Esercitazioni in Maple

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1 Esercitazioni in Maple 6 giugno 2007

2 Capitolo 1 Prima esercitazione 1.1 Anelli di polinomi Per cominciare bisogna dichiarare un anello di polinomi. Possiamo lavorare con un qualsiasi anello di tipo dove R = k[x 1,..., x n ] k (campo dei coefficienti) può essere Q (di default) o Z p (p primo); x 1,..., x n è un insieme finito di indeterminate. La sintassi per introdurre l anello R è la seguente: > with(ore_algebra): > R:=poly_algebra(x_1,...,x_n): > R:=poly_algebra(x_1,...x_n,characteristic=p): Esempio a) L anello Q[x, y, z] è introdotto mediante: > with(ore_algebra): > S:=poly_algebra(x,y,z): b) L anello Z 7 [x, y] si introduce mediante > with(ore_algebra): > T:=poly_algebra(x,y,characteristic=7): c) L anello Q[x 1, x 2, x 3, x 4, y 11, y 12, y 21, y 22, y 31, y 32 ] si introduce mediante > with(ore_algebra): > U:=poly_algebra(x[1..4],y[1..3,1..2]): 1

3 1.2 Polinomi Esempi di modi per definire polinomi sono: > F:=3*x*y*z+x*y^2; F := 3 x y z + x y 2 > G:=sum(x[k]^3,k=1..5); G := x x x x x 5 3 Definiti i polinomi, Maple può calcolare le usuali operazioni su di essi: F ; F ; F + G; F G; Fˆ3; F G; F/G; ( se G divide F ) Per valutare qualche indeterminata del polinomio si può usare il comando subs > H:=subs(x[1]=4,G); H := 64 + x x x x 5 3 Inoltre, dato un polinomio F, possiamo utilizzare i seguenti comandi di Maple per ottenerne grado, coefficienti, monomi ecc. Si veda la guida on line alla voce 1.3 Ideali mathematics algebra polynomials. Un ideale è definito dichiarandone un insieme di generatori (come lista): > Id:=[F_1,...,F_n]; dove F 1,..., F n sono polinomi precedentemente definiti. Esempio > R:=poly_algebra(x,y,z): > F:=x^2: > G:=x-2*z+y: > W:=[F,G]; W := [x 2, x 2 z + y]

4 1.3.1 Prime operazioni sugli ideali Dato uno o più ideali, ha senso effettuare su di essi alcune operazioni, o verificare delle relazioni tra di essi: per esempio, dati I e J, sappiamo che il radicale I è un ideale, che l intersezione I J è un ideale, e vorremmo determinarne un insieme di generatori. Possiamo inoltre chiederci se un certo polinomio F sta in I, o confrontare I e J rispetto all inclusione. Vorremmo definire in Maple delle procedure che calcolino queste operazioni o verifichino queste relazioni. Somma di ideali. Dati due ideali I e J, l ideale somma è I + J = {f + g f I, g J} Prodotto di ideali. Dati due ideali I e J, l ideale prodotto è I J = I({f g f I, g J}) Esercizio Definire una funzione Somma(J,W) che, dati due ideali J e W restituisca l ideale somma J + W. 2. Definire una funzione Prodotto(J,W) che, dati due ideali J e W restituisca l ideale prodotto J W. Esercizio L ideale di un numero finito di punti (da pensare a casa) Se stiamo lavorando nell anello k[x 1,..., x n ] e abbiamo un numero finito di punti in k n : P 1 (a 11,..., a 1n ),..., P k (a k1,..., a kn ), l insieme W dei polinomi F che si annullano su tutti i punti è un ideale, detto ideale dei punti P 1,..., P k. a) Verificare (sulla carta) che in Q[x, y] l ideale dei punti (1, 2), (3, 4), (5, 6) è W = [x y + 1, y 3 12y y 48). b) Sapreste trovare una procedura per trovare, in Q[x, y], l ideale definito da un punto? Da due punti? Da tre punti? Da quattro punti? Da n punti? Altre operazioni sugli ideali e relazioni concernenti ideali Vorremmo (e vedremo che si può fare) costruire procedure in Maple effettuare le seguenti verifiche e calcoli. Lo studente è invitato a cominciare a rifletterci e verificare che non si tratta di un problema banale. Appartenenza di un polinomio a un ideale. polinomio F appartiene a un ideale J; Verificare se un

