Si considera un corpo solido a forma di parallelepipedo, di spessore d [m] e facce maggiori con superficie S [m 2 ], tale che sia T 1

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1 I sistemi termici La resistenza termica Se ue corpi aventi temperature iverse vengono messi a contatto, si ha un passaggio i quantità i calore al corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, fino al raggiungimento ell equilibrio termico La trasmissione el calore avviene: per conuzione: si ha essenzialmente nei solii, ove la trasmissione el calore avviene per trasferimento i energia cinetica tra le molecole ei corpi a contatto, alla zona a temperatura maggiore, verso quella a temperatura minore; per convezione: si realizza attraverso un fluio che, muovenosi, trasporta l energia termica al corpo a temperatura maggiore (sorgente) verso quello a temperatura minore; per irraggiamento: il trasporto avviene attraverso one elettromagnetiche e è possibile anche nel vuoto Sviluppano esempi i controllo elettronico i sistemi i riscalamento, si fa riferimento unicamente alla trasmissione per conuzione nei solii L obiettivo è efinire un legame matematico (moello), tale che sia possibile imensionare il riscalatore e il relativo controllo, conosceno i parametri el sistema a riscalare Si consiera un corpo solio a forma i parallelepipeo, i spessore [m] e facce maggiori con superficie S [m 2 ], tale che sia la temperatura su una elle facce maggiori e 2 quella sull altra, con > 2 (FIGUA A) G (s) Φ (s) Φ s (s) A 2 B FIGUA A) Conuzione i calore attraverso una superficie; B) moello equivalente ella resistenza termica Flusso termico Φ: rappresenta la quantità i calore che si trasferisce alla faccia a temperatura maggiore a quella a temperatura minore nell unità i tempo Se si inica con Δ la variazione ella quantità i calore tra le ue facce el solio e con Δt l intervallo i tempo in cui si ha tale variazione, il flusso termico vale: Φ = J = W t s Il flusso termico è legato alle caratteristiche fisiche el corpo attraverso il quale avviene la conuzione alla relazione: Φ = k S t ( ) 2 = () uesto file costituisce un approfonimento online ei corsi i elettrotecnica e elettronica

2 Il termine k viene efinito conucibilità termica, perché ha valore elevato nei buoni conuttori i calore e basso negli isolanti e si misura in joule su seconi per kelvin per metro: J s K m La () esprime variazioni che avvengono in funzione el salto termico Δ(t) = 2 [K] (kelvin) e el tempo; per una corretta formulazione el moello matematico, è opportuno efinire le granezze in funzione el tempo, consierano i valori istantanei, ovvero: Δt 0 (ifferenziale el tempo) In tal moo, la () iviene: Φ ( t) = = k S ( t) (2) esistenza termica i conuzione: è il termine = s K nella (2) La k S J resistenza termica è bassa nei conuttori e alta negli isolanti; sostitueno nella (2), si ottiene: Φ ( t) = = ( t) Il moello rappresentato alla (2) efinisce un legame tra il flusso termico Φ(t) e il salto termico Δ(t) e anche una relazione ifferenziale tra la quantità i calore (t) e il tempo t È opportuno quini fare uso ella trasformata i Laplace, allo scopo i esprimere la funzione i trasferimento i un sistema che trasferisce calore per conuzione Nella funzione i trasferimento, la granezza uscita è il salto termico e quella ingresso è la quantità i calore trasferita Inicano con: Δ(s) = L [Δ(t)] la L-trasformata el salto termico; Φ(s) = L [Φ(t)] la L-trasformata el flusso termico; (s) = L[(t)] la L-trasformata ella quantità i calore trasferita icorano il teorema ella erivata i Laplace, per cui = s ( s) e alla formula (2) risulta: ( s) Φ ( s) = s ( s) = (3) Dalla (3) si può ricavare la funzione i trasferimento el sistema che trasmette calore per conuzione; risulta: ( s) = = (4) Φ( s) e coincie con la resistenza termica el sistema Se ne conclue che, nella moellizzazione matematica espressa alla (4), la trasmissione i calore per conuzione attraverso una superficie nota può essere schematizzata meiante una resistenza, se come granezza uscita (tensione) si consiera il salto termico e come granezza ingresso (corrente) la quantità i calore trasferita nell unità i tempo (FIGUA B) uesto file costituisce un approfonimento online ei corsi i elettrotecnica e elettronica 2

