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- Cipriano Gentile
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1 TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 6 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia Parte A. La retta di regressione.2 è tale che tutti i punti sperimentali giacciono su tale retta; è tale che la maggior parte dei punti sperimentali giacciono sulla retta; è impossibile che nessun punto sperimentale giaccia sulla retta; nessuna delle precedenti; In un modello di regressione lineare, quale delle seguenti eventualità è possibile che si verifichi?.3 i residui sono tutti strettamente positivi; i residui sono tutti uguali a zero tranne uno di essi; i residui sono tutti strettamente negativi; i residui sono tutti uguali a zero. In un modello di regressione lineare, l ipotesi H 0 : β = 0 viene rifiutata. Allora i dati escludono vi sia una relazione tra variabile indipendente e variabile dipendente (rispettivamente ingresso e uscita); i dati non si adattano a tale modello; i dati non mostrano una relazione significativa tra variabile indipendente e variabile dipendente; i dati mostrano una relazione significativa tra variabile indipendente e variabile dipendente; 2 Parte B 2. Si vuole verificare se il reddito di un neolaureato in Chimica al primo impiego sia significativamente differente dal reddito al primo impiego di un neolaureato in Ingegneria Chimica. Da un sondaggio su neolaureati in Chimica e risultato un reddito medio mensile di 034 Euro, con una deviazione standard di 07 Euro. Da un analogo sondaggio su 7 neolaureati in Ingegneria Chimica e risultato un reddito medio di 235 Euro, con una deviazione standard di 34 Euro. Si assuma la normalita della distribuzione dei redditi e l uguaglianza delle varianze dei redditi relativi alle due categorie di neolaureati. Al 5% di significatività si verifichi se le medie si possano ritenere significativamente diverse. Quali conclusioni si possono trarre?
2 Soluzione. L ipotesi di uguaglianza delle medie è rifiutata se t := S p > t 0.025,26, + 7 dove Sp =. 26 Risulta t = 6.28, t 0.025,26 = Pertanto l ipotesi viene rifiutata: i dati propendono per una sostanziale differenza tra il reddito medio di un laureato in Chimica e uno in Ingegneria Chimica. 2.2 Due gruppi di ricercatori stanno indipendentemente cercando di stimare l età di certi reperti fossili (gli stessi per i due gruppi), usando metodi entrambi metodi basati sulla radioattività, ma strumenti di misurazione diversi. Il primo gruppo esegue 5 misurazioni, ottenendo una media campionaria (in milioni di anni) di 3.24 e una deviazione standard campionaria di Il secondo gruppo esegue 9 misure, con una media campionaria di 4.5 e una deviazione standard campionaria di.2. Si assuma la normalità delle età misurate da entrambi gli strumenti, e l uguaglianza delle rispettive varianze. a. I dati sono sufficienti a concludere che le età medie misurate dai due strumenti siano diverse? (Effettuare un test con livello di significatività α = 0.05) b. Si considerino solo i dati del primo gruppo di ricercatori. Si determini un intervallo di confidenza per l età media misurata con livello di confidenza α = Soluzione. a. Si tratta di una test per due campioni normali indipendenti con varianze ignote ma uguali. I dati sono n X = 5 X = 3.24 S X = 0.97 Posto la statistica test è data da n Y = 9 Y = 4.5 S Y =.2 S 2 p = (n X )S 2 X + (n Y )S 2 Y n X + n Y 2 X Y T = 2.93 S p n X + n Y.0549 L ipotesi H 0 : µ X = µ Y viene rifiutata a livello di significatività 0.05 se T > t 0.025,nX+n Y 2. Essendo t 0.025,22 = 2.074, tale disuguaglianza è verificata: a livello di significatività 0.05 H 0 viene rifiutata, cioè i dati portano alla conclusione che le età medie misurate dai due strumenti siano diverse. b. Si considerano i dati relativi al primo campione. L intervallo di confidenza di livello 0.95 è dato da X ± S X t 0.025,4 = 3.24 ± nx 2.3 Il cicloergometro è uno strumento che misura la potenza massima erogabile da un individuo. In un campione casuale di 20 individui maschi di 25 anni sono state misurate le potenze massime, ottenendo una media campionaria x = 22W e una deviazione standard campionaria s x = 33W. In un campione casuale di 30 individui di 30 anni, analoghe misurazioni forniscono una media campionaria y = 2W e una deviazione standard campionaria s y = 36W. Si assuma la normalità 2