5 Inclusione di ideali. Verificare se un ideale W è contenuto in un ideale J; Uguaglianza di ideali. Verificare se due ideali sono uguali. Intersezione di ideali. È facile dimostrare che l intersezione di ideali I 1,..., I n è un ideale. Vorremmo calcolare tale intersezione. Radicale di un ideale. Dato un ideale I si verifica che I = {f f n I per qualche n N} è un ideale, detto il radicale di I. Eliminazione di variabili da un ideale: se I è un ideale in k[x 1,..., x n ] possiamo considerare l ideale (di eliminazione) ; I = I K[x 1,..., x n 1 ] I diviso J I : J = {F F J I}. 1.4 Ideali monomiali Esercizio Definire una funzione Monomio(F) che, dato un polinomio F, restituisce TRUE se F è un monomio, FALSE altrimenti; 2. Definire una funzione GenMonomiale(I) che, dato un ideale I, restituisce TRUE se i generatori usati per definire I sono monomi, FALSE altrimenti (attenzione! ciò che si richiede è più debole che verificare se l ideale I è monomiale) ; Esercizio Per ognuna delle operazioni e relazioni concernenti ideali definite nella sezione 1.3.2, in Q[x, y, z], 1. Dimostrare, ove abbia senso, che preserva gli ideali monomiali; 2. Inventare un algoritmo che calcoli l operazione per ideali monomiali; 3. Dimostrare (sulla carta!) che funziona; 4. Implementarlo in Maple.

6 1.4.1 Term orders Una volta definito l anello dei polinomi con il quale intendiamo lavorare, per introdurre un term order sui termini occorre fare uso del pacchetto Groebner. Quindi la sintassi è la seguente: > with(ore_algebra): > with(groebner): > R:=poly_algebra(x_1,...,x_n): > T:=termorder(R, term order ): dove term order è un term order. Per la scelta dei possibili ordinamenti predefiniti in Maple si veda la guida on line alla voce mathematics algebra polynomials Groebner package order of terms. Esempio > R:=poly_algebra(x,y,z): > T:=termorder(R,plex(x,y,z)): > testorder(x,y^2*z,t); false > L:=[op(subs(u=1,convert(map(expand,series(1/((1-x*u)*(1-y*u)*(1-z*u)),u,4)),polynom)))]: > sort(l,(t1,t2)->testorder(t1,t2,t)); [1, z, z 2, z 3, y, z y, z 2 y, y 2, y 2 z, y 3, x, z x, z 2 x, y x, z y x, y 2 x, x 2, z x 2, y x 2, x 3 ] > U:=termorder(R,tdeg(x,y,z)): > testorder(x,y^2*z,u); true > L1:=[op(subs(u=1,convert(map(expand,series(1/((1-x*u)*(1-y*u)*(1-z*u) ),u,4)),polynom)))]: > sort(l1,(t1,t2)->testorder(t1,t2,u)); [1, z, y, x, z 2, z y, z x, y 2, y x, x 2, z 3, z 2 y, z 2 x, y 2 z, z y x, z x 2, y 3, y 2 x, y x 2, x 3 ]

