DERIVATE. h Geometricamente è il coefficiente angolare della retta secante congiungente i punti della curva di ascissa x. y = in un punto x.

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1 DERIVATE OBIETTIVI MINIMI: Conoscr la dinizion di drivata d il suo siniicato omtrico Sapr calcolar smplici drivat applicando la dinizion Conoscr l drivat dll unzioni lmntari Conoscr l rol di drivazion Sapr calcolar una drivata applicando l rol di drivazion Sapr trovar l quazion dlla rtta tannt ad una curva Sapr individuar massimi, minimi lssi di una unzion RICHIAMI DI TEORIA Si dinisc rapporto incrmntal dlla unzion rlativo al punto all incrmnto h, il rapporto tra l incrmnto dlla unzion l incrmnto dlla variabil indipndnt: h h Gomtricamnt è il coicint anolar dlla rtta scant coniunnt i punti dlla curva di ascissa h Si dinisc drivata di una unzion sist inito, dl rapporto incrmntal: in un punto, il limit pr h s lim h h Gomtricamnt è il coicint anolar dlla tannt alla curva nl suo punto di ascissa L quazion dlla tannt alla curva di quazion è: h nl suo punto di ascissa Tutt l unzioni drivabili sono continu: sist inatti un torma ch arma ch s una unzion è drivabil in un punto, allora ssa è continua in

2 Non tutt l unzioni continu sono drivabili: sistono inatti unzioni continu ma non drivabili Ess sono l unzioni ch ammttono punti anolosi, cuspidi o lssi a tannt vrtical Una unzion ha in un lsso a tannt vrtical s la sua drivata in è oppur Una unzion ha in una cuspid s la sua drivata dstra in è qulla sinistra è di ascissa è vrtical Una unzion o il contrario Gomtricamnt, la tannt al raico nl punto ha in un punto anoloso s la drivata sinistra la drivata dstra sono init ma divrs tra loro Gomtricamnt nl punto è possibil condurr du smirtt tannti con coicinti anolari divrsi tra loro DERIVATE FONDAMENTALI Funzion Drivata k n n intro positivo n n α α ral α α sn cos cos sn lo a lo a a a a

3 REGOLE DI DERIVAZIONE La drivata dlla somma di du unzioni è uual alla somma dll drivat dll unzioni: [ ] D D D D La drivata dl prodotto di du unzioni é uual alla drivata dlla prima unzion pr la sconda non drivata, aumntata dl prodotto dlla prima unzion non drivata pr la drivata dlla sconda: [ ] D D D La drivata dl prodotto di una costant pr una unzion è uual alla costant pr la drivata dlla unzion: [ ] k k D D sn sn cos La drivata dl rapporto di du unzioni è data da una razion ch ha pr dnominator il quadrato dl dnominator, pr numrator, la dirnza tra il prodotto dlla drivata dl numrator pr il dnominator il prodotto dlla drivata dl dnominator pr il numrator ] [ ' ' D 6 D D

4 La drivata di una unzion composta con dll drivat di risptto a z di risptto ad : [ ] z D z è uual al prodotto D APPLICAZIONI DELLE DERIVATE Dtrminazion dll quazion dlla tannt ad una curva di quazion suo punto di ascissa in un Ricordando il siniicato omtrico di drivata, si utilizza la ormula: Dtrminar l quazion dlla tannt alla curva di quazion nl suo punto di ascissa In qusto caso, 6, Sostitundo in si ottin: 6 da cui 8 Dtrminazion di massimi minimi di una unzion Siccom la drivata rapprsnta il coicint anolar dlla rtta tannt alla unzion, quando la drivata si annulla, la tannt è parallla all'ass La unzion può prsntar un massimo o un minimo

5 MASSIMO :, > pr < ; < pr > MINIMO : < pr < ; > pr > Dov la unzion è crscnt > Dov è dcrscnt < 5

6 Flssi La unzion prsnta un lsso quando cambia concavità La condizion ncssaria ainché ci sia un lsso in un punto, è ch la drivata sconda si annulli in qul punto S < la concavità dlla curva è rivolta vrso il basso, s > vrso l alto Dtrminar massimi, minimi lssi dlla curva di quazion Gli vntuali punti di massimo o minimo si dtrminano annullando la drivata prima: quindi ± ch rapprsntano l asciss dli vntuali punti di massimo o minimo, pr stabilirlo è ncssario studiar il sno dlla drivata prima: > pr < > - Dal raico dl sno dlla drivata prima si ottin ch -; è un massimo ch ; è un minimo pr la unzion Pr crcar li vntuali lssi è invc ncssario annullar la drivata sconda: 6 pr ch è l ascissa dl punto di lsso l ordinata val La curva vol la concavità vrso il basso pr < prché la drivata sconda è nativa vrso l alto pr > prché la drivata sconda è positiva 6

7 ESERCIZI A Indicar la risposta satta, iustiicandola La drivata prima dlla unzion 5 è: 5 a ' ; b ' 5 ; c ' ; d 5 Data la unzion la sua drivata prima nl punto di ascissa è: a ; b ; c d La drivata dlla unzion è: a 8 ; b 8 ; c 8 ; d 8 La unzion ammtt un punto di minimo di coordinat: a N ; ; b N ; ; c N ; ; d N ; 5 La drivata di una unzion in un punto è: a una unzion b un numro ral c un punto d una rtta 6 I punti di massimo di minimo rlativo di una unzion vanno crcati tra: a i punti di intrszion con l ass ; b i punti ch annullano la drivata prima; c i punti ch annullano la drivata sconda; d i punti di intrszion con l ass 7

8 7 Sclir l unica armazion corrtta: s una unzion è crscnt in un intrvallo a;b considro appartnnt a tal intrvallo : a > ; b ' > ; c ' ; d ' < 8 La concavità di una unzion drivabil si dtrmina: a studiando il sno dlla drivata prima; b annullando la drivata prima; c studiando il sno dlla drivata sconda; d annullando la drivata sconda 9 La unzion 7 è: a concava vrso l alto; b concava vrso il basso; c smpr crscnt; c smpr dcrscnt La rtta tannt alla curva di quazion nl suo punto di ascissa ha coicint anolar: a -8; b -; c ; d B Svolr i sunti srcizi Scrivr il rapporto incrmntal dll sunti unzioni rlativamnt al punto indicato: a 5 in ; b in Calcolar il valor dlla drivata nl punto assnato applicando la dinizion: a 5 in ; b in 8

9 Calcolar la drivata dll sunti unzioni, applicando l rol di drivazion: a 6 9 ; b 5sn cos ; c ; d ; cos ; 5 ; 6 5 ; 6 5 h ; i j ; k ; ; ; l m ; sn cos n ; o Trovar l quazion dlla tannt alla curva nl punto assnato: a 5 in ; b in 5 Trovar l coordinat di massimi, minimi lssi dll sunti unzioni: a 5 ; b ; 5 c ; d 9