo ite segue che = è un asintoto verticale destro ( tende a da destra) per la curva y = ln.. Limiti all infinito (ossia per ± ) Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo sufficientemente grande. > > :, > B f ( ) L < Esempio =

6 6 > < interessa è :, > B > > ; quindi < < > tende a, perciò la soluzione che B = Limite finito per f ( ) L R Il ite di f () per tendente a è L se è possibile rendere il valore di f () vicino a L, scegliendo negativo e sufficientemente grande in valore assoluto. > > :, < B f ( ) L < Esempio = > < interessa è > :, < B > < ; quindi Esempio e = > > :, < B e < < < > tende a, perciò la soluzione che B = e < lne < ln (ricordare che il logaritmo naturale ln è crescente) < ln (ricordare che il logaritmo è l inversa dell esponenziale) B = ln (osservare che è un numero positivo piccolo, quindi ln < per sufficientemente piccolo) Definizione di asintoto orizzontale La retta L condizioni: f ( ) y = è un asintoto orizzontale per la curva f ( ) f ( ) y = se vale una delle seguenti Esempio 4 Dai iti = = (esempi e )

7 6 segue che la retta y = è un asintoto orizzontale completo (cioè sia per che per ) per la curva y =. Dal ite e = segue che la retta y = è un asintoto orizzontale sinistro (cioè solo per ) per la curva y = e. Si possono anche avere due asintoti orizzontali diversi per e per ; ad esempio si ha π π arctg = arctg = π perciò la curva y = arctg ha come asintoto orizzontale destro (cioè per ) la retta y =, e π come asintoto orizzontale sinistro (cioè per ) la retta y =. Limiti infiniti per e per f () = Il ite di f () per tendente a è se è possibile rendere il valore di f () grande, scegliendo sufficientemente grande. > > :, > B f ( ) > f () = > > :, > B f ( ) < f () = > > :, < B f ( ) > f () = > > :, < B f ( ) < Esempio 5 = > > :, > B > > > Esempio 6 = B = > > :, > B > > < > tende a, perciò la soluzione che interessa è > B =

8 6 Esempio 7 > ( ) = > :, < > Esempio 8 = > B < > > :, < B > > < > tende a, perciò la soluzione che interessa è Esempio 9 > = > :, < B < < < B = Esempio (iti fondamentali). e = > > :, > B e > > B = e > lne > ln (vedi esempio ) > ln B = ln. ln = > > :, > B ln > ln > > e < B = B = e (vedi esempio )