7 Come definire un term order tramite una matrice Maple permette di definire term orders tramite matrici n n (ricordiamo che la matrice deve essere invertibile). Ricordiamo che data una matrice M = a a 1n... a n1... a nn Ord(M) è l ordinamento dato dalla matrice M: x α > x β α t M > Lex β t M. La sintassi per l impostazione del term order è > T:=termorder(R, matrix (M,[x_1,...,x_n]): Esempio > T:=termorder(R, matrix ([[1,2,3],[1,-1,0],[0,0,1]],[x,y,z])): > L:=[op(subs(u=1,convert(map(expand,series(1/((1-x*u)*(1-y*u)*(1-z*u)),u,4)),polynom)))]: > sort(l,(t1,t2)->testorder(t1,t2,t)); [1, x, y, x 2, y x, z, x 3, y 2, y x 2, z x, y 2 x, z y, z x 2, y 3, z y x, z 2, z y 2, z 2 x, z 2 y, z 3 ] Esercizio Definire su Q[x, y, z, t] un term order tale che tutti i monomi contenenti una potenza di x siano più grandi di ogni monomio che non lo contiene e i monomi non contenenti x siano ordinati secondo DegRevLex.

8 Capitolo 2 Seconda esercitazione 2.1 L algoritmo di divisione Si richiede di svolgere i seguenti esercizi senza utilizzare le funzioni predefinite in Maple. Esercizio Scrivere una funzione che dato un polinomio restituisca la lista dei suoi monomi. Esercizio Scrivere un algoritmo che esegua la divisione di due polinomi a una variabile, producendo quoziente e resto. Esercizio Siano F, G Q[x, y] (G 0) e fissiamo un term order : Scrivere un algoritmo che trovi una rappresentazione F = HG + R dove R è un polinomio tale che nessun suo monomio è divisibile per il termine di testa di G. Esercizio Scrivere un algoritmo che dati polinomi F, G 1, G 2 in Q[x, y, z] con l ordinamento DegLex produca (una) riduzione di F modulo B = {G 1, G 2 }. Esercizio Siano F = 2x 2 + 3y 2 11, G = x 2 y 2 3, H := x 2 4. Calcolare quoziente e resto della divisione di H per [F, G] e la forma normale di H. (F, G) è una base di Gröbner? 7

9 Capitolo 3 Terza esercitazione 3.1 L algoritmo di Buchberger In Maple, il comando spoly(f,g,t) produce l s-polinomio di F e G rispetto al term order T ; il comando gbasis(w,t) produce una base di Gröbner ridotta dell ideale W rispetto al term order T. Per maggiori informazioni si veda la guida on line. Esercizio In Q[x, y, z] calcolare (nei due modi: simulando l algoritmo di Buchberger e utilizzando il comando gbasis di Maple) una base di Gröbner per l ideale W = (x 2 y + z, xz + y) rispetto a Lex. Decidere quale dei seguenti polinomi appartiene a W. a) F = y 4 + y 2 z 3 + 2z 2 2xy 2 b) G = x 3 z + 3x 2 y + 2z. Ripetere lo stesso esercizio con DegLex. Esercizio Determinare se il polinomio F = x 3 z 2y 2 è nell ideale W = (xz y, xy+2z 2, y z). Cosa succede se sostituiamo F con G = F 2z? Esercizio Definire una funzione Monomiale(I) che, dato un ideale I, restituisce TRUE se I è monomiale, FALSE altrimenti. 8

10 Capitolo 4 Quarta lezione 4.1 Appartenenza di un polinomio a un ideale e confronto tra ideali Risolvere gli esercizi seguenti utilizzando il comando gbasis e i risultati visti nelle lezioni teoriche. Esercizio Lavoriamo in Q[x, y] con il term order Lex. Determinare se i seguenti polinomi sono nell ideale (x 2 xy, y 3 y 2, x 3 + x 3 y). In caso contrario determinare il rappresentante irriducibile del laterale a cui appartengono: a) (x + y) 2 ; b) (x + y) 3 ; c) (x + y) 4 ; d) (x + y) 5 ; e) x 2 + 2y 3. Esercizio Dimostrare che gli ideali (x + y, y 4 y 3 1), (x 3 y xy 2 + 1, x 2 y 2 y 3 1) e (xy 3 + y 3 + 1, x 3 y x 3 + 1, x + y) sono uguali. 4.2 Radical membership Esercizio Sia I = (3xy 2 + y 3, x 3 + 3x 2 y). Verificare se x e x + y + 4 stanno in I. 4.3 Eliminazione di variabili Esercizio Sia I = (x 2 y+z, xz+y). Determinare una base di Gröbner per I Q[x, y] e per I Q[z]. 9

