Anno 5 Regole di derivazione
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- Lelio Gori
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1 Anno 5 Regole di derivazione 1
2 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate delle funzioni elementari sarà possibile calcolare la derivata di qualunque funzione. Al termine di questa lezione sarai in grado di: l l l definire le regole di derivazione applicare le regole di derivazione risolvere l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate delle funzioni elementari sarà possibile calcolare la derivata di qualunque funzione. Al termine di questa lezione sarai in grado di: definire le regole di derivazione applicare le regole di derivazione risolvere l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto
3 Operazioni con le derivate: somma e differenza Derivata limite del rapporto incrementale della funzione Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo aperto ]a,b[, allora la derivata della funzione somma (o differenza) delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è: ( f ( ± g( )' f '( ± g'( Calcolare la derivata della funzione: f ( sen( ln( Applichiamo le regole della funzione differenza: f '( D(sen ( ) D(ln( ) Calcoliamo le derivate: 1 f '( cos( Tutte le regole che vedremo in questa e nelle prossime pagine, possono essere ricavate direttamente dalla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale della funzione. Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo aperto ]a,b[; la derivata della funzione somma (o differenza) delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è la somma (o differenza) delle derivate delle due funzioni. Vediamo un esempio in cui vogliamo calcolare la derivata della differenza di due funzioni elementari. Applichiamo la regola della derivata della funzione differenza appena vista: la derivata della prima funzione meno la derivata della seconda funzione. Calcoliamo le derivate e otteniamo il risultato finale. 3
4 Operazioni con le derivate: prodotto Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo aperto ]a,b[, allora la derivata della funzione prodotto delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è: ( f ( g( )' f '( g( + f ( g'( Calcolare la derivata della funzione: f ( ln( Applichiamo le regole della funzione prodotto: f '( D( ln( + D(ln( ) Calcoliamo le derivate e semplifichiamo: 1 f '( log( + log( + 1 Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo ]a,b[, allora la derivata della funzione prodotto delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è uguale alla somma della prima funzione derivata per la seconda funzione non derivata, più la prima funzione non derivata per la derivata della seconda funzione. Facciamo un esempio. Calcoliamo la derivata della funzione f( ln(. La funzione è il prodotto di due funzioni elementari, e ln(, quindi possiamo applicare la regola per le funzioni prodotto. Calcoliamo le derivate elementari e semplifichiamo il risultato. 4
5 Operazioni con le derivate: quoziente Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo ]a,b[ e sia g diversa da zero, allora la derivata della funzione quoziente delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è: ' f ( f '( g( f ( g'( g( ( g( ) sen ( Calcolare la derivata della funzione: f ( Applichiamo la regola della funzione quoziente: D(sen ( ) sen ( D( f '( Calcoliamo le derivate e semplifichiamo: cos( sen( f '( Siano f e g due funzioni derivabili nell intervallo ]a,b[ e sia g diversa da zero, allora la derivata della funzione quoziente delle due funzioni nell intervallo ]a,b[ è uguale alla derivata del numeratore per il denominatore non derivato, meno il numeratore non derivato per la derivata del denominatore, il tutto fratto il quadrato del denominatore. Calcoliamo, ad esempio, la derivata di una funzione quoziente di due funzioni elementari. Applichiamo la regola per le funzioni quoziente. Calcoliamo le derivate elementari e semplifichiamo il risultato. 5
6 Operazioni con le derivate: funzione reciproca Dalla regola della funzione quoziente si può ottenere la regola di derivazione della funzione reciproca, sostituendo al numeratore la costante 1. Sia g una funzione derivabile nell intervallo ]a,b[ e diversa da zero, allora la derivata della funzione reciproca 1/g è: ' 1 g'( g( ( g( ) Calcolare la derivata della funzione: 1 f ( cos( Applichiamo la regole della funzione reciproca: D(cos( ) f '( (cos( ) sen ( Calcoliamo la derivata: f '( cos ( Dalla regola della funzione quoziente si può ottenere la regola di derivazione della funzione reciproca, sostituendo al numeratore la costante 1. Sia g una funzione derivabile nell intervallo ]a,b[ e diversa da zero, allora la derivata della funzione reciproca 1/g è uguale a meno la derivata della funzione, fratto il quadrato della funzione stessa. Vediamo un esempio di derivata di una funzione reciproca di una funzione elementare. Consideriamo f(1/cos( Anche in questo caso è sufficiente applicare la regola appena vista e calcolare la derivata della funzione coseno. 6
