Problemi di Fisica per l ammissione alla Scuola Galileiana Problema 1

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1 Problemi di Fisica per l ammissione alla Scuola Galileiana Problema 1 Un secchio cilindrico di raggio R contiene un fluido di densità uniforme ρ, entrambi ruotanti intorno al loro comune asse di simmetria, con velocità angolare costante Ω. Sia S il confine tra fluido e aria. Nel sistema di riferimento solidale con il secchio, la forza su ogni particella del fluido in S, dovuta alle altre particelle, compensa le altre forze ed è perpendicolare a S. 1. Determinare S. 2. Sia h 0 l altezza del fluido rispetto alla base del secchio cilindrico quando questo e il fluido non ruotano. Si può mostrare che l altezza massima raggiunta dal fluido in rotazione è h M = h 0 + Ω2 R 2. 4g Sia p a la pressione atmosferica. Determinare la pressione p(l) sulla superficie del secchio cilindrico ad altezza l rispetto alla sua base. 3. Determinare il punto più basso, h m, della superficie del fluido in rotazione. 4. Determinare la pressione p 0 (l) sul fluido nei punti corrispondenti all asse di simmetria del cilindro ad altezza l h m, e si mostri che il rapporto è indipendente da e h 0, l, R e Ω. p(l) p 0 (l) h M h m,

2 Soluzione Problema 1 1. Su ogni particella del fluido agisce la forza centrifuga, quella gravitazionale, e quella dovuta alle altre particelle del fluido. Nel caso di una particella su S, quest ultima forza, che denotiamo con F n, è perpendicolare a S e diretta verso l asse di rotazione. Sia m la massa di ogni singola particella che costituisce il fluido, r la distanza tra l asse di rotazione del secchio e la particella, e φ l angolo tra l asse di rotazione del secchio e la retta che si sovrappone a F n. Si ha quindi F n cos φ = mg, F n sin φ = mω 2 r, tan φ = Ω2 r g che è la pendenza del paraboloide rivolto verso l alto h(r) = h(0) + Ω2 r 2. 2g,

3 2. Le parabolidi interne al fluido, di distanza costante nella direzione verticale rispetto a S, sono isobare. Poiché la pressione sulla superficie del fluido è p a, segue che la pressione sul fluido nel paraboloide distante d da S, è p a + dρg, quindi p(l) = p a + (h M l)ρg = p a + (h 0 + Ω2 R 2 4g ) l ρg. 3. Poiché h M = h(r) e h m = h(0), dall equazione del paraboloide segue da cui h M = h m + Ω2 R 2 2g h m = h 0 Ω2 R 2 4g., 4. Si ha quindi p 0 (l) = p a + (h m l)ρg = p a + (h 0 Ω2 R 2 4g p(l) p 0 (l) h M h m = ρg. ) l ρg,

4 Problema 2 L acrobata A, di massa m A = 80 kg, rimbalza verticalmente da un trampolino con velocità iniziale v 0 = 10 m/s. Su una piattaforma posta ad altezza h = 4.2 m sta, in quiete, un giovane acrobata B di massa m B = 40 kg. Quando A si trova a tale altezza afferra istantaneamente B. Determinare 1. l altezza massima raggiunta dalla coppia di acrobati; 2. l eventuale perdita di energia meccanica durante il processo.

5 Soluzione Problema 2 1. Dalla conservazione dell energia segue che la velocità dell acrobata A, quando questi raggiunge l acrobata B, è data dalla relazione v 2 1 = v 2 0 2gh. Nell istante in cui l acrobata A afferra l acrobata B agiscono forze interne e non c è alcuna variazione della forza gravitazionale. Quindi, poiché il processo è istantaneo, le quantità di moto delle due configurazioni coincidono m A v 1 = (m A + m B )v 2, dove m A e m B sono le masse dei due acrobati e v 2 è la velocità dei due acrobati all altezza h. Si ha quindi v 2 = v 2 0 2hg 1 + m = 2.8 m/s. B m A Rispetto alla piattaforma la coppia di acrobati sale di h = cosicché la massima altezza raggiunta è v2 0 2hg 2g(1 + m B m A ) = 4 ( v 2 ) g h = 0.40 m, h f = h + h = 4.6 m. 2. Tra i due acrobati c è un urto anelastico con perdita di energia meccanica U persa = U i U f = 1 2 m Av (m A + m B )v2 2 = 1 m A m B v1 2 = 236 J. 2 m A + m B

6 Problema 3 Una lastra metallica di spessore s = 3 mm è introdotta tra le armature di un condensatore piano di capacità C 0 = 100 nf, la cui distanza tra le armature è h = 5 mm. Una batteria di tensione V 0 = 12 V è collegata alle armature del condensatore. Calcolare 1. la capacità C 1 dopo l introduzione della lastra posta a metà tra le due armature, cosicché h sup = h inf ; 2. la variazione dell energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore; 3. le grandezze ai punti 1 e 2 nel caso in cui, mantenendo fissata la somma h inf + h sup, pari a h s, si abbia h sup = 2h inf.