11 4.4 Intersezione di ideali Esercizio Determinare una base di Gröbner per l intersezione dei due ideali (x 3 xy, y 3 y 2 + 1) e (3xy + y 2, x 2 2x + 1). 4.5 Varietà parametriche Esercizio Si consideri la curva data dalle equazioni parametriche x = t y = 2t 2 z = t 5 Determinare le equazioni cartesiane della curva. Esercizio Si consideri la superficie data dalle equazioni parametriche x = uv 2 y = uv 3 z = u(v 2 + v + 1) Determinare le equazioni cartesiane della curva. 4.6 Estensioni algebriche Esercizio Sia F = Q[ 3, 3 6] e sia α = a) Trovare un polinomio in Q[z] di cui α è radice; b) Dimostrare che F = Q[α] esprimendo 3 e 3 6 come polinomi in α. Esercizio Trovare il polinomio di grado minimo a coefficienti in Q di cui i è radice.

12 Capitolo 5 Quinta lezione: soluzioni di sistemi polinomiali Esercizio Siano In Q[x, y, z] consideriamo i polinomi F = x + 18y + 20x x x x 3 + x x x x x 8 G = x + 20x x x x 3 18z + x x x x x 8 H = x + 24x x x x x x x x x 2 + x x 8 e sia I = (F, G, H). 1. Dimostrare che l ideale I è 0-dimensionale; 2. Dimostrare che l ideale I è radicale. 3. Calcolare il numero di soluzioni del sistema F = G = H = Sia W = Q[x, y, z]/i. Definire una funzione che dato un polinomio U dia la matrice della moltiplicazione per U in W. 5. Nelle ipotesi del punto precedente, definire la funzione T raccia(u). 6. Nelle ipotesi sopra, definire una funzione P hi(u) che dia la matrice della forma bilineare Φ U rispetto a una base prefissata di W. 7. Definire una funzione P olicar(u) che dia il polinomio caratteristico della matrice definita al punto precedente. 8. Stabilire quante soluzioni del sistema F = G = H = 0 sono reali e quante non reali. 11

13 9. Stabilire quante sono le soluzioni reali che distano dall origine 1.

14 Capitolo 6 Sesta esercitazione: modelli statistici algebrici Esercizio Il lancio di una moneta (truccata) ha probabilità θ di dare testa e (1 θ) di dare croce. Sia X θ la variabile aleatoria che conta il numero di teste in tre tiri. Scrivere l ideale I che definisce il modello statistico {X θ } θ (0,1). Esercizio In un sacchetto ci sono due monete truccate come nell esercizio , con probabilità θ 1 e θ 2 rispettivamente di dare testa. Si estrae dal sacchetto una delle due monete e la si lancia. Sia X θ1,θ 2 (θ 1, θ 2 (0, 1)) la v.a. che conta il numero di teste in quattro tiri. 1. (Sulla carta) scrivere le equazioni parametriche del modello statistico; 2. Usare Maple per scrivere l ideale I che definisce il modello. Esercizio In un sacchetto ci sono quattro tipi di monete truccate, alcune con probabilità 1 3 di dare testa, altre con probabilità 1 5, altre con probabilità 1 4 e altre non truccate. Sia θ 1 la probabilità di estrarre monete del primo tipo, θ 2 del secondo, θ 3 del terzo. Sia X θ1,θ 2,θ 3 (θ 1, θ 2, θ 3 (0, 1)) la v.a. vale 0 se esce croce e 1 se esce testa. 1. (Sulla carta) scrivere le equazioni parametriche del modello statistico; 2. Usare Maple per scrivere l ideale I che definisce il modello. Esercizio Supponiamo di avere tre variabili aleatorie X 1, X 2, X 3 con X 1, X 2 binarie e X 3 a valori in [3]. Per ogni possibile modello algebrico di indipendenza delle tre variabili, determinare dei generatori dell ideale associato. 13