7 Operazioni con le derivate: funzione inversa Sia f una funzione continua e strettamente monotona in [a,b], allora esiste f -1 funzione inversa di f. Sia f: [a,b] R una funzione invertibile e derivabile in un punto appartenente all intervallo ]a,b[. Allora, se f ( 0, anche la funzione f -1 (y) è derivabile nel punto yf( e la derivata è: 1 ' ( f y) ) 1 1 f '( f '( f ( y)) ( 1 Calcolare la derivata della funzione: f 1 ( y) y La funzione è l inversa della funzione y f(, continua e strettamente monotòna negli intervalli >0 e <0. Applichiamo le regola: 1 ' ( f y) ) D( ) y ( Ricordiamo che se una funzione f è continua e strettamente monotòna nell intervallo [a,b], allora esiste la funzione f -1 inversa della f. Si consideri la funzione f :[a,b] R invertibile e derivabile in un punto appartenente all intervallo ]a,b[. Allora se f ( 0, anche la funzione f -1 (y) è derivabile nel punto yf( e la derivata è uguale al reciproco della derivata della funzione f. Calcoliamo, ad esempio, la derivata della funzione radice quadrata. Tale funzione è inversa della funzione yf(, che è continua e strettamente crescente nei due intervalli separati >0 e <0. Applicando la regola e sostituendo il valore di, otteniamo la derivata cercata. 7
8 Operazioni con le derivate: funzione composta Siano f e g due funzioni tali che esiste la funzione composta f g. Allora, se g è derivabile in un punto e f è derivabile in g(, la funzione composta f g è derivabile in, e si ha D[ f ( g( )] f '( g( ) g'( Calcolare la derivata della funzione: sen( ) La funzione è una funzione composta f(g() in cui: g( f ( y) sen ( y) sen( ) Applichiamo le regola: D [sen( )] cos( ) cos( ) Diamo infine la regola per calcolare la derivata di una funzione composta. Siano f e g due funzioni tali che esiste la funzione composta f g. Allora, se g è derivabile in un punto e se f è derivabile nel punto g(, la funzione composta f g è derivabile in, ed la sua derivata è uguale alla derivata di f calcolata in g( per la derivata di g calcolata in. Come esempio calcoliamo la derivata della funzione sen( ). La funzione è una funzione composta della funzione seno e della funzione potenza. Applicando la regola, otteniamo che la derivata vale cos( ). 8
9 Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Data una funzione f, l equazione della retta tangente il grafico della funzione in un punto 0 è: y f ( 0) + f '( 0)( 0) Ricavare l equazione della retta tangente al grafico della funzione f ( + 3 nel punto 0 1. Determiniamo il valore della funzione nel punto 0 1: f ( 1) Determiniamo la derivata della funzione f '( + Determiniamo il valore della derivata nel punto 01: f '(1) + 4 Determiniamo l equazione della retta tangente con la formula mostrata in alto, quindi otteniamo: y 4( 1) 4 4 Vediamo infine un esempio relativo al significato geometrico della derivata determinando esplicitamente l equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. A tal scopo ricordiamo che, data una funzione f, l equazione della retta tangente il grafico della funzione in un punto 0 è data dalla formula yf( 0 )+f ( 0 )(- 0 ). Consideriamo la funzione f( +-3 e determiniamo l equazione della retta tangente al suo grafico nel punto 0 1. Per prima cosa calcoliamo il valore della funzione nel punto 0 1. Quindi determiniamo la derivata f ( che sarà uguale a +. Nel punto 0 1 la derivata vale 4. Questo valore rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente, la cui equazione si ottiene dall applicazione della formula vista in precedenza. Si ottiene così l equazione cercata y4-4. 9
10 Conclusione Operazioni Con Le Derivate Somma Differenza Prodotto Funzione inversa Funzione reciproca Quoziente Retta tangente In questa lezione abbiamo visto alcune operazioni con le derivate delle funzioni. Abbiamo visto quindi come calcolare: la derivata di una funzione somma di altre due funzioni; la derivata della funzione differenza; la derivata della funzione prodotto; la derivata della funzione quoziente; la derivata della funzione reciproca; la derivata della funzione inversa. Infine abbiamo mostrato come ricavare l equazione della retta tangente in un punto al grafico di una funzione. 10
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