3 La capacità termica Si efinisce capacità termica la quantità i calore che eve essere fornita a un corpo affinché la sua temperatura aumenti i kelvin [K] Sulla base ella preceente efinizione, la capacità termica C è ata alla relazione: C = (5) ove si è inicato con: Δ = 2 [K] l incremento i temperatura subito al corpo che, assorbeno calore, si porta alla temperatura iniziale a quella finale 2 (con 2 > ); Δ la quantità i calore [J] assorbita al corpo La capacità termica è una caratteristica fisica el corpo, legata alla massa J M [kg] e al calore specifico c el materiale con cui è costruito il kg K corpo, attraverso la relazione: C = M c Come nel caso ella resistenza termica, allo scopo i realizzare il moello el comportamento termico i un corpo, occorre trasformare la relazione (5), che è riferita a variazioni finite i temperatura e i quantità i calore (inicate con Δ), in una relazione tra variazioni infinitesime (inicate con ), cioè: C = (6) Si elabora la (6) evienziano la ipenenza elle granezze al tempo e moltiplicano poi ambo i membri per e ivienoli per ; si ottiene: ( t) = C (7) Analizzano la resistenza termica, si è iniviuato che: Φ ( t) = rappresenta il flusso termico; pertanto: ( t) Φ ( t) = C La relazione è i tipo ifferenziale e per iniviuare la funzione i trasferimento el sistema, si fa uso elle L-trasformate, otteneno: Φ ( s) = C s ( s) La funzione i trasferimento, intesa come rapporto tra il salto termico (granezza uscita) e il flusso termico assorbito al corpo (granezza ingresso), è: ( s) = = (8) Φ ( s) s C uesto file costituisce un approfonimento online ei corsi i elettrotecnica e elettronica 3

4 Il moello i un sistema termico ealizzano una analogia tra un sistema termico e uno elettrico, la resistenza termica è stata rappresentata con una resistenza posta in erivazione tra la granezza ingresso (flusso termico) e quella uscita (salto termico), come in FIGUA B Nella stessa analogia, in base al risultato ottenuto con la (8), la capacità termica può essere rappresentata con un conensatore i capacità C, posto in parallelo a Il moello corrispone allo schema i FIGUA 2B in cui il flusso termico è assimilato alla corrente i ingresso, mentre il salto termico corrispone alla tensione scita La funzione i trasferimento G(s) è: ( s) = = Φ ( s) // s C = s C + Il risultato imostra che il sistema consierato è el primo orine con un polo, i valore p = / C, pertanto ha comportamento filtrante i tipo passa-basso La caratteristica iniviuata consente i utilizzare un riscalatore in moo on-off perché l effetto filtrante garantisce una risposta esponenziale al graino corrisponente all accensione e spegnimento el riscalatore, ovvero fornisce una temperatura meia al corpo (o all ambiente) riscalato (FIGUA 2B, C) flusso termico (potenza) (t) I resistenza termica: capacità termica: C V Φ(t) C 0 t C (t) v C valor meio i 2 2 A B D t FIGUA 2 A) Sistema costituito a un elemento scalante e un corpo con resistenza termica e capacità termica C : B) moello equivalente; C) anamento ella quantità i calore prootta al riscalatore alimentato con un ona quara i tensione; D) anamento ella temperatura 2 uesto file costituisce un approfonimento online ei corsi i elettrotecnica e elettronica 4

5 ESEMPIO Determinare la corrente che eve assorbire un resistore i riscalamento avente resistenza = 00 Ω, applicato a una faccia i un corpo solio isolato termicamente, per fare in moo che la temperatura 2 si porti alla temperatura ambiente i 0 = 20 C, che aveva all atto ella accensione el riscalatore, alla temperatura i 60 C in 80 s Il corpo ha = 00 s K e C = 2000 J J K SOLUZIONE Il problema si configura come l analisi ella risposta al graino i un sistema el primo orine con funzione i trasferimento: ( s) = = Φ ( s) s C + Il segnale ingresso a graino è rappresentato alla potenza P = I 2,che il resistore i riscalamento eroga all atto ella alimentazione; questa corrispone al flusso termico Φ applicato al corpo i resistenza e capacità C, pertanto, in forma L-trasformata, vale: P Φ ( s) = La granezza uscita è il salto termico s esierato (t) = = 40 C, nell intervallo i tempo t = 80 s La (9) eve essere risolta in funzione el tempo; portanola in forma canonica, si ricava la risposta: P ( s) = Φ( s) = s C s + C ovvero: (9) P aveno posto: k = C k ( s) = s s p (0) K e p = = [s ] s C τ La (0) costituisce la risposta al graino i un sistema el orine e, antitrasformano, si ottiene: (t) = t / τ k τ ( e ) Sostitueno, è possibile ricavare il valore i k e, alla sua conoscenza, risalire a P: k = P/C = 0,5 0 3 P; (t) = 40 K: è un salto termico e può essere espresso inifferentemente in grai centigrai o in kelvin; t = 80 s : è il tempo richiesto per ottenere il salto termico esierato; τ = C = s : costante i tempo el sistema isulta: ( t) 40 k = = = 0,222 K /s τ t / τ 5 80/2 0 ( e ) 2 0 ( e 5 ) Infine: P = k 0,5 0 = 464 W 3 I = 2,5 A uesto file costituisce un approfonimento online ei corsi i elettrotecnica e elettronica 5