15 Esercizio Supponiamo di avere quattro variabili aleatorie binarie X 1, X 2, X 3, X 4. Scrivere l ideale I Σ associato ai modelli di indipendenza gerarchici M Σ per Σ = {{12}, {23}, {34}, {14}} e Σ = {{12}, {23}, {34}}.

16 Capitolo 7 Settima esercitazione: stime di massima verosimiglianza e modelli torici Esercizio Dato il modello binomiale B(2, θ) e l insieme di 5 osservazioni {0, 0, 1, 1, 2} determinare la stima di massima verosimiglianza associata a tale insieme, utilizzando l ideale del modello. Esercizio Si consideri il modello lineare definito da p 1 = 0.10θ θ p 2 = 0.08θ θ θ p 3 = 0.11θ θ , θ 2 > 0, θ 1 + θ 2 < 1 p 4 = 0.09θ θ Determinare la MLE per i dati (10, 14, 15, 10). Esercizio Consideriamo il modello statistico definito da p 1 = θ 1 p 2 = θ 2 p 3 = (θ 1 1) 2 + (θ 2 1) 2 θ 1 1, θ 2 > 0 p 4 = (θ 1 + 1) 2 + 2(θ 2 2) 2 9 Definire una funzione EQMLE che dato un insieme di osservazioni (k 1, k 2, k 3, k 4 ) restituisca i polinomi che, uguagliati a 0, danno le equazioni di massima verosimiglianza per il modello sopra (equazioni critiche della lagrangiana del logaritmo della funzione di verosimiglianza). Si prenda a caso un vettore (k 1,..., k 4 ) e si risolvano le equazioni critiche. Quante soluzioni si trovano? Quali sono le soluzioni reali? Quali sono le soluzioni reali positive? 15

17 Esercizio Si ricordi che per il modello torico definito da una matrice A avente somma delle colonne costanti, la MLE è l unica soluzione positiva nella varietà dell ideale I A + (Ap 1 k b) dove b = Ak, k è il vettore di osservazioni e k è il numero totale di osservazioni. Siano d = 2, n = 4 e ( ) A = Sia k il vettore di osservazioni (11, 17, 23, 2). Calcolare la MLE. Esercizio Scrivere la matrice A e l ideale I A nel caso del modello di indipendenza di due variabili aleatorie ternarie. Scegliere a caso un insieme di osservazioni e trovare la MLE associata. Ripetere l esercizio precedente nel caso di tre variabili aleatorie binarie per il modello gerarchico M Σ con Σ = {{12}, {13}, {23}}.

18 Capitolo 8 Ottava esercitazione: Algoritmo di Metropolis-Hastings Esercizio Sia M il modello torico associato alla matrice A = Dato un insieme di 100 osservazioni sia k = (14, 42, 6, 10, 28) il corrispondente vettore delle frequenze. Calcolare una base di Groebner per l ideale I A associato al modello M A ; Calcolare una base di Groebner per il reticolo L A associato alla matrice A. Calcolare la MLE relativa alle osservazioni k; Definire una funzione P earson(v ) che dato un vettore V in F(k) ne calcoli il coefficiente di Pearson. Definire una funzione F c(v ) che dato un vettore V in F(k) restituisca 1 se P earson(v ) > P earson(k), 0 altrimenti. Utilizzando l algoritmo di Metropolis-Hastings, costruire una funzione P val(n) che costruisca il valore approssimato del p-value di k compiendo N movimenti in F(k). 17