3 e l uguaglianza delle varianze nelle distribuzioni dei due campioni. Con questi dati è possibile concludere che la potenza erogata diminuisce in modo significativo tra i 25 e i 30 anni (si effettui un test con livello di significatività α = 0.05) Soluzione. Si effettua un t-test di confronto di medie per campioni indipendenti. POsto µ x (risp. µ y ) la media della potenza massima erogata dai maschi di 25 anni (risp. 30), sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : µ x µ y. La varianza combinata è La statistica del test è s 2 p = 9s2 x + 29s 2 y 48 x y T = s p = = H 0 viene rifiutata a livello 0.05 se T > t 0.05,48. Essendo t 0.05,48 =.6772, H 0 viene accettata: con questi dati non è possibile concludere che la potenza erogata diminuisce in modo significativo tra i 25 e i 30 anni. 2.4 Si vuole verificare se l uso di contraccettivi orali provochi un aumento della pressione arteriosa. I dati che seguono riportano la pressione sistolica di 0 donne misurata in un periodo in cui non vi era assunzione di contraccettivi orali (x i ), e la pressione sistolica delle stesse 0 donne nel periodo d uso di contraccettivi (y i ). x i y i Si assuma la normalità delle distribuzioni in gioco. Quali conclusioni si possono trarre (eseguire un test al 5%)? Soluzione. Si utilizza un t-test per dati appaiati. Posto z i = x i y i, sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : µ Z 0, cioè che l uso di contraccettivi non aumenti la pressione sistolica media. Si rifiuta H 0 a livello 0.05 se t z := z s z 0 < t0.05,9. Essendo t z 3.32 e t 0.05,9.83, H 0 è rifiutata: i dati indicano un aumento sensibile della pressione sistolica media in donne che fanno uso di contraccettivi orali. 2.5 I seguenti dati riportano i valori del massimo livello dell acqua alta a Venezia tra il 957 e il Discutere l andamento di tale livello con un modello di regressione lineare, stimando i parametri a, b, σ 2 della regressione, e sottoporre a verifica l ipotesi H 0 : b = 0 a livello Infine, determinare il valore di R
4 Soluzione. I parametri stimati sono: A = 983, 74, B = 0, 557, SS R = 353, 52. L intervallo di confidenza per b a livello 0, 95 è [0.86, 0, 927]. In particolare, l ipotesi H 0 : b = 0 a livello 0.05 viene rifiutata. L intervallo di predizione al 95% per il 2007 è dato da ± t 0.025, ( )2 + = ± Un certo programma di allenamento, è progettato per aumentare la frequenza cardiaca di soglia, cioè quella oltre la quale l organismo non è in grado di smaltire l acido lattico. Ad un gruppo di 9 atleti viene misurata la frequenza di soglia prima dell inizio del programma di allenamento e al suo termine, ottenendo i seguenti risultati frequenza di soglia prima frequenza di soglia dopo Si assuma la normalità delle distribuzioni delle variabili in gioco. Questi dati sono sufficienti a concludere che il programma di allenamento produca un incremento della frequenza di soglia media (effettuare un test al 5% di significatività)? Soluzione. Eseguiamo un t-test per dati appaiati. Se z è la differenza tra la frequenza di soglia dopo l allenamento e quella prima, troviamo z =.778, s z = Sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : µ z 0. Otteniamo T = z s z / 9 = 2.46 > t 0.05,8 = Pertanto possiamo concludere, al 5% di significatività, che l allenamento aumenti, in media, la frequenza di soglia. 2.7 La seguente tabella riporta la lunghezza e il corrispondente peso di 6 serpenti appartenenti alla specie vipera bertis. Lunghezza x (cm) Peso y (gr) a. Determinare la retta di regressione tra l ingresso x e l uscita y; b. Determinare un intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente angolare della retta di regressione. Soluzione a. La retta di regressione è y = 8.252x b. L intervallo di confidenza al 95% per il coefficiente angolare è (3.423, 3.09) 4
5 2.8 Durante un test invernale un ciclista percorre cinque volte, in giorni distinti, un dato percorso, con i seguenti tempi di percorrenza: In prossimità di una gara importante il test viene ripetuto, ottenendo i seguenti tempi di percorrenza: Questi risultati sono sufficienti a concludere vi sia stato un significativo miglioramento della condizione atletica rispetto ai test invernali? (Eseguire un test al 5%, assumendo la normalità e l identità delle varianze delle distribuzioni dei tempi di percorrenza) Soluzione. Denotiamo con la lettera x i dati nel primo campione (in secondi!) e con y quelli del secondo. Abbiamo: x = 07.8, y = 083.4, s 2 x = 53.7, s 2 y = Sottoponiamo a verifica l ipotesi H 0 : µ x µ y, usando un test t per il confronto di medie di campioni indipendenti. Dopo aver calcolato si ottiene la statistica del test T = s 2 p = 4s2 x + 4s 2 y 8 x y s p = 94.5, = H 0 viene rifiutata al 5% se T > t 0.05,8 = Pertanto H 0 viene rifiutata: questi risultati sono sufficienti a concludere vi sia stato un significativo miglioramento della condizione atletica rispetto ai test invernali. 2.9 Per studiare la dipendenza tra il consumo energetico e la massa corporea non-grassa, vengono misurate le masse corporee non-grasse di 4 uomini, e il corrispondente consumo energetico in 24 ore di attività sedentaria: Massa non-grassa x (Kg) Consumo energetico y (kcal) Stimare i coefficienti del modello di regressione lineare e verificare al 5% se le due variabili siano correlate in modo significativo.. Soluzione. a. Si trova: x = 56, 25, y = 2033, 75, s xx = 269, 23, s yy = 60032, 75, s xy = 6463, 5. Pertanto B = s xx s xy = 24, A = y Bx = 683, SS R = s yy s2 xy s xx = 4878, 0203 da cui SS R = 2439, n 2 b. L intervallo di predizione è A + 73B ± + (x 73)2 SSR + 4 s xx 2 t 0.025,2 = 2435, 854 ± 32,
Il numero di gradi di libertà del quantile di riferimento è uguale al numero di elementi del campione meno uno;
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