7 Soluzione Problema 3 1. Con l introduzione della sbarra metallica si ottengono due condensatori piani in serie, le cui armature sono distanti h sup e h inf. Quindi da cui 1 = = h sup C 1 C sup C inf ɛ 0 A + h inf ɛ 0 A = h s ɛ 0 A = 1 ( s ) 1, C 0 h C 1 = 250 nf. 2. L energia immagazzinata nel condensatore aumenta e la sua variazione è E = 1 2 C 1V C 0V 2 0 = µj. 3. I risultati riportati dipendono da h inf e h sup solo attraverso la loro somma.

8 Problema 4 Una batteria solare, di area A = 5 cm 2, riceve energia solare d intensità I = 1 mw/cm 2. Si conoscono due casi. Nel primo, quando è collegata a una resistenza R 1 = 250 Ω, la differenza di potenziale ai suoi capi è V 1 = 0.15 V. Nel secondo caso, quando è collegata a una resistenza R 2 = 500 Ω, la differenza di potenziale ai suoi capi è V 2 = 0.2 V. Si calcoli 1. la resistenza interna r e la f.e.m. E della batteria; 2. le efficienze η 1 e η 2 della cella nella conversione dell energia solare in energia elettrica corrispondenti ai due casi sopra descritti.

9 Soluzione Problema 4 1. La batteria solare può essere considerata come un generatore reale di f.e.m. E e resistenza interna r. I valori di queste due quantità si possono ricavare risolvendo il seguente sistema E ri 1 = V 1 = R 1 i 1, E ri 2 = V 2 = R 2 i 2, quindi r = 250 Ω, E = 0.3 V. 2. L efficienza di conversione è definita dal rapporto tra la potenza elettrica prodotta P el e la potenza solare incidente P sol Quindi l efficienza nei due casi è η = P el P sol = V i IA = V 2 RIA. η 1 = = 1.8%, η 2 = = 1.6%.

10 Problema 5 Un contenitore cilindrico con pareti adiabatiche contiene n = 0.3 moli di un gas ideale monoatomico. Il lato superiore del cilindro è chiuso da un pistone adiabatico mobile (senza attrito) di area A = 0.02 m 2. Sopra il pistone è posta una massa m = 20 Kg. La pressione esterna è quella atmosferica p a = Pa. Si ricorda che la costante dei gas è 1. Determinare la pressione del gas. R = J mol K. Successivamente, si toglie la massa e il gas si espande fino a un nuovo stato di equilibrio compiendo il lavoro W = 46.8 J. Si calcoli 2. la variazione di volume del gas V ; 3. la variazione di temperatura del gas T.

11 Soluzione Problema 5 1. La pressione del gas è la somma della pressione esterna e di quella esercitata dalla massa p = p a + mg A = Pa. 2. Il lavoro fatto dal gas espandendosi è pari a W = p a V, quindi V = m L energia interna di un gas ideale dipende solamente dalla temperatura. In particolare, U = nc nv T, dove c nv è il calore specifico molare a volume costante. Poiché la trasformazione è adiabatica, si ha U = W, cioè W = nc nv T = n 3R 2 T, da cui T = 12.5 K.

12 Problema 6 Un modo efficace, anche se assai semplificato, di illustrare il meccanismo responsabile della superfluidità, che ha un analoga versione nel caso della superconduttività, è fornito dal seguente modello cinematico. Si consideri un corpo di massa m con velocità v all interno del fluido. Per temperature sufficientemente basse, e al di sotto della velocità critica v c, il corpo non è rallentato dal fluido. Il caso di rallentamento di tale corpo può essere interpretato come dovuto al cedimento, al fluido circostante, di parte della sua energia cinetica. A sua volta il fluido viene eccitato di un modo d impulso k ed energia ω(k). Dal punto di vista dell analisi cinematica, tale modo può essere considerato come una particella di energia ω(k), eccetto per il fatto che, generalmente, questa ha un espressione differente rispetto a quella dell energia cinetica di una particella di momento k. Si dimostri che ( k v c min 2m + ω(k) ). k

13 Soluzione Problema 6 Si ha 1 2 mv 2 = 1 2 mv2 ω(k), m v = m v k. Elevando al quadrato la seconda relazione ed utilizzando la prima, si ottiene v k k = k 2m + ω(k) k Il primo membro è v cos θ v, dove θ è l angolo tra v e k. Segue che se ( k v < min 2m + ω(k) ), k allora (1) non può essere soddisfatta.. (1)

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